Aplicarea metodei simplificate a estimarii curburii laarea cadrelor cu noduri deplasabile

Aplicarea metodei simplificate a estimarii curburii la proiectarea cadrelor cu noduri deplasabile.

Exemplul 5 se refera la structura cu noduri deplasabile din figura E 5.5

Incarcarile caracteristice ale stalpilor sunt :

Stalpii 1 si 6 : G_k=540 kN Q_k=270 kN

Ceilalti stalpi : G_u=1080kN Q_u=540 kN

Fig E.5. 5 Structura exemplu 5

Pentru simplitatea exemplului se considera ca momentele initiale de ordinul I datorate incarcarilor verticale sunt 0 si ca lungimea efectiva a stalpilor l_o este egala cu lungimea lor .Se ignora de asemenea excentricitatea aditionala datorita imperfectiunilor geometrice Toti stalpii au sectiunea 300x300mm si sunt realizati din beton cu f_ck=50N/mm² si armatura cu f_yk=460N/mm²

Fortele taietoare din vant preluate de stalpi sunt functie de rigiditatea lor si au urmatoarele valori     :

Stalpii 3 si 4 18.0 kN

Ceilalti stalpi 6.5 kN

Stalpii 3 si 4 sunt stalpii critici .Ecuatiile 5.33-5.37 determina e₂=4.44 K_r

Dintre gruparile de incarcare cea mai defavorabila este cea care contine:

Incarcari permanente ,utile si vant respectiv:

N=1.35·1080+1.35·540 = 2187kN

M=H·l/2=1.35·18·2.5              = 60.75kNm

Pentru aceste eforturi se determina K_r=0.44 si deformatia ultima                            e₂=4.44·0.44=19.6mm

deci eforturile de calcul vor fi :

N_Ed = 2187 kNsi

M_Ed = 60.75+2187·0.0196 = 103.6 kNm

Procentul de armare al stalpului va fi 3.1%

Deplasarile celorlalti stalpi vor fi in conditiile cedarii stalpilor 3 si 4 tot 19.6mm

Stalpii 2,5

N =2187 kN

M_tot =1.35·6.5·3.5+2187·19.6/1000=30.7+42.86=73.57 kNm

Aceste eforturi determina procentul de armare pentru stalp de 2.3%

Se determina o valoare pentru K_r=0.35 si o deformatie ultima de e₂=30mm

Aceasta valoare difera mult fata de 19.6mm care s-a considerat in calcul ceea ce inseamna ca nu este satisfacut echilibrul

Utilizand pentru relatia moment deformatie o parabola de forma :

M_Ed/M_Ede = e_crit /e_u (2-e_crit/e_u) in care e_u=87.1K_r

73.57/M_Ede =0.225/K_r (2-0.225/K_r) (1)

Se poate stabili pentru N_Ed dat deasemeni o relatie (2) intre K_r si M_Ede prin intermediul cantitatii de armatura si deci w

Rezolvand sistemul de relatii (1) si (2) obtinem utmatoarele valori:

PROIECT: Componentele cladirilor PROIECT: Corpuri de zidarie

M_Ede=92kNm , 100 As/bh =2.8% si K_r=0.405

Este deci necesar sa se creasca momentul cu 26% in raport cu prima estimare pe baza deformatiei ultime

Stalpii de margine1,6

N=1093kN

M_tot=1.35·6.5·3.5+1093·19.6/1000=30.7+21.4=52.1 kNm

52.1/M_Ede =0.225/K_r (2-0.225/K_r) (1)

Se poate stabili pentru N_Ed dat deasemeni o relatie (2) intre K_r si M_Ede prin intermediul cantitatii de armatura si deci w Rezolvand sistemul de relatii (1) si (2) obtinem urmatoarele valori:

M_Ede=118kNm , p% =1.2% ceea ce inseamna o crestere substantiala ( M_Ede se dubleaza)

Unicitatea solutiei

Se poate face observatia ca nu exista o solutie unica pentru stalpii cadrelor cu noduri deplasabile pot exista si alte solutii alternative . Daca in stalpii critici se dispune mai multa armatura va creste si deformatia ultima.Efectul cresterii armaturii si deci a deformatiei stalpilor critici conduce la o redistributie a fortelor laterale intre stalpi

Sa presupunem ca in stalpii 3 si 4 se dispun procente de armare de 5% . Aceasta corespunde unui moment ultim de : M_Ede= 170kNm si unei valori K_r=0.57, si deformatia ultima este e₂= 25.3mm.

Momentul de ordinul 2 este in acest caz : M₂=0.0253·2186=55.3kNm

Stalpul va avea un moment de ordinul 1 : M₁=M_Ede-M₂=170-55.3=114.7kNm fata de 60.75 calculat in primul caz.

Aceasta corespunde la o forta laterala H=M/0.5l=114.7/2.5=45.9kN

Aceasta inseamna ca forta laterala preluata de ceilalti stalpi trebuie redusa.

Daca forta laterala totala este H_tot=1.35(2·18+4·6.5)=83.7kN

Forta taietoare preluata de ceilalti stalpi este 83.7-2·45.9=-8kN adica –2kN de fiecare stalp in comparatie cu valoarea de 8.8 calculata initial

Cazul 2

Conditiile in stalpii 2 si 5 sunt in aceste conditii:

N= 2186kN

M₁= -7 kNm

M₂ = 25.3·2186/1000=55.3kNm

M_tot=48.3 kNm

Aplicand metoda de mai sus

48.3/M_Ede=25.3/e_u(2-25.3/e_u in care e_u=87.1K_r deci

48.3/M_Ede =0.29/K_r (2-0.29/K_r) (1)

Rezolvand sistemul de relatii (1) si (2) obtinem urmatoarele valori:

M_Ede=49kNm , K_r=0.26 p%=1.75% ceea ce inseamna o reducere a valorii precedente de 2.8%

In concluzie in primul caz fortele preluate de fiecare stalp a fost definita apriori prin tr-o analiza elastica in timp ce in cazul al doilea fortele preluate de fiecare stalp s-au determinat ca rezultat al alegerii unei proiectari arbitrare a stalpul critic, stabilirea fortei laterale ultime preluata de acesta si apoi impartind restul fortei intre ceilalti stalpi .

Aceasta idee poate fi dusa mai departe .astfel daca exista stalpi a caror deformatie ultima este foarte mare in comparatie cu a celorlalti si deci o crestere mare a armaturii pentru a se atinge capacitatea de moment necesara.

In aceste conditii este posibil sa li se ignore cpacitatea lor laterala si sa nu se includa in calculul de deplasare.

Cazul 3

Se ignora capacitatea la incarcare laterala a stalpilor marginali. Aceasta modifica incarcarile preluate ce ceilalti stalpi astfel:

Stalpii       Incarcarea verticala N Forta laterala H

1 si 6                    1093 0

2 si 5                    2187 11.2

3 si 4                    2187 30.6

Stalpii 3 si 4 vor avea aplicand metoda standard

M_Ede =125.2 kNm , K_r=0.5 , e_min=22.2mm si p%=3.8%

Stalpii 2 si 5 vor avea de suportat in aceste conditii un moment total

M_tot=22.2·2187/1000+11.2·3.5=87.8kNm

Se obtine pentru acesti stalpi M_Ede=108kNm si p%=3.2%

Stalpii de margine se calculeaza la momentul M₂=1093·0.022=24.0kNm

Studiul acestor 3 cazuri dovedeste un mare grad de flexibilitate in calculul de ordinul doi al cadrelor cu noduri deplasabile

Tabelele urmatoare compara momentele de calcul si procentele de armatura rezultate in cele trei cazuri:

Momente de calcul

Procente de armare totale p%