INTERFERENTA UNDELOR DE SOC STATIONARE

Notiuni generale

In dinamica gazelor sub notiunea de suprafata de discontinuitate se intelege o suprafata in care se observa discontinuitatea functiilor gazodinamice sau al derivatelor lor in directia normala acesteia.

Discontinuitati pot fi clasificate ca:

gazodinamice;

de contact.

La primii se refera undele de soc, undele de expansiune, undele de combustie, undele de condensare si altele la care se observa o discontinzitate de presiune, viteza, densitate, temperatura si etc.

În comparatie cu discontinuitatile gazodinamice suprafetele de contact difera prin aceea ca la traversarea lor viteza si presiunea nu se mai schimba. Gazul cum ar fi alunica de-a lungul suprafetei de contact fara posibilitatea de patrundere prin aceasta. Deaceea suprafetele de contact se mai numesc tangentiale sau de alunecare.

Sub notiunea de interferenta se intelege intersectia undelor de soc si reflectarea lor de la frontiera rigida.

Sub notiunea de refractia undelor se intelege trecerea lor print-ro suprafata de contact.

Nota: Trebuie de mentionat ca suprafata de contact este valabila numai pentru modelul gazului perfect. In gazele reale ele isi reprezinta zonele de amestec extinse de-a lungul acestora. In ceea ce priveste interferenta curgerilor supersonice nestationare, studiul acestora se face ca si in cazul stationar, avand in vedere ca parametrii gazodinamici nu depind de scara si de timp, ci numai de raportul lor.

Clasificarea suprafetelor de discontinuitate interferente, configuratii de standard

Vom nota suprafetele de discontinuitate in felul urmator:

t - suprafata de contact (tangentiala).

Discontinuitatile gazodinamice vom determina prin intensitatea I_r si idicatorul directiei c_r

Sub notiunea de intensitatea I_r vom intelegem raportul presiunilor statice dupa () si inainte (p) de discontinuitate:

                     (1)

unde: I_s<1 pentru unde de soc,

I_w>1 pentru unde de destindere.

Daca I_r=1+D atunci discontinuitatea se numeste slaba ( = ) si entropia S variaza foarte putin fata de valoarea ei initiala. In cazul cind I_r=1 discontinuitatea se transforma in unda simpla (unda Mach).

Idicatorul directiei (c_r sau c_r depinde de directia virajului vectorului de viteza la trecerea gazului prin discontinuitate.

Asadar, daca virajul are loc contra sensului acului ceasornic (fig.1a,c), atunci discontinuitatea gazodinamica se numeste dreapta (), unghiul virajului este pozitiv (b > 0) si indicatorul directiei c_r La discontinuitatea stanga () unghiul rotirii fluxului este negativ (b<0) si indicatorul directiei c_r 1 (fig. 1b,d). La I_r= 1 si c_r = 0 discontinuitate gazodinamica nu are loc.

Fig. 1. Directia discontinuitatilor gazodinamici:

a,b - unde de soc dreapta, respectiv stinga;

c,d -unde de destindere dreapta, respectiv stinga.

În dependenta de pozitia punctului de intersectie T a undelor discontinuitatile se impart in primare (initiale) si secundare (provenite). Discontinuitatile primare (r_a) apar in aval punctului T si isi reprezint sursa interferentei. Discontinuitatile secundare (r_p) se formeaza in amonte de punctul T ca rezultatul interferentei.

Aceasta transformarea poate fi descrisa prin formula de interferenta: (2)

unde n, m -numarul undelor initiale, respectiv provenite.

Pentru deducerea formulelor de interferenta vom stabili urmatoarele axiome luamd in consideratie particularitatile curgerii in vecinatatea punctul T:

nu poate sa exista intersectia discontinuitatilor, daca lipseste cel mai putin o unda primara (n³

discontinuitati secundare sunt separate printr-o suprafata de contact.

În dinamica gazelor sunt doua tipuri principale de interactiune a discontinuitatilor:

interferenta undelor de soc;

refractia undelor de soc.

3. Interferenta undelor de soc

In aceasta grupa avem doua cazuri de interferenta a undelor concurente si a undelor contrate.

3.1 Undele de soc concurente, configuratii si formulele de interferenta

Undele primare concurente si sunt undele de soc care au acelasi indicator de directie (c c ). Dupa interactiunea lor (fig 2) se formeaza unda de soc reflectata si discontinuitate reflectata , separate intre ele prin suprafata de contact t Discontinuitatea reflectata poate fi sau unda de soc (fig 2a) sau unda de destindere centrata (fig 2b).

Fig. 2. Interferenta undelor de soc concurente:

a - unda de soc (=); b - unda de destindere centrata(=).

Un caz particular reprezinta discontinuitatea reflectata degradata (I₃=1, c =0) la care participa 3 unde de soc (fig 3): , (undele de soc concurente); (unda de soc reflectata) si suprafata de contact t

Referat: Clasificarea constructiilor Referat: PROIECT ATESTAT Constructii-lucrari publice - instalatii de incalzire

In cazul particular la egalitatea intensitatii a undelor primare contrare I1=I5 , curgerea este simetrica vis-a-vis liniei de curent trasate prin punctul de intersectie T. Aceasta este identica cazului de reflectare a undei de soc de la o frontiera rigida W (fig. 5) la care rezulta unda reflectata ce se descrie prin formula:

(5)

Aceasta configuratie caracteristica s-o numim configuratia tip de interferenta tripla CT-3.

Fig. 3. Configuratia tripla (tip CT-3).

Astfel pentru undele de soc concurente   ecuatia de interferenta sa scrie:

           (3)

3.2. Undele de soc contrare, configuratii si formulele de interferenta

La undele primare contrare , indicatoare de directie sunt diferite c +1, c = -1. În acest caz interferenta se numeste regulara (tip IR) si formula de interferenta va fi:

(4)

Fig. 4. Interferenta regulara (tip IR) a undelor de soc contrare.

In cazul particular la egalitatea intensitatii a undelor primare contrare I₁=I₅ , curgerea este simetrica vis-a-vis liniei de curent trasate prin punctul de intersectie T. Aceasta este identica cazului de reflectare a undei de soc de la o frontiera rigida W (fig. 5) la care rezulta unda reflectata ce se descrie prin formula:

                  (5)

Fig. Reflectare regulara (tip RR) a undei de soc incidente

La cresterea intensitatii I₁ in loc de reflectatrea regulara se formeaza reflectarea neregulara (fig.6), cunoscuta in gazodinamica jeturilor ca reflectarea Mach cu configuratie tripla a undelor de soc (CT-2) descrisa prin formula:

                                (6)

Fig. 6. Reflectare neregulara Mach (tip CT-2).

La reflectarea neregulata (CT-2) are loc bifurcatia undei de soc incidente in doua unde: unda reflectata principala si unda reflectata secundara.

Configuratia similara se observa si in cazul interferentei neregulare a undelor de soc contrare si (fig. 7), cunoscuta in gazodinamica ca interferenta Mach (tip IM) care se descrie prin formula:

(7)

Fig. 7. Interferenta neregulara Mach a undelor contrare (tip IM)

Ca rezultatul interferentei Mach apar doua unde reflectate si , doua suprafete de contact si si unda de soc principala reflectata ,care uneste doua configuratii triple. Se intampla ca lipseste una dintre unde reflectate (I₃=0, c 0) atunci se formeaza (fig.8) configuratia tripla (tip CT-1) descrisa prin formula:

                                 (8)

Fig. 8. Interferenta undelor contrare prin configuratia tripla (tip CT-1)

Spre deosibire de interferenta neregulara Mach configuratia CT-1 are numai o singura suprafata de contact

4. Refractia undelor de soc

Sub notiunea de refractia undelor se intelege trecerea lor print-ro suprafata de contact.

La interactiunea undei de soc cu o suprafata de contact t (fig. 9) pot fi create urmatoare situatii:

(9)

unde :

a - corespunde transformarii undei fara reflectare (refractie tip) la care rezulta o unda refractara si suprafata de contact ;

b,c - transformarilor cu reflectare la care (in afara de unda refractara si suprafata de contact ) rezulta sau o unda de soc sau unda de destindere centrata in dependenta de intensitatea I_s si I_t

Fig. 9. Refractia undelor de soc prin suprafata de contact.

5 Ecuatia generala de interferenta, polara generalizata

Analiza formulelor de interferenta arata ca toate configuratiile discutate pot fi unite intr-o configuratia generalizata de interferenta (fig.10):

Fig.10. Interferenta generalizata a discontinuitatilor gazodinamice.

Cu linii duble sunt indicate discontinuitatile , , primare (initiale), iar cu liniile simple - discontinuitatile , , secundare (provenite), care trebuie sa fie determinate reesind din parametrii discontinuitatilor primare si a parametrilor gazodinamici a fluxului in avalul punctului de intersectie T.

Intensitatea discontinuitatilor secundare se determina din doua considerente:

egalitatea presiunilor in curentii provenite din punctul T ;

coerenta fluxurilor dupa punctul T, fiind paralele suprafetei de contact.

Aceste conditii se realizeaza cand are loc:

egalitatea sumelor unghiurilor de rotire a curentilor la trecerea discontinuitatilor existente, avand ca referinta suprafata de contact, sau:

(10)

unde: indicile u si d corespund discontinuitatilor situate in partea de sus si in partea de jos de linia t (fig.10), respectiv.

egalitatea produsului al intensitatilor discontinuitatilor existente:

(11)

Sistemul obtinut din ecuatiile (10) si (11) are 4 necunoscute:

unghiurile b b si intensitatile I₃, I₄ ale discontinuitatilor secundare provenite din punctul T.

Pentru inchiderea sistemului trebuie sa fie adaugate relatii, care determina dependenta unghiului de viraj in functie de intensitatea, anume b =f₃(I₃) si b =f₄(I₄). Dependenta b=f(I), care se numeste polara, este diferita pentru undele de soc si undele de destindere.

De aceea pentru rezolvarea sistemului se aplica un criteriu care permite determinarea genului de discontinuitatea rezultata din interferenta undelor:

           (12)

si cand intensitatea discontinuitatii nedeterminate are valori:

- avem unda de soc;

- avem unda de destindere.

Prin urmare din (11) rezulta:

de unde            ,

sau                    (13)

la care se determina prin intensitatile deja cunoscute a undelor primare (fig 10).

Atunci ecuatia (10) se transforma:

Notand cu , care este cunoscuta si se determina dupa caracteristicile undelor primare, rezulta ecuatia cu o singura necunoscuta I₄:

În cazul general dependenta b_r(I_r) pentru orice discontinuitatea gazodinamica poate fi usor obtinuta din relatii cunoscute din dinamica gazelor pentru unda de soc oblica sau pentru undele de expansiune (cap.4).

De exemplu unghiul devierii curentului dupa unda de soc oblica se determina:

(15)

unde:

- intensitaea undei de soc normale;

- intensitatea undei de soc oblice; , p -presiunile statice dupa si inainte a undei de soc;

- raportul exponentului adiabatic;

M - numarul Mach al curentului inainte de unda de soc.

Unghiul rotirii a fluxului dupa unda de destindere v se determina din relatia Prandtl-Meyer:                                  

(16)

unde M_v, -numarul Mach inainte, respectiv dupa unda de destindere.

(17)

Dependenta I(b pentru unda de soc, reprezentarea grafica a polarei

de soc in coordonate semilogaritmice

In dinamica gazelor foarte des caracterul discontinuitatii se determina dupa unghiul de rotire b a curentului, ci nu dupa intensitatea I. De aceea reprezinta interes dependenta inversa I=f(b

Din ecuatia (15) care reprezinta ecuatia polarei de soc:

se obtine dependenta inversa prin eliminarea termenului I - 1= z.

Rezulta ecuatia cubica in functia de intensitatea I:

A₃×z³+A₂×z²+A₁×z+A₀=0 (19)

unde:

A₃=1+tg²b

A₂=(1+e)k×M²-[2k×M²-(1+e

A₁=k×M²×[k×M²-2(1+e ×tg²b

A₀=(1+e × (k×M²)²×tg²b

Radacinile reale ale acestei ecuatii se determina dupa sensul discriminantului Δ=m³+n³ conform conditiilor:

la Δ≥0 avem numai o radacina x₀ = y₀-a;

la Δ≤0,vom avea 3 radacini: x_i=y_i-a, i=1,2,3;

unde

a=A₂ /3A₃;

m=c - a²;

n=½[(3m+a²)×a - d

c=A₁/3A₃; d=A₀/A₃;

a j a ×p j a ×p j;

Discriminantul negativ, care se obtine din valori cunoscute pentru k, M si b, confirma de existenta a trei radacini reale, din care o radacina nu este valabila din punct de vedere a fizicii, iar celelalte se determin dupa formula:

I_1,2=1 + y₁,₂ - a,

unde: ,

iar a, m, j se regasesc dupa formulele mentionate mai sus.

Graficile polarelor pot fi construite in coordonatele semilogaritmice l b (fig. 11), unde l ln(I).

Fig. 11. Polara undei de soc in coordonate semilogaritmice (k=1,4)

Partea de sus corespunde undei de soc detasate, iar partea de jos descrie undele de soc inclinate detasate la punctul de interferenta.

NOTA. Metodica de calcul al interferentei prezentata in acest capitol are o importanta deosebita penru calculul si proiectarea profilelor aerodinamice ale turbinelor supersonice, jeturilor de gaz supersonice, ejectoarelor si injectoarelor gazodinamice utilizate in echipamente termotehnice a instalatiilor energetice industriale.

Bibliografie

Àäðèàíia À.Ë., Ñòàðûõ À.Ë. Óñêia A.Í. « Èíòaðôaðaíöèÿ ñàöèiíàðíûõ aàçiäèíàìè÷añêèõ ðàçðàaia » A.I. «Íàóêà», Íiaiñèáèðñê, 1995, 180 ñ

2. Ñarafoli E., Constntinescu V. N., Dinamica fluidelor compresibile, Ed. Acad. Romane, Bucuresti, 1984, 886 pag.

Óñêia A.Í. Óäàðíûa aiëíû è èõ açàèìiäañòaèa, èçä. Ë.Ì.È, Ëaíèíaðàä, 1980, 88 ñ

4. Óñêia A.Í Áaaóùèa aiëíû è èõ açàèìiäañòaèa, èçä ÁAÒÓ «AIÅÍÌÅÕ», Ñàíêò-Ïaòaðñáóða, 2000, 200 ñ.

Aëàçíaa A.Í., Çàïðÿaàaa A.È., Óñêia A.Í. è äð. Ñòðóéíûa è íañòàöèiíàðíûa òa÷aíèÿ a aàçàaié äèíàìèêa, èçä. ÑI ÐÀÍ, Íiaiñèáèðñê, 2000, 200 ñ.

Constantinescu V.N.,Galetuse St. Mecanica fluidelor si elemente de aerodinanica, E.D.P. ,Bucuresti, 1983, 506 pag.