Gazodinamica - bazele teoretice ale gazodinamicii

GAZODINAMICA - BAZELE TEORETICE ALE GAZODINAMICII

Notiuni de baza

Dinamica gazelor sau dinamica fluidelor compresibile are ca obiect de studiu miscarea fluidelor si interactiunea acestora cu corpuri rigide in conditii cand densitatea fluidului nu poate fi considerata constanta, iar procesele termodinamice nu pot fi neglijate.

Atat fluidele compresibile cat si cele incompresibile sunt considerate medii continue si omogene. Aprecierea si evaluarea aproximatiei de mediu continuu pentru gaze se face cu ajutorul criteriului Knudsen

,

unde l este drumul liber mijlociu al moleculelor, iar L - dimensiunea caracteristica a curgerii ( de exemplu: dimensiunea de trecere a canalului, diametrul interior al conductei, coarda profilului aerodinamic, dimensiunea maxima a corpului rigid spalat de fluid, diametrul vartejului etc.) .

Modelul mediului continuu presupune ca dimensiunea caracteristica a celui mai mic volum de fluid examinat este considerata mai mare decat drumul liber mijlociu molecular, care isi reprezinta aceea distanta medie statistica, parcursa de o molecula fara ciocniri. Astfel, numarul moleculelor intr-un volum de 1cm³ de gaz in conditii normale este egal cu 2,7 10¹⁹, iar drumul liber mijlociu al particulelor va fi de ordinul 10^-5 cm .

Cum arata cercetarile experimentale, pentru valori Kn < 0,1 gazul poate fi considerat drept mediu continuu, iar la valori Kn > 1 gazul pierde continuitate si reprezinta un flux molecular liber.

In cazul gazelor, criteriul Knudsen se poate exprima ca functie a criteriilor Mach (Ma) si Reynolds (Re):

,

unde k este exponentul adiabatic.

Studiul miscarii gazelor pentru valori Kn< 0,1 se bazeaza pe teoria cinetica moleculara a gazelor. In conformitate cu aceasta teorie, viteza reala momentana () a curentului intr-un punct dat al curgerii reprezinta valoarea medie a vitezelor de miscare a grupurilor de molecule, care constituie particula fluida.

Totodata, prin curgere se intelege miscarea macroscopica ordonata a particulelor fluide, adica a grupurilor de molecule cu o directie de deplasare comuna.

Vitezele moleculelor sunt enorme si din cauza spatiilor mari intermoleculare, ele sunt directionate in toate partile, ciocnindu-se cu moleculele fluidului sau cu moleculele peretelui al corpului solid inconjurator, ceea ce da nastere actiunii reciproce care se transmite prin efectul de presiune (P).

Energia cinetica care se datoreaza miscarii haotice a moleculelor se manifesta macroscopic prin notiunea de temperatura (T ).

Fluidul teoretic lipsit de frecarea interna si de conductivitatea termica se numeste fluid perfect.

In dinamica gazelor se aplica modelul gazului perfect, care permite calculul exact al curgerii in jurul corpurilor solide si a distributiei vitezelor si temperaturilor in interiorul curgerii. Toate aceste calcule sunt valabile, bineinteles, in afara zonelor de amestec si ale celor atasate de pereti cunoscute din mecanica fluidelor ca straturi limita, in interiorul carora fortele de frecare si de inertie joaca rolul principal.

In aceast manual se discuta curgerea gazului perfect la viteze mari, cand transformarile termodinamice nu pot fi neglijate si la care datorita fenomenului de comprimare apar discontinuitati gazodinamice cum ar fi undele de soc.

Relatiile fundamentale ale miscarii fluidelor perfecte compresibile

In dinamica gazelor pentru caracterizarea curgerii unui gaz se utilizeaza notiunea de parametrii gazodinamici, prin care se intelege totalitatea parametrilor hidrodinamici si termodinamici determinata de: viteza () , presiune (P), densitate (ρ) si temperatura (T ).

Scopul principal al problemelor gazodinamice consta in determinarea variatiei parametrilor gazodinamiciai gazului in functie de coordonatele spatiale (x,y,z) si de timpul (t) :

(1.1)

Pentru aceasta se rezolva sistemul ecuatiilor gazodinamice in care sunt exprimate matematic legile fizice fundamentale de conservarea masei, impulsului si a energiei scrise in forma derivativa sau integrala.

Sistemul se completeaza cu ecuatia termica de stare a gazului perfect (ideal), care arata legatura intre presiune, densitate si temperatura :

, (1.2)

unde : , in care este constanta universala a gazului perfect, iar μ masa molara a gazului concret.

Acest sistem se incheie cu ecuatia respectiva a trasformarii termodinamice, care are loc la curgerea gazului in conditii date (adiabatica, politropica , izotermica, izentropica etc.).

In cazul cand transformarea termodinamica nu este cunoscuta se face apel la ecuatia calorica de stare a gazului perfect, care reprezinta relatia intre variatia temperaturii T si variatia energiei interne unitare e sau a entalpiei unitare h a unei mase de gaz.

Astfel ecuatia calorica poate fi scrisa in doua forme :

sau , (1.3)

unde c_p, c_v caldura specifica a gazului la presiunea constanta, respectiv la volumul constant.

In cele ce urmeaza, vom demonstra ecuatiile fundamentale ale gazodinamicii: ecuatia de continuitate, ecuatia impulsului, ecuatiile de miscare ale gazului ideal, ecuatia energiei a gazului in miscare si ecuatia Bernoulli pentru curgerea adiabatica a gazului perfect, toate aceste constituind sistemul ecuatiilor gazodinamice.

1.2.1. Ecuatia de continuitate

Se considera un volum arbitrar V , limitat de o suprafata σ, fixat intr-un flux de fluid (fig. 1.1) care se deplaseaza cu viteza medie , unde u, v si w sunt proiectiile vitezei pe axele sistemului cartezian de coordonate x, y, z.

Fig. 1.1. Volumul fixat al unei mase de fluid in miscare

Variatia masei gazului care a intrat in volumul V intr-o unitate de timp este data de integrala , unde ρ este densitatea gazului.

In conformitate cu legea conservarii masei, aceasta variatie va fi egala cu fluxul de masa a gazului care a iesit din acest volum prin suprafata σ ce limiteaza volumul fixat , adica

,

in care este vectorul normalei la suprafata perpendiculara pe directia curgerii. Mutand toti factori intr-o parte vom obtine:

(1.4)

Ultima ecuatie (1.4) exprima legea conservarii masei a gazului in forma integrala.

Transformand integrala de suprafata din ecuatia (1.4) intr-o integrala tripla cu ajutorul formulei Gauss - Ostrogradski

, (1.5)

rezulta ca

(1.6)

Avand in vedere ca integrala din (1.6) este valabila pentru orice volum dat, reiese ca expresia subintegrala tot trebuie sa fie nula, adica

(1.7)

Relatia obtinuta reprezinta ecuatia de continuitate in forma vectoriala.

Proiectand acum viteza pe axele sistemului de coordonate carteziene x, y, z, se obtine ecuatia de continuitate in forma diferentiala:

(1.8)

Pentru curgerea permanenta , si ecuatia de continuitate devine:

, (1.9)

unde u, v,w sunt proiectile vitezei de curgere.

Referat: Clasificarea constructiilor Referat: PROIECT ATESTAT Constructii-lucrari publice - instalatii de incalzire

Aplicam legea conservarii masei pentru un tub de curent cu sectiunea variabila (fig. 1.2):

Fig.1.2. Curgerea gazului printr-un tub de curent cu sectiunea variabila

Vom considera ca tubul de curent este foarte subtire astfel incat sa putem admite ca parametrii gazodinamici (viteza, presiunea si densitatea) sunt constanti in toata sectiunea sa.

Volumul fixat , iar masa de gaz continuta intr-un element de volum este egala cu , unde S - sectiunea transversala curenta a tubului.

Variatia masei intr-o unitate de timp este egala cu diferenta intre fluxul de masa intrat si cel iesit prin aceste doua sectiuni normale S si S + dS. Deci:

,

sau

Din ultima relatie dupa reducerea la rezulta ecuatia de continuitate pentru un tub de curent cu sectiunea variabila:

(1.10)

La curgerea permanenta , asa incat ecuatia devine mai simpla:

,

de unde reiese ca , sau ca debitul masic de gaz trecut printr-un tub de curent cu sectiunea variabila este constant :

(1.11)

Relatia obtinuta reprezinta ecuatia de continuitate pentru un tub de curent in forma integrala.

Logaritmand si derivand consecutiv ecuatia (1.11) rezulta:

Dupa divizarea expresiei obtinute la ecuatia initiala se obtine ecuatia de continuitate pentru un tub de curent in forma diferentiala:

(1.12)

NOTA. Ecuatia de continuitate pentru un tub de curent arata ca, datorita permanentei debitului masic, variatia sectiunii tranversale(S) a canalului conduce atat la schimbarea valorii a vitezei medie(W) de curgere, cat si la modificarea densitatii (ρ) a gazului.

1.2.2. Ecuatia impulsului

Legea conservarii impulsului din mecanica enunta ca suma vectoriala a fortelor ce actioneaza asupra unei mase de fluid in miscare este egala cu variatia impulsului in unitate de timp:

, (1.13)

in care m reprezinta masa unui volum de fluid in curgere cu viteza medie de curgere.

Vom generaliza aceasta ecuatia (1.13) pentru cazul unui volum finit V, care este limitat de o suprafata σ ( fig.1.3 ).

Fig. 1.3. Forte ce actioneaza asupra unei mase de fluid in miscare

din volumul fixat

Transcriem partea dreapta a ecuatiei in felul urmator:

,

unde este momentul cantitatii de miscare a masei fluidului in curgere, care ocupa volumul fixat V.

Suma fortelor din partea stanga a ecuatiei (1.13) include fortele unitare masice exterioare si cele interioare de suprafata , care actioneaza asupra fluidului in miscare din volumul examinat.

Pentru fluidul imperfect (vascos) tensiunea interna

,

in care:

este tensiunea normala interioara sau presiunea;

- tensiunea tangentiala, determinata de frecarea interna a fluidului.

In cazul fluidului perfect, tensiunea tangentiala este nula. Deci,

,

Transformand integrala dubla intr-o integrala tripla prin aplicarea teoremei Gauss-Ostrogradski, vom avea :

unde:

este vector unitate normal pe elementul la suprafata dσ, directionat catre interior,

iar : - gradientul presiunii.

In cazul gazelor, fortele masice unitare datorita densitatii reduse, se neglijeaza.

Atunci ecuatia impulsului pentru gaze in forma integrala va avea forma:

, (1.14)

sau

, (1.15)

care este valabila pentru orice volum V, daca

(1.16)

Proiectand ultima ecuatia pe coordonatele dreptunghiulare si notand cu

u, v, w proiectiile vitezei pe cele trei axe de coordonate, se obtine ecuatia

impulsului in forma divergenta pentru curgerea nestationara tridimensionala a gazului:

(1.17)

NOTA. La fel ca si Legea a Doua a lui Newton din mecanica clasica a punctului material, ecuatia impulsului este relatia initiala principala din care pot fi deduse toate ecuatiile de miscare, care descriu atat curgerea continua in timp, cat si curgerea cu discontinuitati ce apar in gaze la viteze supersonice, de exemplu cu unde de soc, de detonatie etc.

1.2.3. Ecuatiile de miscare a gazului perfect

Din ecuatia impulsului (1.14)          

,

rezulta ecuatia de miscare a gazului perfect in forma vectoriala:

(1.18)

Proiectand ecuatia (1.18) pe axele sistemului de coordonate dreptunghiulare se obtine sistemul ecuatiilor de miscare (1.19 1.21) a gazului perfect in forma carteziana:

(1.19)

(1.20)

(1.21)

unde u, v, w sunt proiectiile vitezei pe cele trei axe de coordonate.

1.2.4. Ecuatia energiei pentru un gaz in miscare

Sa considera un volum V de gaz aflat in miscare si marginit de suprafata σ, care intr-un intreval de timp dt creste datorita presiunii interioare pana la volumulV^/, efectuand un lucru mecanic (fig.1.4).

Fig. 1.4. Volumul fixat de gaz la efectuarea lucrului mecanic.

Principiul conservarii energiei enunta ca variatia energiei totale dE intr-un interval de timp dt, adica derivata energiei totale in timp a unei mase de gaz este egala cu lucrul mecanic efectuat de forta de presiune plus cantitatea de caldura

care obtine masa fluidului, datorita conductivitatii termice, radiatiei termice sau reactiilor chimice in acest interval de timp.

Aplicand principiul conservarii energiei si considerand transformarea fara schimb de caldura cu exteriorul (in ipoteza transformarii adiabatice) vom avea :

, unde:

este energia totala a unui volum de gaz;

e -energia interna unitara a unei mase de gaz;

- energia cinetica unitara a unei mase de gaz;

g r g - greutatea specifica a gazului;

h entalpia unitara a unei mase de gaz;

fluxul energiei totale prin suprafata s

lucrul mecanic efectuat de presiune.

Aplicand formula Gauss-Ostrogradski se obtine ecuatia energiei pentru un gaz in miscare in forma integrala:

(1.22)

Relatia ( 1.22) este valabila pentru orice volum V, daca

(1.23)

Proiectand ecuatia (1.23) pe axele sistemului de coordonate dreptunghiulare se obtine ecuatia energiei pentru un gaz in miscare in forma diferentiala:

(1.24)

1.2.5. Ecuatia Bernoulli pentru curgerea adiabatica a gazului

Pentru miscarea permanenta , ceea ce face ca ecuatia energiei ( 1.23) sa devina :

,

luand acum in consideratie ca energia totala a gazului in miscare rezulta:

.

Prin integrare se obtine relatia :

, (1.25)

care reprezinta energia unitatii de masa a gazului in miscare

Luand in consideratie expresia pentru energia interna unitara

,

precum si relatia de legatura intre c_p si c_v a lui Robert Mayer

si introducand in ecuatia (1.25) entalpia unitara

,

vom avea :     

, (1.26)

unde h₀ este entalpia totala a gazului in miscare

Tinand seama ca entalpia

, (1.27)

iar

este exponentul procesului adiabatic,

se obtine ecuatia Bernoulli pentru gaze perfecte in miscarea adiabatica:

, (1.28)

in care:

este entalpia, care reprezinta energia potentiala unitara a unei mase de gaz;

- energia cinetica unitara a unei mase de gaz, iar

entalpia totala, care reprezinta energia totala unitara a unei mase de gaz din nucleul gazului in miscare

Sistemul ecuatiilor gazodinamicii in forma divergenta

In cele din urma, se vor scrie ecuatiile gazodinamicii care exprima in forma divergenta (diferentiala) legile conservarii masei, impulsului si a energiei in coordonatele carteziene in cazul curgereii nestationare tridimensionale a gazului perfect:

, (1.29)

unde prima ecuatie (a) este ecuatia continuitatii , urmatoarele trei ecuatii () reprezinta ecuatia impulsului exprimate in coordonate cartiziene x, y, z , iar ultima ecuatia (c) - ecuatia energiei.

In forma vectoriala sistemul poate fi scrisa in forma

, (1.30)

unde s, a, b, c reprezinta vectori coloane:

; ; ;

Pentru curgerea unidimensionala nestationara sistemul ecuatiilor gazodinamice poate fi scris in forma :

, (1.31)

unde:

este viteza sunetului locala,

k exponentul adiabatic,

u viteza de curgere a gazului,

x - coordonata directiei de curgere.

Sistemul (1.31), constituit din trei ecuatii: de continuitate (a), de impuls (b) si de energie (c) contine trei parametri necunoscuti P, ρ si u , deci este inchis si poate fi rezolvat.

NOTA. Ecuatiile gazodinamicii in forma divergenta se utilizeaza la calculele numerice ael curgerilor cu discontinuitati puternice (unde de soc). Forma divergenta permite obtinerea ecuatiilor discretizate, procedeul necesar pentru calculul cu diferente finite.

Probleme rezolvate

Problema 1-1. Determinati viteza relativa de zbor a unui avion fata de mediul ambiant, daca tubul Pitot-Prandtl (fig. 1.5) instalat pe bord in directia zborului indica: P_din= 2940 N/m², temperatura aerului in exterior T = -10 ^oC. Presiunea absoluta a aerului la inaltimea de zbor indicata (altitudinea 9 km) P_abs= 93 000 N/m². Constanta de gaz a aerului R = 289 kJ/(kg·K)

Fig. 1.5. Tubul Pitot-Prandtle instalat pe bord in directia zborului.

Rezolvare

Din ecuatia Bernoulli scrisa pentru tubul Pitot aflat in curentul subsonic avem:

sau

sau

unde: r este densitatea aerului la inaltimea zborului

Din ecuatia de stare determinam densitatea gazului la altitudinea data , fiind cunoscute presiunea absoluta P_abc si temperatura T.

unde: T = 273,15 -10 = 263,15 K

Atunci viteza zborului

Bibliografie

1.1.Абрамович Г.Н.

1.2. Constantinescu V.N.,Galetuse St. Mecanica fluidelor si elemente de aerodinamica, E.D.P., Bucuresti, 1983, 506 pag.

c

1.5. Todicescu Al. Mecanica fluidelor si masini pneumatice, E.D.P., Bucuresti, 1974, 480 pag.

1.6. Stefanescu D., marinescu M., Ganea I. Termogazodinamica tehnica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1986, 484 pag

1.7. Черный Г.Г., Газовая динамика, «Наука», Москва, 1988, 642 с.