Identificarea experimentala a unui sistem alcatuit din doua vase in cascada

IDENTIFICAREA EXPERIMENTALA A UNUI SISTEM ALCATUIT DIN DOUA VASE IN CASCADA

1. OBIECTIVELE LUCRARII

Determinarea unui model matematic pe baza unor date experimentale obtinute de la un sistem dinamic. Se au in vedere urmatoarele metode de identificare: metoda celor mai mici pätrate liniare si neliniare, metoda verosimilitatii maxime si metodele recursive.

2. BREVIAR TEORETIC

Modelul matematic dinamic al procesului de acumulare intr-un vas

Pentru oricare din vasele din figura 12.1, in regim stationar este valabila relatia

Q_i = Q_e                           (12.1)

unde Q_i si Q_e sunt debitele lichidului la intrarea, respectiv la iesirea din vas. Este evident ca in acest caz nivelul din vas este constant, H.

Pentru cazul in care ,  are loc un proces de acumulare a lichidului in vas, iar zestrea de lichid a acestuia variazä in timp, astfel incat se poate scrie succesiv:

Acumulare=Intrare-Iesire

              (12.2)

unde A este aria transversala a vasului.

Fig.12.1.  Schema instalatiei experimentale alcatuita din doua vase in cascada

R₁ - rotametru, R_e - robinet cu servomotor electromagnetic, V₁, V₂ - vase de acumulare C - contact.

Deoarece scurgerea din vas este libera, debitul Q_e se poate exprima cu ajutorul relatiei

               (12.3)

unde A_r este aria sectiunii minime de trecere prin robinetul instalat pe calea de evacuare a lichidului,  - un coeficient de debit, g -acceleratia gravitatiei. Rezulta ecuatia

   (12.4)

care in regim stationar are partea stangä nula si in care atat inaltimea H cat si debitul Q_i se inlocuiesc cu valorile stationare H₀ si Q_i0 .
Dezvoltand functia  in serie Taylor in jurul punctului H = H₀ si retinand numai primii doi termeni ai dezvoltarii rezulta

  (12.5)

Prin inlocuire in ecuatia diferentiala de mai sus se obtine

                (12.6)

In relatiile ultime s-au notat  abaterile respectivelor marimi de la valorile care corespund regimului stationar si

                 (12.7)

Ecuatia diferentiala in abateri de la regimul stationar este varianta liniarizata a ecuatiei diferentiale generale scrise mai devreme, care este neliniara. Varianta ultima este valabila numai in apropierea punctului stationar reprezentat de H₀ si Q_i0.

Modelul matematic dinamic pentru doua vase in cascada

Pentru vasul al doilea din figura 12.1 se poate scrie, de asemenea, ecuatia diferentiala generala

                               (12.8)

si pentru individualizarea cazurilor marimile pot primi un indice suplimentar, 1 sau 2, intocmai cum volumele celor doua vase sunt notate in figura cu V₁ si V₂ .

Desigur, Q_e1 = Q_i2. 

Intrucat scurgerea din vasul al doilea este, de asemenea, libera, ecuatia pentru vasul al doilea este

                                 (12.9)

si este o ecuatie neliniara. Un procedeu similar de exprimare liniara a radicalilor in jurul unor valori de regim stationar H₁₀ si H₂₀ conduce la o ecuatie diferentiala liniara in ΔH₂ in care apare si ΔH₁

                             (12.10)

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

cu coeficientii c si e care se pot exprima in functie de geometria vaselor V₁ si V₂ si de sectiunile de trecere minime ale cailor de evacuare a lichidului din fiecare vas

        (12.11)

Modelul liniarizat al ansamblului celor doua vase este, asadar,

                                (12.12)

cu coeficientii a si b adaptati corespunzator vasului V₁ .

In cazul in care evacuarea lichidului din oricare din vase se face prin conducte lungi, atunci modelul matematic al vaselor se modifica. Sistemul isi modifica ordinul deoarece pentru fiecare vas se mai adauga o ecuatie

             (12.13)

care exprima faptul ca masa de lichid din conducta are o dinamica proprie de miscare sub combinatia de forte reprezentata de presiunile diferite de la capetele conductei si de frecarea vascoasa a lichidului de el insusi. Factorul de frecare intre straturi adiacente de lichid in miscare f este adimensional. Conducta de evacuare are diametrul d si lungimea l. Ecuatia este de luat in considerare ori de cate ori termenul al doilea din paranteza este important comparativ cu primul termen. O valoare a factorului de frecare pentru apa, care corespunde vascozitatii ei la temperaturi ambiante uzuale, este f = 2,509.10 ^-1.

Primul din cele doua vase din instalatia experimentala este un sistem dinamic de ordinul intai. Modelul matematic in varianta lui liniarizata conduce prin integrarea ecuatiei diferentiale-model la urmatorul raspuns la saltul treapta in debitul Q_1i care alimenteaza vasul

                     (12.14)

Sistemul de doua vase considerat liniar este de ordinul al doilea. Variatia cotei in vasul prim ramane aceeasi ca in expresia de mai sus. Variatia cotei in vasul al doilea are expresia generala

  (12.15)

cu E dependent de B si C, respectiv E = -C/(B - C), ceea ce aduce expresia ultima la forma

                    (12.16)

Ambele expresii se refera la raspunsul sistemului la aplicarea unei modificari treaptä a debitului  de lichid Q_1i care alimenteaza primul vas.

Metoda celor mai mici patrate liniare este utilizata ca metoda de estimare a parametrilor atunci cand modelul este liniar sau poate fi liniarizat in raport cu parametrii sai. Se disting douä variante ale acestei metode: fara ponderi sau cu ponderi. In ambele variante se cauta valorile parametrilor modelului cand se cunosc rezultatele observarii experimentale a uneia sau mai multor variabile dependente (iesiri), in conditii de buna stapanire a variabilelor independente (inträri) ale sistemului modelat. Acest lucru semnifica faptul ca variabilele independente sunt mäsurate/modificate/mentinute cu o precizie net mai buna decat cele dependente, astfel incat valorile primelor se pot considera cunoscute aproape exact, pe cand valorile celor din urma sunt afectate de erori care nu pot fi trecute cu vederea. In cazul in care erorile de observare a variabilei (variabilelor) dependente sunt aceleasi pe tot domeniul lor de valori, se aplica metoda celor mai mici patrate fara ponderi, ceea ce rezida in rezolvarea sistemului de ecuatii care rezulta din conditiile de minim al sumei de patrate

                                (12.17)

exprimata si ca o suma de termeni reprezentand diferentele experiment-model pentru fiecare k = 1, 2, , N din cele N observatii/experiente, dar si in functie de vectorii observatiilor y_o si valorilor calculate din model y_c .

Daca erorile care afecteaza iesirile sunt diferite pe intinderea domeniului de valori, se aplica metoda celor mai mici patrate ponderate, adica se rezolva sistemul de ecuatii care rezulta din conditiile de minim al sumei de patrate

                        (12.18)

cu ponderile q_k (k = 1, 2, , N) continute explicit in suma de patrate sau in matricea diagonala Q. Ponderile sunt de obicei invers proportionale cu erorile medii patratice sau cu dispersiile observatiilor in punctele de indice k. In ambele cazuri minimizarea sumei S dependenta patratic de parametrii modelului se reduce la a rezolva un sistem normal de ecuatii liniare cu necunoscutele tocmai parametrii de estimat.

Metoda celor mai mici patrate neliniare este analoga celei liniare: aceleasi sume de patrate trebuie minimizate, de la caz la caz cu sau fara ponderi (cu ponderi egale). Suma patratelor este insa o functie mai complicata de parametrii de estimat si minimizarea ei necesita utilizarea unor metode speciale, de pilda metodele de gradient sau alte metode inca mai rafinate.

Metoda verosimilitatii maxime se utilizeaza atunci cand erorile de masurare/mentinere a variabilelor independente nu mai sunt nici ele atat de lipsite de importanta. Valorile parametrilor maximum verosimile sunt acelea care fac maxima o probabilitate combinata a diferentelor model-experiment.

Metodele recursive au la baza metodele de mai sus, dar si altele, caracteristic fiindu-le utilizarea datelor experimentale pe masura observarii lor. Asadar, ele pot fi utilizate "on-line" pentru estimarea parametrilor modelului asociat unui sistem dinamic dat. Aspectele teoretice ale estimarii de parametri recursive au fost date, cel putin pentru metoda celor mai mici patrate recomandata a se aplica in lucrarea prezentä, la cursul de Identificarea sistemelor.

Prin utilizarea metodelor de estimare enumerate in sectiunea precedenta se vor realiza programe de calcul pentru estimarea din datele experimentale la dispozitie a parametrilor A, B, C si D.

Pentru metoda verosimilitatii maxime se presupune ca eroarea medie patratica de citire a timpului este de 1.5 secunde.

Metoda celor mai mici patrate se aplica aici in varianta neliniara. Intr-adevar, suma patratelor abaterilor pentru sistemul de ordinul unu reprezentat de primul vas este

     (12.19)

fiind o functie neliniara de parametrii A si B. La fel, pentru nivelul observat si calculat la diferite momente in vasul al doilea suma patratelor diferentelor

(12.20)

este o functie neliniara in parametri de estimat B, C si D. Cele doua functii sunt masuri ale distantei model-experiment si trebuie minimizate prin stabilirea celor mai potrivite valori ale parametrilor A, B, C si D.
Minimizarea functiilor obiectiv, cele de mai sus sau altele, se poate obtine pe cai diverse.

Metodele de gradient au in vedere vectorul derivatelor partiale ale functiei de minimizat numit si gradientul functiei. Evaluarea gradientului intr-un punct permite stabilirea directiei in care functia scade/creste cel mai rapid. O modificare a variabilelor, in cazul de fata a parametrilor de estimat, proportionala cu valorile derivatelor partiale, asigura deplasarea pe directia gradientului. Variatii de semn contrar pe fiecare directie componenta a gradientului, nu foarte importante, fac ca functia sa scada. Evaluari repetate ale gradientului si deplasarea in spatiul explorat pe directia vectorului gradient conduc in cele din urma la stabilirea coordonatelor unui extrem (minim). Acesta poate fi in cazul general al functiilor cu mai multe extreme un extrem local. Localizarea extremului "cel mai extrem" poate fi uneori problematica. Reluarea calculelor cu un alt punct de pornire ofera o sansa de a atinge un alt minim, care poate fi "cel mai minim" intre minimele functiei. Sub aspectul rapiditatii cu care este localizat un extrem, metodele de gradient pot fi uneori lente. De aceea s-au pus la punct variante ale metodelor de gradient, care fac cautarea eficientä.
pe categorii de functii.

Programul recomandat, est.pas, face estimarea de parametri in etape. Mai intai produce valori pentru parametrii sistemului de ordinul unu constituit de primul din cele doua vase in cascada. Apoi face acelasi lucru pentru sistemul in ansamblu, mentinand valorile pentru primul vas constante, asa cum au fost stabilite in prima etapa. Aici se mizeaza pe relativa independenta a vasului prim de cel de al doilea, ceea ce este in buna masura corect. In general, estimarea de parametri trebuie fäcuta concomitent prin minimizarea sumei celor doua functii obiectiv tratate aici separat.

Programul propus utilizeaza metoda celor mai mici patrate (neliniare) si metoda verosimilitatii maxime. In cazul din urma pentru primul vas este obtinuta si o elipsa de incredere, echivalenta intervalului de incredere din cazul unidimensional, elipsa care contine in interiorul ei toate perechile de valori ale parametrilor la fel de bune sub aspect statistic ca si valorile centrale, utilizabile asadar in egala masura in modelul dinamic al sistemului. Nu s-a recurs la calculul similar pentru sistemul incluzand al doilea vas deoarece in etapa a doua a calculului sunt estimati concomitent trei parametri si reprezentarile grafice sunt mai dificile. Este sugerata completarea programului cu reprezentarea tridimensionala a elipsoidului de incredere pentru parametrii estimati.
Cand datele sunt recoltate in timp real, sunt preferate metodele recursive de estimare a parametrilor. Pe aceleasi date experimentale, programul rec.pas executa operatia de estimare a parametrilor in maniera recursiva. Se admite ca sistemul de vase in cascada este discret sau, mai corect, este descris de un model matematic de tip discret.

3. MODUL DE LUCRU

Determinarea modelului matematic se bazeaza pe datele experimentale referitoare la evolutia in timp a cotelor lichidului in cele doua vase in cascada .

Se studiaza raspunsul sistemului din figura 12.1 pentru un semnal treapta aplicat debitului de alimentare a primului vas Q_i1.

Desfasurarea experimentului se realizeaza dupa cum urmeaza:

1. Se aduce procesul intr-un regim stationar caracterizat prin constanta functiilor de timp Q_i1(t), H₁(t), H₂(t). Un punct stationar convenabil este Q_i1(t)=50 l/ora, H₁(t)=75 mm, H₂(t)=80 mm. Obtinerea acestor valori se realizeaza prin manevrarea robinetelor instalatiei, cu robinetul de actionare electromagnetica R_e inchis.

2. Prin intermediul robinetelor R_e sau R₂ se da o variatie treapta debitului Q_i1. Se recomanda o treapta pozitiva astfel incat Q_i1 sa ajunga la 70-80 l/ora. Se noteaza evolutia in timp a nivelurilor H₁ si H₂ pe indicatoarele de nivel atasate vaselor. Aceste date vor fi trecute intr-un tabel - tabelul 12.1- urmand apoi a fi introduse intr-un fisier de date, expe.dat.                                              Tabelul 12.1

In tabel timpul este marcat cu t, iar cotele in cele doua vase sunt notate cu Δh₁, Δh₂.

Este foarte important ca pe durata regimului tranzitoriu valoarea debitului  Q_i1 sa nu se modifice. In acest scop, va fi observat permanent debitul indicat de rotametrul instalatiei. Micile variatii se recomanda a fi eliminate prin actionarea robinetului R₁.

3. Pentru determinarea constantelor de timp, se traseaza graficele functiilor H₁(t) si H₂(t) .

Identificarea sistemului propus prin determinarea modelului matematic se va realiza prin parcurgerea urmatoarelor etape

• Estimarea pe baza datelor experimentale a constantelor de timp ale sistemului cu acumulare de lichid, folosind programul est.pas
• Estimarea in maniera recursiva, pe baza datelor experimentale, a constantelor de timp ale sistemului, folosind programul rec.pas;
• Compararea valorilor obtinute prin aplicarea diferitelor metode de identificare ;
• Estimarea modelului matematic utilizand alte metode de identificare: metoda erorii de predictie, metoda variabilei instrumentale, cu elaborarea programelor software de calcul corespunzatoare.