UNGHIURI - teorema unghiurilor

UNGHIURI

Unghiul este figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine.

Originea comuna se numeste varful unghiului, iar cele doua semidrepte se numesc laturile unghiului. Daca cele doua semidrepte sunt si atunci unghiul se noteaza (sau ) si citim "unghiul AOB", sau notam simplu sau (daca nu este pericol de confuzie) si citim "unghiul O".

Observatie: In notarea unui unghi prin trei litere, litera din varful unghiului trebuie scrisa la mijloc in timp ce pentru celelalte doua litere ordinea nu conteaza.    

Clasificarea unghiurilor

1. Unghiuri improprii

Unghiul nul este unghiul format de doua semidrepte identice.

Unghiul alungit este unghiul format de doua semidrepte opuse.

2. Unghiuri proprii

Unghi propriu este unghiul care nu este nici nul nici alungit.

Daca este un unghi (propriu), atunci interiorul lui se defineste ca multimea punctelor M din planul unghiului astfel incat M si B sunt de aceeasi parte a dreptei OA, si M si A sunt de aceeasi parte a dreptei OB (zona hasurata din figura de mai jos).

Interiorul unui unghi il notam .

Insrumentul care se foloseste pentru masurarea unghiurilor este raportorul. Rezultatul masurarii unghiului se noteaza cu si se citeste "masura unghiului AOB".

Unitatea de masura folosita, pentru masurarea unghiurilor, este gradul sexagesimal, care se noteaza "", cu submultiplii urmatori:

minutul, care se noteaza "", iar ,

secunda, care se noteaza "", iar .

Masura unghiului nul este egala cu , iar masura unghiului alungit este egala cu .

Clasificarea unghiurilor proprii:

unghi ascutit: unghiul cu masura cuprinsa intre si ;

unghi drept: unghiul cu masura de .

unghi obtuz: unghiul cu masura cuprinsa intre si .

Doua unghiuri care au masuri egale se numesc unghiuri congruente si reciproc, doua unghiuri congruente au masuri egale.

Obtinem: .

Exista o situatie geometrica care ne conduce la ideea de a aduna unghiurile.

Axioma de adunare a unghiurilor: Daca B este un punct interior unghiului , atunci .

In acest caz se numeste unghi suma al unghiurilor si , deci obtinem ca .

Deoarece masurile unghiurilor se exprima prin numere, acestea se pot aduna fara a fi nevoie sa realizam si o reprezentare geometrica a lor.

Masurile a doua unghiuri, exprimate in grade, minute si secunde se aduna astfel: se aduna numerele care reprezinta unitati de acelasi fel (grade, minute, secunde). Daca numarul minutelor sau secundelor obtinute este mai mare de 60 se transforma in unitati mai mari.

Exemplu:

.

Masurile a doua unghiuri, exprimate in grade, minute si secunde se scad astfel: se scad numerele care reprezinta unitati de acelasi fel (grade, minute, secunde), daca unitatile de la descazut sunt mai mari, se ia o unitate mare si se transforma in unitatea inferioara ei.

Exemplu:

.

Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi

Definitie: Se numesc unghiuri adiacente doua unghiuri care au varful comun, o latura comuna si nu au puncte interioare comune.

In figura de mai sus sunt reprezentate unghiurile , si . Unghiurile , au varful O comun, latura comuna si nu au puncte interioare comune, deci sunt adiacente. Perechile de unghiuri si , respectiv si au varful comun O, au cate o latura comuna , respectiv , dar nu sunt adiacente pentru ca au puncte interioare comune.

Definitie: Se numeste bisectoarea unui unghi propriu semidreapta situata in interiorul lui, ce formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri congruente.

Daca este bisectoarea unghiului , atunci si .

Observatie: Bisectoarea unui unghi este unica.

Cum constrium bisectoarea unui unghi cu rigla negradata si compasul?

Trasam un arc de cerc cu centrul in O care taie laturile unghiului in punctele A si B. Cu aceeasi deschidere a compasului trasam arce de cerc cu centrul in punctele A si B care se vor intersecta a doua oara in P. Dreapta OP este dreapta suport pentru bisectoarea unghiului .

Unghiuri suplementare si complementare; Teorema suplementului si teorema complementului

Definitie: Se numesc unghiuri suplementare doua unghiuri proprii care au suma masurilor de . Fiecare dintre cele doua unghiuri se numeste suplementul celuilalt.

Daca , atunci si sunt suplementare; este suplementul unghiului , iar este suplementul unghiului .

Teorema suplementului: Daca doua unghiuri sunt congruente si suplementele lor sunt congruente.

Teorema reciproca: Daca doua unghiuri au suplemente congruente atunci ele sunt congruente.

Putem, folosind rezultatele prezentate sa dam o alta definitie unghiului drept:

Definitie: Se numeste unghi drept orice unghi congruent cu un suplement al sau.

In acest caz mai putem defini:

1) Daca si formeaza un unghi drept, atunci ele se numesc semidrepte perpendiculare si se noteaza: .

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

2) Daca , atunci dreptele AB si AC se numesc drepte perpendiculare si se noteaza: .

3) Daca si determina dreptele perpendiculare AB si AC, atunci ele se numesc segmente perpendiculare si se noteaza .

Definitie: Se numesc unghiuri complementare doua unghiuri proprii care au suma masurilor de . Fiecare dintre cele doua unghiuri se numeste complementul celuilalt.

Daca , atunci si sunt complementare; este complementul unghiului , iar este complementul unghiului .

Teorema complementului: Daca doua unghiuri sunt congruente si complementele lor sunt congruente.

Teorema reciproca: Daca doua unghiuri au complemente congruente atunci ele sunt congruente.

Unghiuri opuse la varf; unghiuri in jurul unui punct

Sa consideram doua drepte concurente AB si CD, care se intersecteaza in punctul O.

Obtinem patru unghiuri proprii: ; ; si . Consideram perechile de unghiuri care nu sunt adiacente: si respectiv si . Aceste perechi de unghiuri sunt opuse la varf.

Definitie: Se numesc unghiuri opuse la varf doua unghiuri proprii in care laturile lor sunt perechi de semidrepte opuse.

Teorema unghiurilor opuse la varf: Unghiurile opuse la varf sunt congruente.

1) Daca doua unghiuri sunt congruente atunci ele sunt opuse la varf.

2) Daca sunt semidrepte opuse, C si D situate de o parte si de alta a dreptei AB iar , atunci si sunt opuse la varf.

Prima propozitie reciproca se observa ca nu este adevarata, dar a doua este adevarata, deci ea devine teorema reciproca.

Teorema reciproca a unghiurilor opuse la varf: Daca si sunt semidrepte opuse, C si D situate de o parte si de alta a dreptei AB iar , atunci si sunt opuse la varf.

Definitie: Se numesc unghiuri in jurul unui punct O un numar finit de unghiuri care au acelasi varf (varful O), iar orice punct al planului ce nu apartine nici uneia din laturile lor apartine interiorului unui singur unghi.

In figura de mai sus, unghiurile:, , , si sunt unghiuri in jurul punctului O.

Teorema unghiurilor in jurul unui punct. Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este .

Doua drepte concurente care formeaza un unghi drept se numesc drepte perpendiculare. Semnul pentru perpendicularitate este "".

In figura de mai sus dreptele a si b sunt perpendiculare, caz in care scriem .

Triunghiuri

Triunghiul este figura geometrica formata din reuniunea celor trei segmente determinate de trei puncte necoliniare.

Triunghiul din figura de mai sus se noteaza .

Un triunghi are trei varfuri: A, B si C; trei unghiuri: si si trei laturi: , si.

Se numeste perimetrul unui triunghi suma lungimilor laturilor sale, adica .

In functie de lungimea laturilor avem:

triunghi isoscel, care are doua laturi congruente; cea de a treia latura se numeste baza;

este isoscel cu baza pentru ca .

triunghi echilateral, care are toate laturile congruente;

este echilateral pentru ca .

triunghi scalen sau oarecare, care nu are laturi congruente.

In functie de masura unghiurilor, avem:

triunghi ascutitunghic, care are toate unghiurile ascutite;

triunghi dreptunghic, care are un unghi drept si doua ascutite. Laturile care formeaza unghiul drept se numesc catete, iar cealalta latura se numeste ipotenuza.

In cazul triunghiului dreptunghic ABC de mai sus laturile si sunt catete, iar latura este ipotenuza.

triunghi obtuzunghic, care are un unghi obtuz  si doua unghiuri ascutite.

Patrulatere

Patrulaterul este linia franta inchisa formata din patru segmente, care nu au puncte interioare comune.

Patrulaterul are patru varfuri: M, N, P, Q; patru unghiuri: , , si si patru laturi: , , si . Perechile de varfuri , de laturi (,), (, ) si de unghiuri (, ), (, ) sunt opuse.

Segmentul de dreapta care uneste doua varfuri opuse intr-un patrulater, se numeste diagonala.

Se numeste perimetrul unui patrulater suma lungimilor laturilor sale, adica .

Paralelogramul este patrulaterul care are laturile opuse paralele.

Dreptunghiul este paralelogramul care are un unghi drept.

Dimensiunile unui dreptunghi se numesc lungime (L) si latime ( l ). Cu aceste notatii avem perimetrul si aria .

Rombul este paralelogramul care are doua laturi consecutive congruente.

Patratul este paralelogramul care este si dreptunghi si romb.

Trapezul este patrulaterul care are doua laturi opuse paralele si doua neparalele. Laturile paralele se numesc baze.

Cercul este figura geometrica formata din toate punctele dintr-un plan, egal departate de un punct fix, numit centrul cercului.

Corpuri geometrice

Poliedre. Un corp geometric marginit numai de fete plane poarta denumirea de  poliedru.

Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul) este un poliedru cu sase fete, toate dreptunghiuri. El are trei dimensiuni: lungimea (L); latimea (l) si inaltimea (h).

Elementele paralelipipedului dreptunghic ABCDA B C D sunt:

Varfuri: punctele A, B, C, D, A , B , C , D

Muchii: segmentele , , , , , , , , , , , ;

Baza inferioara: dreptunghiul ABCD;

Baza superioara: dreptunghiul A B C D

Fete laterale: dreptunghiurile ABB A , BCC B , CDD C , ADD A

Aria si volumul:

- aria bazei este aria dreptunghiului de la baza inferioara, deci ;

- aria laterala este suma ariilor fetelor laterale, deci ;

- aria totala este suma ariilor tuturor fetelor, deci;

- volumul este .

Cubul este paralelipipedul dreptunghic, care are toate dimensiunile egale.

Observatie: Cubul are toate fetele patrate.

Vom nota cu a lungimea muchiei cubului.

Aria si volumul:

aria bazei ;

aria laterala ;

aria totala ;

volumul .

Piramida este poliedrul care are o singura baza, poligon, iar fetele laterale sunt triunghiuri.

In functie de poligonul de la baza piramida poate fi: triunghiulara, daca baza este un triunghi sau patrulatera, daca baza este patrulater.

Elementele piramidei triunghiulare VABC ( respectiv ale piramidei patrulatere VABCD) sunt:

Varf: punctul V;

Baza: triunghiul ABC ( respectiv patrulaterul ABCD);

Muchii laterale: segmentele , , ( respectiv, , , );

Fete laterale: triunghiurile , , ( respectiv , , , ).

Corpuri rotunde

Cilindrul este un corp geometric rotund, care are doua baze egale in forma de disc si o suprafata laterala rotunda.

Elementele cilindrului sunt:

Baze: discurile egale de centru O, respectiv O si raza r;

Raza: r.

Conul este corpul geometric rotund, care are o singura baza, care este disc, un varf si o suprafata laterala rotunda.

Elementele conului sunt:

Varf: punctul V;

Baza: discul de centru O si raza r;

Raza: r.

Sfera este multimea punctelor din spatiu egal departate de un punct fix, numit centrul sferei.

Elementele sferei sunt:

Centrul: punctul O;

Raza: r.

Localizarea in plan a unui punct cu coordonate intregi

Axele perpendiculare xx si yy , concurente in punctul O, formeaza un sistem de coordonate sau sistem ortogonal de axe.

Dreptele xx si yy se mai noteaza Ox si Oy si se numesc axe de coordonate. Ox este axa absciselor, iar Oy este axa ordonatelor. Sensul pe aceste axe este de la O la x, respectiv de la O la y.

Punctul O se numeste originea sistemului de coordonate.

Cu ajutorul a doua valori, numite coordonate, putem fixa pozitia unui punct in plan. Coordonatele unui punct sunt x si y , unde x se masoara pe axa Ox si se numeste abscisa punctului M, iar y se masoara pe axa Oy si se numeste ordonata punctului M.

Exemplu: Reprezentarea intr-un sistem de coordonate a punctelor , , este:

Observam ca punctele si au aceeasi abscisa, iar punctele si au aceeasi ordonata.

Simetria si translatia

Vom spune ca o figura admite axa de simetrie daca exista o dreapta ce separa figura in doua parti, si daca indoim figura sau planul pe care este desenata figura cele doua parti ale figurii vor coincide prin suprapunere. Dreapta dupa care s-a facut indoirea se numeste axa de simetrie.

Exemple:

Daca punctele unei figuri (corp) geometrice se deplaseaza in aceeasi directie si acelasi sens cu aceeasi distanta spunem ca a avut loc o miscare de translatie.

Exemple: In figura de mai jos am realizat translatia patrulaterului ABCD in patrulaterul A`B`C`D`.

Unitati de masura pentru lungime

Unitatea principala de masura pentru lungime este metrul (m).

Multiplii metrului sunt: decametrul (dam), hectometrul (hm), kilometrul (km).

Submultiplii metrului sunt: decimetrul (dm), centimetrul (cm), milimetrul (mm).

Multiplii si submultiplii metrului cresc si descresc din 10 in 10.

Acest lucru se poate exprima prin urmatorul tabel:

Unitati de masura pentru arie

Unitatea de masura pentru arie este metrul patrat (m2) cu multiplii si submultiplii sai.

Metrul patrat reprezinta aria unui patrat cu latura de 1m.

Multiplii metrului patrat sunt: decametrul patrat (dam2), hectometrul patrat (hm2), kilometrul patrat (km2). Pentru decametrul patrat se mai foloseste, mai ales in agricultura, notiunea de ar, iar pentru hectometrul patrat notiunea de hectar (ha).

Submultiplii metrului patrat sunt: decimetrul patrat (dm2), centimetrul patrat (cm2), milimetrul patrat (mm2).

Multiplii si submultiplii metrului patrat cresc si descresc din 100 in 100.

Unitati de masura pentru volum

Unitatea de masura pentru volum este metrul cub (m3) cu multiplii si submultiplii sai.

Metrul cub reprezinta volumul unui cub cu latura de 1m.

Multiplii metrului cub sunt: decametrul cub (dam3), hectometrul cub (hm3), kilometrul cub (km3).

Submultiplii metrului cub sunt: decimetrul cub (dm3), centimetrul cub (cm3), milimetrul cub (mm3).

Multiplii si submultiplii metrului cub cresc si descresc din 1000 in 1000.

Unitati de masura pentru volumul lichidelor

Unitatea de masura pentru volumul lichidelor este litrul (l) cu multiplii si submultiplii sai.

Multiplii litrului sunt: decalitrul (dal), hectolitrul (hl), kilolitrul (kl).

Submultiplii litrului sunt: decilitrul (dl), centilitrul (cl), mililitrul (ml).

Multiplii si submultiplii litrului cresc si descresc din 10 in 10.

Observatie Intr-un cub cu muchia de 1dm incape, exact, un litru de lichid. Deci putem spune ca 1l 1dm3.

Unitati de masura pentru masa

Unitatea de masura pentru masa este kilogramul (kg) cu multiplii si submultiplii sai.

Multiplii kilogramului sunt: quintalul (q) si tona (t).

Submultiplii kilogramului sunt: hectogramul (hg), decagramul (dag), gramul (g), decigramul (dg), centigramul (cg), miligramul (mg).

Submultiplii kilogramului cresc si descresc din 10 in 10, iar 1q =100kg si 1t =1000kg.

Unitati de masura pentru timp

Unitatea principala pentru masurarea timpului este secunda (s). Alte unitati de masura, pentru timp, sunt:

- minutul (min), 1min = 60 s;

- ora (h), 1h = 60 min;

- ziua, are 24 ore;

- saptamana, are 7 zile;

- luna, are 28, 29, 30 sau 31 zile;

- anul, are 12 luni (365sau 366 zile). Anul care are 366 de zile se numeste an bisect si este divizibil cu 4;

- deceniul, are 10 ani;

- secolul (veacul), are 100 ani;

- mileniul (era), are 1000 ani.