Trei metode de demonstrare a inegalitatii lui Euler

Trei metode de demonstrare a inegalitatii lui Euler ( * )

Gizela Pascale

Fie in care notam cu a, b, c lungimile laturilor BC, AC, AB si cu R si r raza cercului circumscris, respectiv inscris triunghiului dat.

I.         Prima metoda de lucru consta in a exprima raportul unde , , iar cu formula lui Heron.

Solutie: Notam

2p-2a=x, 2p-2b=y, 2p-2c=z . Obtinem  . Cum de unde ceea ce conduce la ( * )  cu egalitate x=y=z a=b=c, adica echilateral.

II. A doua metoda de lucru consta in stabilirea relatiei lui Euler: unde C(I, r), C(O, R) reprezinta cercul inscris, respectiv circumscris

. Cum ( * ).

Solutie: Fie C(O, R). Din ABD cu teorema sinusului obtinem si in exprimam (1), unde P este proiectia punctului I pe latura AB. Se constata cu usurinta ca ( fiecare are masura ), deci DBI este isoscel cu ID BD

(2). In AOD aplicam teorema lui Stewart si obtinem . Cum din (1)+ (2) obtinem relatia cautata, de unde concluzia.

III. Pentru a demonstra inegalitatea ( * ), stabilim mai intai relatia lui Carnot: , unde cu am notat distantele de la centrul cercului circumscris triunghiului ABC la laturile de lungimi a, b, c, iar M, N, P sunt proiectiile punctului O pe laturile BC, AC, AB.

Solutie: Patrulaterele APON, BMOP, CNOM sunt inscriptibile si aplicand teorema lui Ptolemeu in acestea, obtinem de exemplu: ceea ce conduce la relatiile ; ; .

Adunand aceste trei egalitati si grupand convenabil

prin urmare deci

. Am folosit , deci obtinem relatia lui Carnot.

Mai departe vom demonstra teorema lui Paul Erdos care afirma ca:

Daca P este un punct care apartine interiorului triunghiului ABC ascutitunghic si A', B', C' sunt proiectiile punctului P pe laturile triunghiului, atunci are loc:

AP+BP+CP2( P A'+P B'+P C').

Solutie: Fie AP=, BP, CP, P A', P B', P C' Inegalitatea din enunt este echivalenta cu

Patrulaterul A B'P C' este inscriptibil deci B'C' Analog exprimam A'C' si

A'B'. Fie si proiectiile punctelor C' si B' pe BC. Atunci A A'. Fie C'; m(DP C')cos(DP C') de unde A si analog A , deci Cum B'C'obtinem

si analoagele:

, prin adunarea acestor ultime trei inegalitati obtinem Cu datele obtinute putem demonstra acum inegalitatea lui Euler.

Fie inlocuind in inegalitatea Paul Erdos, obtinem . Cum , prin urmare ( * )

Bibliografie:

Buletin matematic, Vol.1, Targoviste, 1987.

Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990.