Probleme geometrie si trigonometrie - rezolvate

LUCRAREA NR. 1

TEMA  1

Se considera suprafata de forma triunghiulara determinate de punctele :

A(65.87+3*n;26.71+3*n)

B(87.03+3*n;61.99+3*n)

C(124.44+3*n;37.57-3*n)

N exprimat in centimetri

Se cere:

-determinarea suprafetei triunghiului

-detasarea suprafetei de 500 mp din aceasta suprafata prin punctual obligat B .

Rezolvare:

Pentru n=22  grupa 3

Calculul suprafetei se va face analytic din coordonatele punctelor

Se calculeaza coordonatele punctelor

X_A=65.87+3*22/100=65.87+0.66=66.53m

Y_A=26.71+0.66=27.37m

A(

X_B=87.03+0.66=87.69m

Y_B=61.99+0.66=62.65m

B(

X_C=124.44-0.66=123.78m

Y_C=37.57-0.66=36.91m

C(

-2S=X_A(Y_B- Y_C)+ X_B(Y_C- Y_A)+ X_C(Y_A- Y_B)

-2S=66.53(62.65-36.91)+87.69(36.91-27.37)+123.78(27.37-62.65)

-2S=1712.4822+836.5626-4366.9584

-2S=-1817.9136

S=908.95mp

Detasarea grafica

Se detaseaza suprafata de 500mp din S=908.95mp prin punctual obligat B.

Fie punctual P punctual determinat de dreapta de detasare.

Se calculeaza inaltimea triunghiului de detasare ABP

h=2*s/D_AB

2s=2*500=1000mp

D_AB=[(X_B-X_A)²+(Y_B-Y_A)²]^1/2

D_AB=(1244.6784+447.7456)^1/2

D_AB=41.13m

h=1000/41.13

h=24.31m

Se duce o perpendicular ape latura AB in punctual A

Prin capatul perpendicularei se duce o paralela la latura AB ce va intalni latura AC in punctual de detasare P.

Se masoara segmentul AP , se inmulteste marimea cu scara planului si pe teren punctul va fi determinat pe aliniamentul laturii AC.

Procedeul analitic

Trebuie sa se determine coordonatele punctului P ca punct pe segmental AC astfel incat suprafata triunghiului ABP sa fie 500mp.

X_P=X_A+r(X_c-X_A)

Y_P=Y_A+r(Y_C-Y_A)

Raportul r se determina cu relatia r=s/S unde:   s=suprafata detasata  si S=suprafata totala

s=500mp

S=908.95mp  (s-a calculat din coordonate)

r=500/908.95=0.55

X_P=66.53+0.55(123.78-66.53)

X_P=98.01 m

Y_P=27.37+0.55(36.91-27.37)

Y_P=32.61

Se verifica din coordonate suprafata triunghiului ABP

A(

B(

P(

-2S=66.53(62.65-32.61)+87.69(32.61-27.37)+98.01(27.37-62.65)

-2S=1998.5612+459.4956-3457.7928

-2S=-999.99

S=500mp

Procedeul trigonometric

Se calculeaza orientarile laturilor AB si AC

Ө_AB=arctg (y_B-y_A)/(x_B-x_A)

Ө_AC=arctg (y_C-y_A)/(x_C-x_A)

Ө_AB=arctg(62.65-27.37)/(87.69-66.53)=arctg35.28/21.16=arctg1.667296786

Ө_AB=65.6064

Ө_AC=arctg(36.91-27.37)/(123.78-66.53)=arctg(9.54/57.25)=arctg0.166637554

Ө_AC=10.5118

Se calculeaza unghiul dintre laturile AB si AC .

_{AB AC}

sin

cos

se calculeaza inaltimea h a triunghiului ABP (detasat)cu formula h=2s/D_AB

h=PP^'=24.31m

apoi in triunghiul APP^' se poate calcula distanta de la A la P .

AP=d=h/ sin α

d=24.31/0.7714

d=25.08m

avand distanta de la A la P si orientarea _AC punctual P fiind punct pe segmental AC se pot calcula coordonatele punctului P .

X_P=X_A+d cos Ө_AC

Y_P=Y_A+ d sin Ө_AC

X_P=66.53+25.08*cos10.5118

X_P=98.02m

Y_P=27.37+25.08*sin10.5118

Y_P=32.60m

TEMA 2

Sa se detaseze suprafata de 500 mp din patrulaterul ABCD prin ounctul obligat B .

Se dau coordonatele punctelor:

A(68.79+3*n;59.27+3*n)

B(101.16+3*n;60.28+3*n)

C(119.63+3*n;32.20+3*n)

D(61.49+3*n;33.87+3*n)

n exprimat in centimetri

n= grupa 3

A(

B(

C(

D(

Se calculeaza din coordonate suprafata patrulaterului

-2S=X_A(Y_B-Y_D)+X_B(Y_C-Y_A)+X_C(Y_D-Y_B)+X_D(Y_A-Y_C)

-2S=69.45(60.94-34.53)+101.82(32.86-59.93)+120.29(34.53-60.94)+62.15(59.93-32.86)

-2S=1834.1745-2756.2674-3176.8589+1682.4005

-2S=-2416.5513

S=1208.27mp

Se imparte patrulaterul in triunghiurile ABD si ADC

Se verifica daca suprafata ABD este mai mare decat suprafata de detasat

2S_ABD=X_A(Y_B-Y_D)+X_B(Y_D-Y_A)+X_D(Y_A-Y_B)

2S_ABD=69.45(60.94-34.53)+101.82(34.53-59.93)+62.15(59.93-60.94)

2S_ABD=1834.1745-2586.2280-62.7715

2S_ABD=814,825

S_ABD=407.4125

Pentru detasarea suprafetei de 500mp este deci nevoie sa se detaseze triunghiul ABD si in plus 92.58mp din triunghiul BDC ;prin urmare detasarea se reduce la o detasare in triunghiul BDC.

DETASAREA GRAFICA

Se calculeaza inaltimea triunghiului de detasare BDC

h=2s/D_BD

s=92.58mp

D_BD=[(X_D-X_B)²+(Y_D-Y_B)²]^1/2

D_BD=[(62.15-101.82)²+(34.53-60.94)]^1/2

D_BD=(1573.7089+697.4881)^1/2

D_BD=47.46m

h=2*92.58/47.46

h=3.90m

Analiza: Materiale si aliaje cu inalta conductibilitate pentru contacte Proiect: Proiectarea optimala a compozitiei chimice pentru materiale oxidice

Se duce o perpendiculara  pe latura BD in punctul D in lungime de 3.90m.

Prin capatul perpendicularei se duce o paralela la latura BD care va intersecta latura CD in punctul  de detasare P.

Se masoara segmentul CP , se inmulteste marimea cu scara planului si pe teren punctul va fi determinat pe aliniamentul laturii CB.

REZOLVARE ANALITICA

Se va determina punctul  P pe segmentul DC astfel incat suprafata triunghiului ADP sa fie 92.58mp.

Punctul P va fi determinat ca punct pe segment cu formulele:

X_P=X_D+r(X_C-X_D)

Y_P=Y_D+r(Y_C-Y_D)

Raportul r=s/S        unde s=suprafata de detasat

S=suprafata triunghiului BDC

S=92.58mp

2S_BDC=X_B(Y_D-Y_C)+X_D(Y_C-Y_B)+X_C(Y_B-Y_D)

2S_BDC=101.82(34.53-32.86)+62.15(32.86-60.94)+120.29(60.94-34.53)

2S_BDC=170.0394-1745.172+3176.8589

2S_BDC=1601.7263

S_BDC=800.86

r=92.58/800.86

r=0.1156

X_P=62.15+0.1156(120.29-62.15)

X_P=68.87

Y_P=34.53+0.1156(32.86-34.53)

Y_P=34.33

REZOLVARE TRIGONOMETRICA

Se calculeaza orientarile laturilor DBsi DC.

Ө_DB=arctg(Y_B-Y_D)/(X_B-X_D)

Ө_DB=arctg(60.94-34.53)/(101.82-62.15)=arctg(26.41/39.67)

Ө_DB=arctg0.6657423

Ө_DB=37.3926

Ө_DC=arctg(Y_C-Y_D)/(X_C-X_D) =arctg(32.86-34.53)/(120.29-62.15)= arctg(-1.67/58.14)

_DC=arctg(-0.028723)

_DC

Se calculeaza unghiul intre orientarile laturilorDC si DB.

400-398.1718)

sin

cos

se calculeaza distanta BD.

D_BD=[(X_D-X_B)²+(Y_D-Y_B)²]^1/2

D_BD=[(62.15-101.82)²+(34.53-60.94)²]^1/2

D_BD=(1573.7089+679.4881)^1/2

D_BD=2271.197^1/2

D_BD=47.65m

Avand unghiul si latura BD calculate se poate calcula inaltimea triunghiului

h=2*s/D_BD

h=2*92.58/47.65

h=3.88m

in triunghiul BDP se poate calcula distanta d_DP

d_DP=h/sin α

d_DP=3.88/0.577839

d_DP=6.71m

avand distanta de la B la P si orientarea laturii DC pe care se afla punctul P se pot determina coordonatele punctului P.

X_P=X_D+ d_DP*cos _DC

Y_P=Y_D+ d_DP*sin _DC

X_P=62.15+6.71*cos398.1718

X_P=68.85

Y_P=34.53+6.71*sin398.1718

Y_P=34.33

TEMA 3

Sa se detaseze prin punctual obligat B suprafata de 900mp din poligonul ABCDEF format din punctele :

A(67.62+3*n;42.32+3*n)

B(90.36+3*n;59.95+3*n)

C(116.23+3*n;48.89+3*n)

D(115.51+3*n;23.64+3*n)

E(94.93+3*n;16.07+3*n)

F(72.92+3*n;25.69+3*n)

n exprimat in centimetri

n=22

A(

B(

C(

D(

E(

F(

Se calculeaza din coordonate  suprafata poligonului

2S=X_A(Y_B-Y_F)+X_B(Y_C-Y_A)+X_C(Y_D-Y_B)+X_D(Y_E-Y_C)+X_E(Y_F-Y_D)+X_F(Y_A-Y_E)

2S=2992.26

S=1493.13mp

Se imparte poligonul in triunghiuri cu varful in B

Se calculeaza suprafetele triunghiurilor

2S_ABF=X_A(Y_B-Y_F)+X_B(Y_F-Y_A)+X_F(Y_A-Y_B)

2S_ABF=68.28(60.61-26.35)+91.02(26.35-42.98)+73.58(42.98-60.61)

2S_ABF=2339.2728-1513.6626-1297.2154

2S_ABF=471.6052

S_ABF=235.80mp

2S_FBE=X_F(Y_B-Y_E)+X_B(Y_E-Y_F)+X_E(Y_F-Y_B)

2S_FBE=73.58(60.61-16.73)+91.02(16.73-26.35)+95.59(26.35-60.61)

2S_FBE=3228.6904-875.6124-3274.9134

2S_FBE=921.8354

S_FBE=460.94mp

Se observa ca S_ABF+ S_FBE=696.72 mp este mai mica decat suprafata de detasat

Calculam suprafata triunghiului EBD

2S_EBD= X_E(Y_B-Y_D)+X_B(Y_D-Y_E)+X_D(Y_E-Y_B)

2S_EBD=95.59(60.61-24.30)+91.02(24.30-16.73)+116.17(16.73-60.61)

2S_EBD=3470.8729+689.0214-5097.5396

2S_EBD=937.6453

S_EBD=468.82mp

S_ABF+ S_FBE+ S_EBD=1165.54mp este mai mare decat suprafata de detasat

Suprafata de detasat (900mp)va fi compusa din

696.72mp din triunghiurile ABF si FBE si

203.28mp vor fi detasati din triunghiul EBD

Punctual de detasare P va fi situate pe latura ED si va fi calculate ca punct pe acest segment.

X_P=X_E+r(X_D-X_E)

Y_P=Y_E+r(Y_D-Y_E)

Raportul r=s/S

s=203.28mp

S=suprafata triunghiului EBD=448.82mp

r=203.28/448.82

r=0.4529

X_P=95.59+0.4529(116.17-95.59)

X_P=104.91

Y_P=16.73+0.4529(24.30-16.73)

Y_P=20.15

LUCRAREA 2

TEMA 1

Se da segmentul AB determinat de punctele

A(

B(347.38+3*n;235.75+3*n)

Sa se determine coordonatele punctului P punct pe segmental AB stiind ca distanta AP=100m

n=22 ;n exprimat in metri

A(

B(

PROCEDEUL ANALITIC

D_AB=[(X_B-X_A)²+(Y_B-Y_A)²]^1/2

D_AB=[(413.38-150.10)²+(301.75-75.29)²]^1/2

D_AB=(69316.3584+51284.1316)^1/2

D_AB=347.27m

r=AD/AB

r=100/347.27

r=0.28796

X_P=X_A+r(X_B-X_A)

X_P=150.10+0.28796(413.38-150.10)

X_P=225.91

Y_P=Y_A+r(Y_B-Y_A)

Y_P=75.29+0.28796(301.75-75.29)

Y_P=140.50

PROCEDEUL TRIGONOMETRIC

tgӨ_AB=(Y_B-Y_A)/(X_B-X_A)

tgӨ_AB

tgӨ_AB=226.46/263.28

tgӨ_AB=

Ө_AB=45.2227

sinӨ_AB=

cosӨ_AB=

X_P=X_A+d_AP* cosӨ_AB

X_P=150.10+100*0.758129

X_P=225.91

Y_P=Y_A+d_AP* sin _AB

Y_P=75.29+100*0.652104

Y_P=140.50

TEMA 2

Se da segmentul AB determinat de punctele A(150.10;75.29) si B(413.38;301.75) si punctual C exterior segmentului AB , C(210;100).

Sa se determine punctul P astfel incat segmentul CP sa fie parallel cu AB .

PROCEDEUL ANALITIC

X₀=(X_C+X_B)/2=(X_A+X_P)/2

Y₀=(Y_C+Y_B)/2=(Y_A+Y_P)/2

X_C+X_B= X_A+X_P

X_P= X_C+X_B- X_A

X_P=210+413.38-150.10

X_P=473.28

Y_C+Y_B= Y_A+Y_P

Y_P= Y_C+Y_B- Y_A

Y_P=100+301.75-75.29

Y_P=326.46

PROCEDEUL TRIGONOMETRIC

Ө_AB=arctg (y_B-y_A)/(x_B-x_A)

Ө_AB=arctg (301.75-75.29)/(413.38-150.10)

Ө_AB=arctg (226.46)/(263.28)

Ө_AB=arctg 0.86014889

Ө_AB=45.2227

D_CP=D_AB

D_AB=[(X_B-X_A)²+(Y_B-Y_A)²]^1/2

D_AB=[(413.38-150.10)²+(301.75-75.29)²]^1/2

D_AB=(69316.3584+51284.1316)^1/2

D_AB=347.27m

D_CP=347.27m

X_P=X_C+D_CP* cosӨ_AB

X_P=210+347.27*cos 45.2227

X_P=473.28

Y_P=Y_C+D_CP* sinӨ_AB

Y_P=100+347.27*sin45.2227

Y_P=326.46

LUCRAREA 3

TEMA 1

Fie laturile de drumuire determinate de punctele :

1(110.43+3*n;490.50-3*n)

2(350.17+3*n;185.76-3*n)

3(612.50+3*n;410.25-3*n)

n exprimat in metri

sa se determine punctul M capat de drum a carui latime este l=10m

n=22

)

)

)

procedeul analitic

Se calculeaza raportul r=S_2M1/S₁₂₃=h*2M/h*23

S₁₂₃ se calculeaza din coordonate

2S₁₂₃=X₁(Y₂-Y₃)+X₂(Y₃-Y₁)+X₃(Y₁-Y₂)

2S₁₂₃=176.43(119.76-344.25)+416.17(344.25-425.50)+678.50(425.50-119.76)

2S₁₂₃=-39606.7707-33813.8125+207444.59

2S₁₂₃=134024mp

S₁₂₃=67012mp

Suprafata 2M1 se calculeaza in triunghiul 2M1 deoarece nu se cunosc coordonate pentru punctual M .

S_2M1=D₂₁*h/2

h=l=8m

D₂₁=[(Y₂-Y₁)²+(X₂-X₁)²]^1/2

D₂₁=[(416.17-176.43)²+(119.76-425.50)²]^1/2

D₂₁=[57475.2676+93476.9476]^1/2

D₂₁=388.52m

S_2M1=388.52*8/2

S_2M1=1554.08mp

r=S_2M1/S₁₂₃

r=1554.08/67012

r=0.02319

X_M=X₂+r(X₃-X₂)

Y_M=Y₂+r(Y₃-Y₂)

X_M=416.17+0.02319(678.50-416.17)

X_M=422.25

Y_M=119.76+0.02319(344.25-119.76)

Y_M=124.96

Procedeul trigonometric

Se calculeaza

=arctg (y₃-y₂)/(x₃-x₂)

Ө₂₃=arctg (344.25-119.76)/(678.50-416.17)

Ө₂₃=arctg (224.49)/(262.33)

Ө₂₃=arctg 0.8557542

=arctg (y₁-y₂)/(x₁-x₂)

Ө₂₁=arctg (425.50-119.76)/(176.43-416.17)

Ө₂₁=arctg (305.74)/(-239.74)

Ө₂₁=arctg -1.2752982

Se calculeaza unghiul

400-342.3345)

se calculeaza distanta D_2M

D_2M=MM₁/sin =h/ sin

D_2M=8/ sin102.7269=8/0.999082762

D_2M=8.0073

X_M=X₂+ D_2Mcos

Y_M=Y₂+ D_2Msin

X_M=416.17+8.0073*cos45.0615

X_M=422.25

Y_M=119.76+8.0073*sin45.0615

Y_M=124.96

TEMA 2

Se considera laturile de drumuire determinate de punctele:

)

)

)

Sa se determine punctual M  ca punct determinat de o frantura de drum cu latimi egale l=8m.

PROCEDEUL TRIGONOMETRIC

Se calculeaza orientarile

=arctg (y₃-y₂)/(x₃-x₂)

=arctg (344.25-119.76)/(678.50-416.17)

=arctg (224.49)/(262.33)

=arctg 0.8557542

=arctg (y₁-y₂)/(x₁-x₂)

Ө₂₁=arctg (425.50-119.76)/(176.43-416.17)

Ө₂₁=arctg (305.74)/(-239.74)

Ө₂₁=arctg -1.2752982

Se calculeaza unghiul

400-342.3345)

pentru a putea calcula punctual M ca punct radiat din punctual 2 trebuie sa cunoastem distanta de la 2 la M si orientarea _2M

_2M

_2M

_2M

Din triunghiul 2MM₁

sin( α/2)=MM₁/2M

2M=MM₁/ sin (α/2)

D_2M= l/ sin (α/2)=8/sin51.36345

D_2M=11.07 m

Avand orientarea si distanta se poate calcula

X_M=X₂+ D_2Mcos _2M

Y_M=Y₂+ D_2Msin _2M

X_M=416.17+11.07*cos96.4249

X_M=416.79

Y_M=119.76+11.07*sin96.4249

Y_M=130.81

TEMA 3

Fie laturile de drumuire determinate de punctele

)

)

)

Sa se determine punctual M dat de o frantura de drum cu latimi inegale l₁=10 si l₂=7

PROCEDEUL TRIGONOMETRIC

Se prelungeste directia drumului cu latimea l₁pana intalneste latura 23 in punctual A.

Se duce perpendiculara MM₁pe latura 23 si perpendiculara din A pe latura 21 in punctul B .Vom obtine:MM₁=l₁=7

AB=l₂=10

Din coordonatele punctelor avem

se calculeaza mai intai coordonatele punctului A ca punct radiat din punctul2

D_2A=l₂/sin α=10/0.999082762

D_2A=10.009

X_A=X₂+ D_2Acos Ө₂₃

Y_A=Y₂+ D_2Asin

X_A=416.17+10.009*cos45.0615

X_A=423.77

Y_A=119.76+10.009*sin45.0615

Y_A=126.26

Punctul M se calculeaza ca punct radiat din punctul A

D_AM=l₂/sin

D_2A=7.006

X_M=X_A+ D_AMcos

Y_M=Y_A+ D_AMsin Ө₂₁

X_M=423.77+7.006*cos342.3345

X_M=428.09

Y_M=126.26+7.006*sin342.3345

Y_M=120.74