Olimpiada de matematica - cls. a VI-a

faza pe scoala ; cls. aVI-a

Subiectul I.

a)Determinati numerele naturale a si b stiind ca a b=1815 si a,b

b)Aratati ca numarul a= 1+5¹+5²+5³+ . . +5⁹⁸ este divizibil cu 31.

Subiectul II.

Fie numerele rationale pozitive

   si .

Aratati ca .

Subiectul III.

Pe latura [OX a unghiului XOY se considera punctele A si B astfel incat B este mijlocul lui [AO]. Daca punctele C si D sunt pe latura [OY astfel ca OC = 8 cm iar CD = 2 cm, atunci determinati lungimea segmentului [AB] stiind ca triunghiul OAD este isoscel cu varful in O. Realizati un desen corespunzator.

Subiectul IV.

Fie unghiurile sase unghiuri in jurul unui punct astfel incat sunt complementare , masura unghiului O₂ este cu 20 mai mare ca masura unghiului O₁ , , sunt suplementare iar masura unghiului este egala cu dublul masurii unghiului . Aflati masurile celor 6 unghiuri.

Nota:

Timp efectiv de lucru: 90 minute

Fiecare subiect este notat cu 7 puncte

Nu se acorda puncte din oficiu

BAREM DE NOTARE:

SUB.	REZOLVARE	NR.PCT.
Ia)	a b=(a,b) a,b T 1815=(a,b) T (a,b)=11	1p
	a=11m , b=11n , (m , n)=1	0,5p
	11m 11n=1815	0,5p
	121mn=1815 Tmn=15	0,5p
	Din (m , n)=1 si mn=15 avem: 1.m=1 si n=15 sau 2. m=3 si n=5	0,5p
	1.a=11 , b=165    ; 2.a=33 , b=55 ; 3.a=165 , b=11 ; 4.a=55,b=33	0,5p
Ib)	Obs. ca 1+51+52=31 ,deci suma primilor 3 termeni este multiplu al lui 31	0,5p
		0,5p
		1p
	a este o suma de 99 termeni deci avem 33 de grupe de cate 3 termeni.	0,5p
	a=31+53 (1+53+ . . +596)=31k , deci 31/a.	1p
II	Obs. ca a si b sunt sume de cate 1004 termeni (fractii)	1p
	Obs. ca	2p
	Cu acestea avem : ,	2p
	X   Atunci	1p
III	Desen	3p
	OD=OC-CD=8 cm - 2 cm= 6cm	2p
	OD=OA= 6 cm	1p
	AB=OA:2= 3cm.	1p
IV	Notam masurile unghiurilor cu: x , x+20 , x+20 , 2x , 90 -x , 180 -2x.	2p
	cu aceste notatii avem: x + x+20 +x+20 +2x +90 -x+180 -2x=360 5x-x-2x=360	1p 1p
	2x=50 , x=25	2p
	Masurile unghiurilor sunt: 25	1p