Modele statistice elaborate pe baza experientei active

Modele statistice elaborate pe baza experientei active

Experienta activa consta din experimentul factorilor intregi si experimentul factorilor fractionari.

Esenta experimentului factorilor intregi consta in variatia concomitenta cu toti factorii conform planului stabilit.

Modelul matematic pentru acest caz e de dorit sa fie prezentat in forma de polinom liniar care va fi studiat in continuare prin metodele statisticii matematice.

Alcatuirea planului experimentului de factori o vom prevedea pe baza unui exemplu:

Presupunem, ca avem un obiect de studiu, in care parametrul la iesire y depinde de doi factori: X₁ - temperatura si X₂ - presiune. De asemenea este cunoscut, ca e posibila variatia temperaturii in limitele 60-80°C si a presiunii in limitele 0,1-0,20 MPa. Aceste variatii permit schimbarea parametrului y.

Notam valorile maxime si minime ale lui X₁ si X₂ prin +1 si -1. Atunci toate combinatiile factorilor posibile vor fi determinate de patru experimente.

Acest plan al experimentelor, de obicei, se noteaza in forma de matrice a planarii (tab. 1)

Tabelul 1

In evolutia a doua se noteaza valoarea variabilei fictive X₀=+1 necesara in continuare pentru calculul termenului liber al polinomului.

Notarea nivelului superior si inferior al factorilor prin +1 si -1 corespunde codificarii factorilor dupa formula:

                                 (1)

unde: x_i - valoarea codificata a factorului i (in nivelul superior sau inferior);

X_i0 - nivelul zero al variabilei naturale;

X_i - nivelul superior sau inferior al variabilei naturale;

ΔX_i - intervalul variatiei al variabilei naturale.

Cu ajutorul tabelului si dupa efectuarea experientei se poate de determinat coeficientii ecuatiei regresiei:

               (2)

Introducem cateva definitii:

Nivelul factorului se numeste asa valoare a factorului care trebuie sa fie fixata la efectuarea experimentului. In exemplul nostru nivelele factorilor sunt 60,80°C si 0,1÷0,2 MPa.

Nivelul zero sau punctul zero al factorului este o oarecare valoare initiala a factorului. Nivelul zero al experimentului sau centrul experimentului in exemplul nostru este 70°C si 0,15 MPa.

Intervalul variatiei se numeste o parte a domeniului de definitie a factorului, ales simetric fata de nivelul zero.

Alegerea corecta a centrului experimentului, intervalului si nivelelor variatiei factorilor are insemnatate hotaratoare la intocmirea modelului matematic deoarece scopul modelului matematic este optimizarea procesului tehnologic.

Cerinta de baza catre intervalul variatiei este aceea, ca el sa nu depaseasca eroarea medie patrata dublata a factorului:

La elaborarea planului experientei este importanta si alegerea numarului nivelelor pentru fiecare factor.

Cea mai raspandita este planarea factorilor in doua nivele, cand in calitate de nivele se utilizeaza frontiera superioara si inferioara a intervalului variatiei.

Organizarea experientei dupa aceste plane se numeste experienta factorului intreg in doua nivele de tipul 2ⁿ, unde n - numarul factorilor.

Atunci pentru doi factori sunt necesare 2²=4 experiente;

pentru trei factori sunt necesare 2³=8 experiente.

Planul in doua nivele este destul de eficient pentru n>3, cand pentru verificarea modelului la adecvatitate avem un numar suficient al gradelor de libertate (f), adica numarul repetarilor N este mai mare decat numarul coeficientilor modelului (n+1).

De exemplu, pentru planul 2³ → N=8, f=N-(n+1)=8-3-1=4;

pentru planul 2⁵ → N=32, f=N-(n+1)=32-5-1=26.

Matricea planarii se numeste planul in forma de tabelul 1, ce contine toate combinarile factorilor sau o parte a lor, in forma codificata. In particular, tabelul 1 prezinta matricea planarii pentru doi factori in doua nivele.

Intocmirea matricei planarii se bazeaza pe unele principii de optimizare. In practica inginereasca aceste principii sunt principiul rototabilitatii si ortogonalitatii.

Principiul rototalitatii presupune dispersia minima a valorii precise al parametrului la iesire in orice punct al spatiului factorilor pentru egalitatea dispersiilor in puncte egal departate de la centrul planului.

Principiul ortogonalitatii permite utilizarea urmatoarelor proprietati la calculul coeficientilor ecuatiei de regresie:

, (3)

(4)

j=1.n (5)

unde:   N - numarul de repetari,

n - numarul factorilor,

u - numarul experientelor (repetari).

Anume expresia egalitatii (3) si este proprietatea ortogonalitatii.

Daca  inlocuim valorile factorilor din matricea planarii (tabelul 1) in conditiile (3)-(5), apoi vom determina ca experimentul factorilor intregi este ortogonal. Mai mult ca atat, este electric si rototabil si, ca urmare, a rototalitatii dispersia coeficientilor regresiei nu numai ca sunt minimali, dar si egali intre ei.

Asadar, alegerea matricei planarii experientei factorului intreg la utilizarea in calitate de model, polinomul liniar asigura planarea optimala datorita urmatoarelor proprietati:

a)     toate calculele se efectueaza foarte simplu;

b)     coeficientii regresiei se deosebesc independent unul de altul;

c)      dispersia tuturor coeficientilor este minimala si egala una cu alta;

d)     dispersia parametrului la iesire nu depinde de rotatia sistemului coeficientilor in jurul centrului planului, dar numai de raza sferei studiate (proprietatea rototalitatii).

Dupa crearea matricei planarii se poate de trecut la experiente. Deoarece asupra parametrului la iesire influenteaza si perturbatiile, apoi experimentul se repeta de cateva ori pentru a obtine m - valori a parametrului la iesire. In continuare se foloseste media acestor valori. Se recomanda ca m=4÷5.

Coeficientii regresiei se calculeaza dupa formulele:

      (6)

       (7)

                                  (8)

unde: b_ij - coeficientul regresiei ce caracterizeaza interactiunea factorilor X_iu,X_ju.

Din formula (6) se vede, ca termenul liber al ecuatiei regresiei este egal cu media aritmetica a tuturor parametrilor la iesire.

Din formulele (7), (8) se observa, ca pentru calculul restului de coeficienti ai ecuatiei regresiei este necesar de adaugat valoarea parametrului la iesire. Semnul in acest caz va corespunde coloanei corespunzatoare a matricei planarii.

Dupa determinarea coeficientilor regresiei poate fi efectuata analiza statistica a ecuatiei de regresie, care se petrece in trei etape:

1.     Aprecierea dispersiei reproducerii (aprecierea erorii experientei);

2.     Aprecierea semnificatiei coeficientilor ecuatiei de regresie;

3.     Aprecierea adecvatitatii modelului.

Aprecierea erorii experientei se bazeaza pe repetarile paralele, care pot fi efectuate atat in centrul experientei, cat si in fiecare punct al spatiului factorilor.

Este necesar de efectuat repetari paralele in fiecare punct al spatiului atunci cand se presupune ca dispersia parametrului la iesire in experientele paralele nu este egala.

Dispersia selectata pentru fiecare grup de repetari paralele se determina dupa formula:

Verificarea omogenitatii dispersiei are loc conform criteriului Kahren care se calcula dupa formula:

               (9)

unde: - dispersia selectata maxima din m repetari paralele;

- suma tuturor dispersiilor.

Daca se repeta inegalitatea

          (10)

pentru fiecare f₁=m-1 si f₂=N si nivelul de semnificatie q=5%, atunci se admite ipoteza despre omogenitatea dispersiei.

In acest caz eroarea experientei va fi egala cu media aritmetica a dispersiilor punctelor spatiului factorilor.

(11)

Dispersiile neomogene nu pot fi mediate, de aceea daca inegalitatea (10) nu se respecta, apoi este necesar de marit numarul repetarilor paralele.

Planarea experientei, in caz general, admite selectarea factorilor nesemnificativi care nu pot fi introdusi in matricea planarii. De aceea toti coeficientii regresiei trebuie sa fie semnificativi. Totusi, analiza statistica a ecuatiei regresiei obtinute include si verificarea semnificatiei lor. Aceasta se lamureste prin faptul, ca din cauza selectarii insuficiente a factorilor, un oarecare coeficient de regresie poate fi nesemnificativ.

Conform proprietatilor experientei factorilor, dispersiile tuturor coeficientilor regresiei trebuie sa fie egali. De aceea este necesar de verificat semnificatia coeficientilor mai mici ai ecuatiei regresiei. Pentru aceasta se utilizeaza criteriul Student.

Asadar, procedura verificarii semnificatiei coeficientilor regresiei include:

a)      Determinarea dispersiilor coeficientilor regresiei se calculeaza dupa formula:

(12)

Aceste dispersii sunt egale intre ele si minime.

b)     Determinarea raportului

,

unde ;

c)      F_T se determina conform tabelelor de distributie Student pentru nivelul de semnificatie q ales si numarul gradelor de legatura f=N(m-1).

In caz daca conditia nu se respecta, atunci coeficientul regresiei studiat este semnificativ.

Daca se intalneste vreun coeficient de regresie nesemnificativ, atunci coeficientul este exclus din ecuatia regresiei fara recalcularea celorlalti.

Deoarece intervalele de incredere ale coeficientilor regresiei pentru modele matematice liniare si neliniare, patratice sunt egale, apoi coeficientii regresiei sunt semnificativi cu valorile lor absolute si coeficientii depasesc valoarea absoluta a abaterii Δb_i

(13)

Abaterea fiecarui coeficient de regresie poate fi determinat:

Δb_i=±S_bit_T (14)

Pentru verificarea ipotezei despre adecvatitatea modelelor matematice exprimat prin polinomul

datelor experimentale y_u este necesar de apreciat abaterea () pentru fiecare combinatie a factorilor planului, adica de calculat dispersia remanenta:

(f=Nm-n-1)

Se admite abaterea neinsemnata a dispersiei remanente de eroarea experientei

Compararea dispersiilor se efectueaza conform criteriilor Fisher:

Bibliografie

1.Бондарь Л.П. Математическое планирование в химической технологии. - К.: В. школа, 1973 - 280 с.

2. Грачев Ю.П. Математические методы планирования экспериментов.-М.: Пищевая промышлeнность, 1979.- 200 с.

3.Гмошинский В.Г. Инжeнерное прогнозирование. М.: Машиностроение, 1986.- 320 с.

4. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей.- М.: Фазис. РАН, 2000-420 с.

5. Крюков А.А. Основы научно-технической информации.- М.: В.школа,1985.

6. Остабчюк Н.В. Основы математического планирования пищевых поизводств.- М.: Пищевая промышлeнность, 1991.- 368 с.

7. Основы научных исследований. Под ред. В.И. Крутого. М.: В. Школа, 1989.

1.     Сомарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.- М.: Наука. Физ-мат, 1997.- 320 с.

2.     Панфилов В.А. Технологические линии пищевых производств. - М.: Колос, 1993.- 288с.