METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR ALGEBRICE NELINIARE SI TRANSCENDENTE

Sub notiunea de ecuatii algebrice neliniare se intelege acele ecuatii care contin necunoscuta la puterea diferita de unu, de exemplu:

, unde n

Sub notiunea de ecuatii algebrice transcendente se inteleg acele ecuatii din care nu poate fi obtinuta solutie analitica in mod evident,de exemplu:

ecuatiile irationale de tipul ,

ecuatiile exponentiale , ecuatiile logaritmice (unde i= 0,1,,n) ,

sau cele trigonometrice ( la care k=0,1,,n),

Pentru rezolvarea ecuatiilor neliniare si transcendente exista urmatoarele metode principale : metoda injumatatirii intervalului, metoda coardei metoda tangentei ( sau metoda Newton) si metoda iteratiilor. Sa examinam aceste metode .

1.1. Metoda injumatatirii intervalului

Este cea mai simpla si totodata cea mai sigura metoda de rezolvare numerica a ecuatiilor neliniare si transcendente. Singurul ei dezavantaj reprezinta un ritm lent de convergenta, care cere un numar mare de operatii matematice. Metoda are ca baza teorema valorii intermediare din analiza matematica si are ca o idee reducerea progresiva a intervalului de examinare a functiei date prin injumatatirea pentru a localiza radacina cautata.

Deci , fie o functie f(x) continua pe un interval finit a ≤ x ≤ b , care are doua valori f(a) si f(b) definite astfel ca produsul . In acest caz a functia f(x) trebuie sa aiba cel putin o radacina, iar metoda localizarii poate fi prezentata grafic in felul urmator (fig. 1.1). Cum se vede reducerea progresiva a intervalului se face prin injumatatirea lui si utilizarea punctului de mijloc drept limita noua pentru intervalul ulterior.

Fig. 1.1. Schema obtinerii solutiei prin metoda injumatatirii intervalului

Asadar cum rezulta din prezentarea grafica - cu cat intervalul final [a_n , b_n ] va fi mai mic, cu atat abscisa punctului de mijloc sa fie cat mai aproape de radacina cautata α .

La pasul k se obtine intervalul [a_k , b_k ] astfel ca ,

rezulta          si (1.1)

Daca , atunci se atribuie a_k+1=a_k si b_k+1=x_k . Daca , se atribuie a_k+1=x_k si b_k+1=b_k

Astfel se obtine un sir de valorii = x₁, x₂ , . ,x_n pentru care

, (1.2)

unde a este valoarea precisa a radacinii cautate.

Practic calculul se opreste atunci cand se indeplineste una din urmatoarele conditii:

a) n n_ad ,

b) f(x_n) ≤ f_ad ,                                                                      (1.3)

c) (b_n-a_n) ≤ e_ad

la care n_ad, f_ad si _ad reprezinta respectiv numarul de pasi, valoarea functiei si eroarea de calcul (cu indicele "ad" s-a notat valoarea lor admisibila, stabilita de la inceput ca fiind satisfacatoare). Ca regula, se aplica ultimile doua conditii (formula 1.3 b,c).

1.2. Metoda coardei

Metoda consta in inlocuirea functiei date f(x), continua pe un interval [a,b], printr-o dreapta g(x) care trece prin extremitatile A si B definite astfel ca f(a) f(b) < 0. Radacina precisa a a functiei date f(x) se aproximeaza prin punctul de intersectie a dreptei g(x) cu axa ox ( fig. 1.2. )

Fig. 1.2. Schema obtinerii solutiei prin metoda coardei

Ecuatia secantei AB se poate scrie sub forma:

(1.4)

Punand conditiile de intersectie a coardei g(x) si axa Ox ( g(x)=0 ) se obtine abscisa punctului de intersectie:

sau   

(1.5)

Punctul de intersectie corespunzator pasului k

, (1.6)

unde k =1,2,3, . . , n, iar a_k si b_k sunt extremitatile intervalului corespunzator pasului k.

Pentru alegerea noului interval corespunzator pasului (k+1) se procedeaza astfel:

daca f(a_k) f(x_k) < 0, atunci atribuie a_k+1=a_k si b_k+1=x_k;

daca f(x_k) f(b_k) < 0, atunci atribuie a_k+1=x_k si b_k+1=b_k.

Procesul continua pana cand se indeplineste conditia:

|x_n-x_n-1| ≤ e_{ad ,}

unde e_ad a - x_n este eroarea de calcul admisibila.

NOTA. Convergenta metodei se obtine mai rapid decat in cazul metodei de injumatatire a intervalului.

1.3. Metoda tangentei (metoda Newton

Fie o ecuatie neliniara sau trascendenta de forma f(x)=0 si fie ca functia f(x) are pe intervalul [a,b] o singura radacina reala, iar prima derivata f ^/(x) si cea a doua f ^//(x) sunt continuie si nu mentin semnul constant in intervalul dat.

Metoda consta in aproximarea radacinii precise a cu abscisa punctului de intersectie a tangentei cu axa Ox, care este dusa la curba f(x) in punctul k cu coordonatele alese in mod corespunzator.

Altfel spus, arcul de curba f(x) se inlocuieste cu o tangenta la curba intr-un punct k care se deplaseaza in directia radacini a (fig 1.3):

Fig. 1.3. Schema obtinerii solutiei prin metoda tangentei

Pentru obtinerea convergentei sigure spre radacina cautata ca punctul initial x₀ trebuie sa fie luat acel capat al intervalului [a,b] la care semnul functiei coincide cu semnul primei derivatei. Deci, daca f(b)· f ^/(x) > 0 atunci punctul initial este limita dreapta x₀ = b, iar daca f(a)· f ^/(x) > 0 atunci punctul initial va fi limita stanga x₀ = a.

Fie punctul de plecare al procesului de calcul este limita dreapta x₀= b. Construim o tangenta la curba data in punctul B(x₀, f(x₀) ). La intersectia tangentei cu axa ox se obtine prima aproximare - punctul x₁. Construim, din nou, o tangenta la curba data in

Eseu: Sistemul periodic al elementelor Referat: Repartitia unei substante intre doi solventi nemiscibili (Legea de distributie a lui Nernst)

punctul nou B₁ cu coordonate B₁. Intersectia ei cu axa absciselor o notam cu x₂. Din nou construim o tangenta,acum in punctul B₂ cu coordonate B₂, repetand procedura.

Procesul de calcul genereaza un sir de aproximari succesive x₁,x₂,x_3,,x_n , astfel incat , unde a este valoarea precisa a radacinii cautate.

Relatie de calcul pentru determinarea coordonatei x_k+1 este:

, f ^/(x_k) 0 , k=0,1,2,3 . .., n

In cazul in care f ^/(x_k)= , atunci se va face atribuirea: x_k+ = x_k

Calculul se opreste atunci cand se realizeaza conditia:

| x_n -x_n-1 | ≤ _ad , (1.9)

unde _ad este eroarea de aproximare admisibila.

Nota. Metoda aceasta area viteza de convergenta mai superioara decat celelalte metode. Principalul dezavantaj consta in faptul ca metoda Newton nu poate fi aplicata la orice functie sau pentru orice domeniu [a,b].

Daca punctul initial x₀ nu este ales in mod corespunzator,atunci nu va avea loc convergenta spre radacina a. De aceea in practica se recomanda sa inceapa cautarea radacini folosind metoda injumatatirii intervalului, iar dupa un anumit numar de pasi pentru accelerarea convergentei se trece la metoda Newton ( tangentei ).

Metoda iteratiilor ( aproximarilor succesive)

Fie data o ecuatie neliniara sau trascendenta de forma f(x)=0; functia f(x) este continua pe un interval finit [a,b] si are pe intervalul dat o singura radacina reala. Se cere determinarea radacinii a ecuatiei date.

Pentru aceasta ecuatia originala f(x)=0 se inlocuieste cu ecuatia echivalenta de forma:

, (1.10)

care se obtine prin eliminarea partiala a variabilei x. Aceasta ecuatie se numeste iterativa.

Din intervalul dat [a,b] se alege printr-o metoda cunoscuta (metoda injumatatirii intervalului, metoda coardei, metoda tangentei ) sau chiar arbitrar o valoarea initiala

x₀ I [a , b].

Valoarea aleasa x₀ , care reprezinta aproximarea nula a radacinii cautate, se substituie in partea dreapta a ecuatiei iterative (1.13) si dupa evaluarea se obtine prima aproximatie a radacinii cautate. Valoarea x₁ se substituie in parte dreapta a ecuatiei (1.10), rezulta a doua aproximatie . Reiesind din valoarea x₂ cu ajutorul ecuatiei iterative (1.10) se determina a treia aproximatia etc.

Repetarea acestui procedeu de calcul, numit iterativ, se efectueaza dupa formula

, (1.11)

unde i= 0,1,2,3, . , n , iar n reprezinta numarul iteratiilor.

Rezulta o succesiune a valorilor =x₀, x₁, x₂ , . ,x_n care poate fi:

-convergenta, daca , unde a este valoarea precisa a radacini cautate a ecuatiei sau a ecuatiei f(x)=0, ce este una si aceeasi, sau

-divergenta , daca nu exista limita succesiunii =x₀, x₁, x₂ , . ,x_n si atunci ecuatia f(x)=0 nu se rezolva.

Vom formula fara demonstratie o teorema, care exprima anumite conditii necesare obtinerii convergentei spre radacina cautata a procesului de calcul iterativ.

Teorema de convergenta a procesului iterativ.

Fie ca in intervalul dat [a,b] se afla o singura radacina reala α a ecuatiei x = φ(x) si ca in toate punctele din acest interval prima derivata functiei , iar functia apartine intervalului dat , atunci procesul iterativ este convergent , si ca o aproximatie initiala x₀ poate fi luata orice valoarea x din intervalul [a,b] .

Aceasta inseamna ca toate valorile de aproximare x₀, x₁, x₂ , . ,x_n se afla in domeniul dat [a,b] si ca cu cat valoarea derivatei |φ^/(x)| este mai mica, cu atat convergenta iteratiilor este mai rapida.

Nota. Ecuatia echivalenta obtinuta din ecuatia initiala f(x)= 0 poate sa aiba diferite forme. Metoda iteratiilor poate fi aplicata numai la aceea forma a ecuatiei x=j(x) pentru care se indeplinesc conditiile teoremei de convergenta.

Acum vom discuta problema de precizie si de alegerea numarul iteratiilor care este necesar pentru obtinerea preciziei date de calcul.

Fie a este radacina precisa a ecuatiei x = j(x), iar numarul q se determina din conditia , atunci va fi corecta relatia

(1.12)

Daca se va introduce eroarea de calcul data e si considerand , atunci pentru asigurarea preciziei necesare de calcul , procesul iterativ trebuie sa fie efectuat pana cand va fi indeplinita inegalitatea:

sau (1.13)

Ca un exemplu vom examina rezolvarea unei ecuatiei neliniare prin metoda iteratiilor

Aplicatia 1.1.Utilizarea metodei iteratiilor .

Sa se rezolve prin metoda iteratiilor ecuatia 5·x³-20·x+3=0 in intervalul dat [0 , 1] cu precizia e

Solutia.

Se transforma ecuatia data f(x) in forma x=j(x). In cazul dat eliminarea lui x poate fi realizata dupa trei modalitati:

1) se adauga la partea stanga si dreapta a ecuatiei date cate un x: x = x+(5·x³ - 20·x + 3),

atunci prima forma a functiei echivalente va fi

;

2) se elimina din ecuatia data primul termen 5x³ si sa ia radical de puterea a treia, atunci rezulta a doua forma a functiei echivalente

;

3)se elimina din ecuatia data al doilea termen 20·x, atunci se obtine a treia forma a functiei echivalente

Vom analiza care din functii echivalente j (x) j (x) sau j (x) corespunde in intervalul dat [0 , 1] conditiei de convergenta . Asadar rezulta:

pentru x I

2) pentru x I

3) pentru x I

Cum reiese din analiza, numai a treia functia echivalenta j (x), avand derivata dupa modul mai mica de unu, corespunde conditiei de convergenta.

Astfel, pentru rezolvarea ecuatiei date prin metoda iteratiilor putem utiliza functia j (x). Deci formula de calcul pentru iteratia n va fi:

.

Ca aproximatia initiala (nula) x₀ vom lua valoarea maxima a derivatei in domeniul , adica .

Pentru determinarea diferentei x_n - x_n- dintre doua aproximatii succesive la care procesul iterativ trebuie sa fie oprit se utilizeaza formula (1.16), introducand eroarea admisibila data ε =10^-4 si parametrul q obtinut mai sus:

Luam x_n - x_n-

Pentru usurinta, toate calcurile se aduna intr-un tabel:

Tabelul 1.1

Raspuns: x

1.5. Separarea radacinelor ale ecuatiilor neliniare si transcendente

Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor neliniare examinate mai sus pot fi aplicate daca in domeniul dat exista numai o singura radacina. In cazul cand nu se stie cate radacini se afla in intevalul dat [a,b] se utilizeaza procedura de separare.

De a separa radacini inseamna de a imparti intervalul dat [a,b] in mai multe segmente [a_i ,b_i], i = 1,2,3, . ,n in care exista numai o singura radacina.

Separarea radacinilor se bazeaza pe cunostintele de baza din analiza matematica. Pentru aceasta se recomanda urmatoarele:

se determina prima derivata f ^/(x) din functia data;

se alcatuieste un tabel cu indicarea semnelor ale functiei date f(x) in care pentru x sa ia drept valorile: a) valorile critice ale primei derivate din functia data sau cele vecine , b) valorile de limita a functiei f(x)determinate dupa capetele intervalului a,b a variabilei independente x;

se aleg intervalele in care functia f(x)schimba semnul , in interiorul carora se afla una si numai una singura radacina.

Aplicatia 1.2. Separarea radacinilor ale ecuatiei nelinare

De a separa radacinile ecuatiei 2^x - 5∙x - 3 = 0, unde x I

Rezolvare

1) notand f(x)= 2^x - 5∙x - 3 se determina prima derivata ;

2) determinam radacinile (punctele critice) egaland prima derivata cu zero:

,

,

,

3) se alcatuieste un tabel in care se trec semnele functiei utilizand domeniul x I [- ∞, +∞] si valorile apropiate punctului critic( x=2,85), de exemplu x=2,00 si x=3,00 :

Tabelul 1.2

Cum se vede din tabel are loc doua schimbari a semnelor functiei sign f(x)→ (+ -, - + ), ceea ce arata ca functia are numai doua radacini.

4) se alcatuieste un tabel nou cu segmente mai mici pentru precizarea intervalelor:

Tabelul 1.3

Raspuns: ecuatia data are radacini in intervalele [-1 , 0] si [4 , 5].

1.6. Probleme

Elaborati programele de calcul pentru rezolvarea numerica dupa una din metodele studiate a ecuatiilor:

Problema 1.3. x^2·log (x+1)=1, unde x I[-0,8; -0,5] , precizia de calcul e

Problema 1.4. x - sinx=0.25 , x I p e

Problema 1.5. e ^x- x²= x I [-0,8; -0,7] , e

Problema 1.6. x²+3x - 3=0, x I [-3; -2], x I [-2; -1], x I [0; 1] , e