Derivabilitatea functiilor reale

Derivabilitatea functiilor reale

1.       Reamintim, pentru inceput, cateva notiuni legate de derivabilitatea functiilor reale de o variabila reala, cunoscute din liceu.

2.      

Aceasta limita se numeste derivata functiei f in x₀. Daca derivata f '(x₀) este finita, atunci spunem ca functia f este derivabila in punctul x₀. Functia f:D R R se numeste derivabila pe A D, daca este derivabila in orice punct xIA.

Daca functia f este devabila pe A D, se poate defini functia f :A R, x f (x), numita derivata functiei f.

Fie I,J R, intervale de numere reale, f:I J, g:J R. Daca f este derivabila in x₀ si g este derivabila in y₀=f(x₀)IJ,atunci g f:I R este derivabila in x₀ si

(gf)(x₀)=g (f(x₀)) f (x₀).

Un punct x₀ID se numeste punct de extrem local, daca este punct de minim local sau maxim local.

Fie f:I R R, I interval. Un punct x₀I, in care f este derivabila si f (x₀)=0 se numeste punct critic (sau stationar) pentru f.

Reciproca teoremei lui Fermat nu este in general adevarata.

Fie f:I R R, I interval, f continua pe I, x₀II astfel incat f este derivabila pe I si si este finita. Atunci f este derivabila in x₀ si

f (x₀) =.

Derivate de ordin superior ale functiilor reale de o variabila reala

Fie functia f:I R R , I este un interval deschis, f derivabila pe I si x₀II.

Daca f este functie derivabila intr-o vecinatate VIV(x₀) si functia derivata f este derivabila in x₀, atunci derivata functiei f in punctul x₀ se numeste derivata de ordinul doi a functiei f in x₀ si se noteaza:

f "(x₀) = (x₀) (1)

Recursiv, se obtine derivata de ordinul n 2 : daca exista functia derivata de ordinul n-1 a functiei f intr-o vecinatate VIV(x₀), notata f^(n-1), si este derivabila in x₀, atunci derivata sa in x₀ se numeste derivata de ordin n a functiei f in punctul x₀ si se noteaza

f ⁽ⁿ⁾(x₀) = [f ^{(n -1)}] '(x₀) = = (x₀) (2)

Fie f,g :I R R, doua functii reale. Daca f si g sunt functii derivabile de ordinul n I N^* in x₀ II si a bIR, atunci:

i) functia af + bg:I R R este derivabila de ordinul n in x₀ si are loc egalitatea:

(af + bg)⁽ⁿ⁾(x₀) = af ⁽ⁿ⁾(x₀) + bg ⁽ⁿ⁾(x₀)                     (3)

ii) functia f g:I R R este derivabila de ordinul n in x₀ si

(f g)⁽ⁿ⁾(x₀)=     (4)

Daca f :I R R este derivabila pana la ordinul n+1 pe I, iar aII este un punct pentru care:

f ^'(a) = f ^'(a) =.= f ^(n-1)(a) = 0 si f ⁽ⁿ⁾(a) 0 (5)

i)daca n este par T a este punct de extrem local pentru f si anume:

a)daca f ⁽ⁿ⁾(a) > 0 T a este punct de minim local pentru f;

b)daca f ⁽ⁿ⁾(a) < 0 T a este punct de maxim local pentru f;

ii)daca n este impar atunci a nu este punct de extrem local pentru f.

Derivate partiale de ordinul I ale functiilor reale de mai multe variabile

Fie f : D R^k R, k 2, x⁰ = (, , ., )I D un punct fixat in D si x = (x₁, x₂, ., x_k)ID un punct curent. Pentru k 2, notiunea de derivata nu mai poate fi introdusa ca in cazul k = 1.

Derivatele functiilor reale de mai multe variabile reale (derivatele partiale) se introduc cu ajutorul derivatei dupa directia unui versor.

Fie s = (s₁, s₂, ., s_k) I R^k cu ||s|| = 1. Construim o functie g : R R

g(t) = f(x⁰ + ts) = f(x₁⁰ + ts₁, x₂⁰ + ts₂, ., x_k⁰ + ts_k), t I R, astfel incat x⁰ + ts I D si s I R^k. (6)

Deoarece, D R^k si x⁰ I R^k rezulta ca r > 0 astfel incat B_r(x⁰) D si pentru acest r > 0 T functia g din (6) este bine definita pe intervalul (- r, r)

g: (- r, r) R, g(t) = f(x⁰+ts), ( ) t I (- r, r).

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

Functia f :D R^k R se numeste derivabila in x⁰ID, dupa directia versorului sIR^k, daca functia g : (- r, r) R, g(t) = f(x⁰ + ts), t I (- r, r)

este derivabila in t = 0, iar numarul

g ^'(0) = = (7)

se numeste derivata functiei f in punctul x⁰ dupa directia versorului s.

Daca notam x = x⁰ + tsID, t I (- r, r), x⁰ I D, s I R^k vectorul curent, atunci t 0 x x⁰ si (10) devine:

, x - x⁰ = ts. (8)

Fie D R^k, x⁰ID. Functia f :D R^k R se numeste derivabila partial in punctul x⁰ ID in raport cu variabila x_i, i = , daca f este derivabila in punctul x⁰ I D dupa directia versorului unitar e_i = I R^k .

In acest caz, numarul notat:

(x⁰) = (x⁰) =(x⁰), i =

se numeste derivata partiala a functiei f in punctul x⁰, in raport x_i, i = .

Rezulta: (x⁰) =(x⁰) =

si daca notam x_i = x_i⁰ + t, i = , daca t 0 T x_i x_i⁰, i = si deci:

(x⁰) = =(x⁰), i =    (9)

Functia f : D R^k R derivabila partial in raport cu variabila x_i in fiecare punct din multimea D se numeste derivabila partial in raport cu variabila x_i, i = pe multimea D.

Functia f se numeste derivabila partial in x⁰ID, daca este derivabila partial in raport cu toate variabilele sale in punctul x⁰.

Daca pentru fiecare i =, consideram functiile partiale f_i : x_i a f(x₁, ., x_k), in care sunt fixate componentele x₁, ., x_i-1, x_i+1,., x_k ale vectorului x=(x₁,.,x_i,., x_k)ID, atunci definitia derivatei partiale a functiei f in raport cu componenta x_i, i =, este aceeasi cu definitia derivatei functiei partiale f_i, functie reala de variabila reala x_i .

Pe baza aceste observatii, regulile de derivare de la functii de variabila reala se aplica si pentru derivatele partiale ale functiilor de mai multe variabile reale, cu mentiunea ca, pentru acestea din urma, atunci cand se calculeaza derivata partiala in raport cu variabila x_i aceste reguli se aplica pentru aceasta variabila x_i si se considera constante celelalte k-1 variabile.

Functia f : D R^k R, k 2, se numeste derivabila partial (de ordinul I) pe multimea D daca este derivabila partial in fiecare punct din D (in raport cu toate componentele vectorului x = (x₁, ., x_k) I D).

Aceasta inseamna ca ( )x = (x₁, ., x_k) I D si ( i = , exista derivatele partiale de ordinul intai (x), i = .

Se pot construi k functii, notate : D R, i = , prin x a (x), x I D, numite functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f .

Daca D R^k, k 2, atunci f:D R se numeste de clasa C¹ pe multimea D (se noteaza fIC¹(D)), daca f este derivabila partial pe multimea D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I), ,., :D R, sunt functii continue pe D.

Exemplu. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I ale functiei

f(x,y)=.

Derivatele partiale de ordinul I sunt:

; =.

Diferentiala de ordinul I a unei functii reale

Functia f : D R^k R se numeste diferentiabila in x⁰ID daca exista A=(A₁,A₂,.,A_k)IR^k si o functie h:D R cu proprietatea ca: , astfel incat:

f(x) - f(x₀) = <A, x-x₀> + ||x - x₀|| h(x), x I D.      (20)

Functia f se numeste diferentiabila pe multimea D daca este diferentiabila in fiecare punct din multimea D.

Se poate demonstra ca diferentiala unei functii intr-un punct x⁰ID este unica si depinde numai de punct si de functie.

Daca f : D R^k R este diferentiabila in x⁰ I D, atunci:

I) f este continua in x⁰;

II) f este derivabila partial in x⁰ .

Daca f :D R^k R este diferentiabila pe multimea D, atunci f este derivabila partial pe multimea D.

Fie f :D R^k R, x⁰ID. Daca f este derivabila partial pe o vecinatate VIV(x⁰), V D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I) ,. sunt continue in x⁰ ID, atunci f este diferentiabila in x⁰ ID.

Orice functie elementara este diferentiabila pe orice deschis din multimea ei de definitie.

Diferentiala functiei f este forma liniara

df(x⁰)(h) = (h₁+ h₂ + . + h_k, h=( h₁, h₂,.,h_n)IR^k

Orice aplicatie liniara L:R^k R este diferentiabila pe R^k si pentru x⁰IR^k, dL(x⁰)=L.

In particular, proiectiile pr_i: R^k R, (x₁,x₂,..,x_k) x_i ,1 i n, sunt diferentiabile si

d pr_i (x⁰)= pr_i, x⁰IR^k

Vom nota diferentialele acestor proiectii cu dx_i , 1 i n.

Daca interpretam, in mod formal, functia derivata partiala, ,( i=) ca un produs intre si f, atunci formula (23) a diferentialei functiei f in x⁰ se scrie:

df(x⁰) = (dx₁ + dx₂ + . + dx_k) f(x⁰).                     (24)

Exemplu. Sa se stabileasca expresia diferentialei de ordinul I a functiei f definita prin f(x,y)=ln(x²+y²), (x,y) (0,0) intr-un punct oarecare din domeniul de definitie si in punctul x⁰=(1,2).

; ;

df(x,y)= +; iar df(1,2)=+.

Derivate partiale si diferentiale de ordin superior ale functiilor

Fie f :D R^k R, k 2. Presupunem ca f este derivabila partial pe multimea D si exista : D R, functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f in raport cu toate componenetele x_i, in fiecare x = (x₁, ., x_k)ID.

Daca toate functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f, , ., sunt functii derivabile partial pe multimea D, atunci functiile derivate partiale ale acestora se numesc derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f pe D si se noteaza:

= i = , numite functiile derivate partiale de ordinul doi in raport cu x_i de doua ori;

= ;= , i, j = , i j, numite derivatele partiale de ordinul doi mixte ale functiei f in raport cu x_i, x_j si respectiv x_j, x_i.

Recursiv, se definesc derivatele partiale de ordinul n 2 ale functiei f, ca fiind derivatele partiale de ordinul I ale functiilor derivate partiale de ordinul n - 1.

Exemplu.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul al doilea ale functiei

f(x.y)=3x²y + 5, (x,y)IR², y 0, si sa se verifice teorema lui Scwartz.

; .

Calculam derivatele de ordinul al doilea:

=6y ; =6x -;

=; =6x -.

Fie f:D Rⁿ R , derivabila partial de doua ori in punctul x⁰ID. Matricea H(x⁰)=IM_n(R) se numeste matricea hessiana a functiei f in punctul x⁰.

Exemplu. Sa se scrie Hessiana functiei f:D R² R, f(x,y)=ln in punctul x⁰=(2,1).

Vom calcula derivatele partiale de ordinul I si II ale acestei functii.

; =;;= -1

= ; = 0;

=;;0; 1.

Hessiana in x⁰ este     H(x⁰)==.

Functia f :D R^k R se numeste diferentiabila de ordinul n 2 in x⁰ID daca toate functiile derivate partiale de ordinul n-1 exista intr-o vecinatate VIV(x⁰) si acestea sunt diferentiabile in x⁰.

Daca f :D R^k R este diferentiabila de ordinul n in x⁰I D, atunci derivatele partiale de ordinul n in x⁰ exista si ordinea de derivare pana la ordinul n in x⁰ este indiferenta.

Daca f:D R^k R este derivabila partial de ordinul n intr-o vecinatate VIV(x⁰) si toate functiile derivate partiale de ordinul n sunt continue in x⁰, atunci f este diferentiabila de ordinul n in x⁰.

Diferentiala de ordinul n a functiei f :D R² R se defineste recursiv prin egalitatea:

dⁿf(x₀, y₀) = d(d^{n -1}(f))(x₀, y₀) = f(x₀, y₀) undereprezinta puterea simbolica a n-a pentru operatorul de diferentiere.

Exemplu.         d²f(x₀,y₀)=f(x₀,y₀)=

=.

In general, daca f : D R^k R, k 2, este diferentiabila de ordinul n in x⁰ID, atunci diferentiala de ordinul n a functiei f in x⁰ se defineste prin :

dⁿf(x⁰)=f(x⁰) =.

Formula lui Taylor pentru functii de doua variabile

Fie f:D R² R si (a,b) un punct interior din D. Presupunem ca f este de n ori diferentiabila in punctul (a,b), deci exista toate derivatele de ordin n in (a,b) si sunt continue.

Polinomul :

T_n(x,y)=f(a,b)++ ++

+..+

se numeste polinomul Taylor de gradul n atasat functiei f in (a,b).

R_n(x,y)= f(x,y)-T_n(x,y) se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Restul R_n(x) estimeaza eroarea aproximarii functiei f(x,y) prin polinomul lui Taylor de ordin n, T_n(x,y).

Daca functia f:D R² R este diferentiabila de n+1 ori intr-o vecinatate a punctului interior (a,b)ID, atunci pentru orice punct (x,y) din aceasta vecinatate exista un punct x h) situat pe segmentul cu capetele (x,y) si (a,b), astfel incat

R_n(x,y)= (x h

Formula lui Taylor de ordinul n corespunzatoare lui f se va scrie

f(x,y)=f(a,b)++

+ (x h

Fie f:D R² R o functie care are derivate partiale de ordinul al doilea intr-o vecinatate a punctului (a,b). Atunci exista o functie w(x,y) continua in (a,b) si astfel incat

R₂(x,y)=.