Calculul vectorial, tensori, derivate partiale, operatorul nabla, operatii cu nabla, miscarea unei particule in camp magnetoc, omogen si constant, metoda Euler, ecuatii Lagrange

Calculul vectorial

Produs : Scalar: Vectorial:

Mixt:

Dublu produs vectorial:

Acceleratia:

Viteza :

Tensori

Tensorul Kroneker

;

(contractie simpla)

Rangul e dat de nr. de indici; nr. de component e dat de dimensiunea spatiului la puterea rangului.

tensor de rang 3, cu component(spatiu tridimensional). Nu putem face contractie dubla cu 3 indici.

(tensori de rang 2)

Contractia simpla miscoreaza cu 2 rangul tensorului:

scalar(de la rang 4 la rang 0)

=inductia campului magnetic/ =intensitatea campului magnetic/ = permeabilitatea magnetic

D=inductie electrica    electrica    E=intensitatea campului electric

Tensorii se impart in 2 categorii

Tensorul Levi Civita

i,j,k=1,2,3 sau permutare pare a ordinii (1,2,3)

dc 2 indici sunt identici

-1 i,j,k=1,3,2 sau pernmutare impara a ordinii (1,2,3)

Proprietatile lui

Derivate partiale

Derivata partial a lui f in raport cu variabila x, atunci cand  variabile y si z sunt constant:

Ex.

derivate partial de ord.I derivate partiale de ord.II

(proprietatea de simetrie a derivatelor mixte de ordin II)-tensor de rang 2 simetric

Eseu: Sistemul periodic al elementelor Referat: Repartitia unei substante intre doi solventi nemiscibili (Legea de distributie a lui Nernst)

Operatorul nabla.Operatii cu nabla.

Operatorul nabla

Gradientul unei marimi fizice scalare:

Divergenta :

=

Ratorul:

(operatorul Laplace)

Sa se calculeze contractia dintee un tensor simetric si un tensor antisimetric de rang 2.

       

Miscarea unei particule in camp magnetoc ,omogen si constant. Metoda Euler.

        

         )

1.

-frecventa Larmor

2.

Conditii initiale:

(ecuatii diferentiale de ordinal I)

Ecuatie diferentiala de ordinul II cu coeficenti constanti ,omogena(nu depinde explicit de t)de tip Euler :

1)Se cauta o solutie de forma

Ilocuind solutia precedenta in ecuatia deferentiala se obtine ecuatia caracteristica

3)se rezolva ecuatia caracteristica(

4)solutia generala a ecuatiei diferentiale are forma

Cont c1 si c2 se determina din conditiile initiale

(legea de miscare de-alungul axei OX)

Analog se afla legea de miscare de-alungul axei OY.

6.Miscarea unei particule in camp magnetoc ,omogen si constant.

          

(se determina din conditiile initiale)

Oscilatorul armonic unidimensional ideal.

= variatia in timp a fluxului

( legea inductiei electromagnetice)

e= tensiunea electromotoare indusa;

; L-inductanta; i- curentul electric;

; tensiunea electromotoare indusa in bobina;

( Oscilatorul armonic)

8.Circuitul oscilant ideal

circuitul oscilant ideal

9.Circuitul oscilant real.

   

10.Ecuatii Lagrange

Spatiul configuratiilor: (coordinate generalizate pt spatiu "n" dimensional

viteze generalizate

L=T-V

L=funtia Lagrange

T=energie cinetica

V= energie potentiala

L=L(

i=1,n sisten de n ecuatii diferentiale)

Conditii initiale

11.Oscilator armonic ideal.Metoda lagrange

n=3N-p N-nr corpuri p-nr restrictii

N=1

Z=0             p=2 | n=3*1-2=1 o singura coordonata generalizata

y=0             

       

12.Pendul gravitational

N=1,

      

13.Ecuatii canonice Hamilton

( impulsuri generalizate)

Spatiul maselor 2n dimensional P=m*v(impulsul)

(Functia Hamilton)

Ecuatii canonice Hamilton

Ecuatii canonice Hamilton ( 2n ecuatii)

>> Daca q=H, avem:

( Ecuatie de evolutie a functiei f)

14.Paranteze Poisson.Proprietati.

Proprietati ale parantezei Poisson:

/ nu depinde de q,p;

15.Principiul I al Termodinamicii.

Parametrii:p,v,t(presiune, volum, temperatura)

= nr. de moli.

       = masa molara. N= nr. molecule m= masa gazuli =nr. lui Avogadro(

16.Ecuatia termica de stare:

17.Transformarea politropa.

Transformarea politropa apare cand exponentul politropic  este constant . Un exemplu de astfel de transformare apare intr-un cilindru inchis, dar care poate schimba cu mediul ambiant atat lucru mecanic, cat si caldura. Lucrul mecanic produs de piston este obtinut atat din caldura provenita din mediul ambiant, cat si din energia interna a sistemului. Oricare dintre perechile de parametri conjugati p-V sau T-s sunt semnificative.

Legea de transformare: / n- exponentul transformarii;

Variatia parametrilor:

Lucrul mecanic exterior:

Lucrul mecanic tehnic:

Caldura schimbata:

18.Interpretarea geometrica a lucrului  mecanic.

Lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior este egal cu aria sufprafetei demilitata de: graficul procesului, axa volumelor si dreptele ;

19.Calduri,lucruri mecanice ,variatii de energie interna in transformarile simple ale gazului perfect.

Daca T= const=>PV=const(Legea transformarii izoterme)

Daca V=const=>P=const(Legea transformarii izocore)

Daca P=const=>v=const(Legea transformarii izobare)

N=1=>PV=const.

(Transformare adiabatica)=>nu se face schimb de caldura intre sistemul termodinamic si mediul exterios.

=caldura molara la presiune const. Legea  conservarii energiei in termodinamica)

=caldura molara la volum const.          Q- caldura schimbata de sist. Term. Cu mediul exterior

                            = variatia energiei interne a sist. termodinamic    

        ( la gazul perfect)---> ecuatia calorica de stare

(lucrul mecanic in transformare de la starea initiala la cea finala)