Miscarea unui sistem in jurul unei pozitii de echilibru stabil

Miscarea unui sistem in jurul unei pozitii de echilibru stabil

Exista o legatura directa intre starea de echilibru a unui sistem si energia potentiala a acestuia. Pentru simplitate se va considera un sistem cu un singur grad de libertate, aflat in camp gravitational

Sistemul considerat se gaseste intr-o stare de echilibru instabil in punctul in care energia potentiala U(x) a sistemului admite o valoare maxima, Fig.II.1.a). O deplasare a sistemului oricat de mica fata de acest punct duce la indepartarea ireversibila a sistemului din starea de echilibru instabil.

In cazul in care energia potentiala a sistemului ramane constanta pentru un intreg domeniu de valori ale lui x, atunci, pentru domeniul respectiv de valori, sistemul se gaseste intr-o stare de echilibru indiferent, Fig.II.1.b). Deplasarea sistemului in orice punct al acestei regiuni de energie potentiala constanta, numita si suprafata echipotentiala, nu afecteaza starea de echilibru a acestuia.

In cazul in care exista un punct in care energia potentiala a sistemului admite o valoare minima, atunci in punctul respectiv sistemul se gaseste intr-o stare de echilibru stabil. Mici deplasari ale sistemului fata de acest punct au ca rezultat revenirea sistemului in starea de echilibru stabil, Fig.II.1.c).

a) b) c)

Fig. II.1

In continuare se vor considera astfel de mici deplasari ale sistemului fata de pozitia de echilibru stabil. Se dezvolta energia potentiala a sistemului, U(x), in serie Taylor in jurul punctului de echilibru stabil. In urma unei translatii convenabil alese, acesta poate fi adus in punctul de coordonata x=0. Se pastreaza doar primii trei termeni ai dezvoltarii in serie Taylor:

(1)

Deoarece punctul x=0 este un punct de minim, derivata intai a energiei potentiale calculata in acest punct  este egala cu zero, adica . Pe de alta parte, deoarece energia potentiala este definita pana la o constanta arbitrara aditiva, se poate considera ca in punctul respectiv si U(0)=0 . In plus, punctul x=0 fiind un minim al functiei, valoarea derivatei de ordinul doi a acesteia calculata in punctul de minim trebuie sa fie strict pozitiva adica . Constanta k se numeste constanta elastica a sistemului. Cu aceste precizari, expresia energiei potentiale a sistemului capata forma aproximativa:

(2)

unde s-au neglijat termenii de ordin superior lui . Din punct de vedere matematic aceasta inseamna ca, in jurul pozitiei de echilibru stabil functia energie potentiala U(x) se poate aproxima printr-o parabola. Unei energii potentiale de aceasta forma ii corespunde o forta:

(3)

adica o forta de tip elastic. Forta elastica provine dintr-o energie potentiala si deci este o forta conservativa. Fiind orientata totdeauna spre pozitia de echilibru  stabil, forta elastica tinde sa readuca sistemul in aceasta pozitie. Din aceasta cauza mai este denumita si forta de revenire. Datorita fortei de revenire si inertiei sistemului acesta se misca de o parte si de alta a pozitiei de echilibru stabil, adica oscileaza.