Calculul campului magnetic - proprietati magnetice ale substantei, caracterul vectorial al campului magnetic

CURS NR

1. Campul magnetic. Forte magnetice

2. Intensitatea campului magnetic

3. Caracterul vectorial al campului magnetic

4. Liniile campului magnetic

5. Fluxul campului magnetic

6. Actiunea campului magnetic asupra curentului electric

7. Campul magnetic al unei sarcini punctiforme

8. Campul magnetic al unui element de current. Legea Biot-Savart

9. Campul magnetic in central unei spire circulare

10. Campul magnetic al unui current rectiliniu infinit lung

11. Legea lui Ampère

12. Amperul unitate fundamental in SI

Legea lui Gauss pentru magnetism

Momentul magnetic atomic

Intensitatea de magnetizare

Campul magnetic H

Susceptibilitatea magnetica

Clasificarea substantelor dupa proprietatile lor magnetice

1. Campul magnetic. Forte magnetice

S-a constatat experimental ca intre doi conductori parcursi de curent electric se manifesta forte de atractie daca curentii au acelasi sens si de respingere daca conductorii sunt parcursi de curenti electric in sens contrar. In conductori exista atat sarcini pozitive (fixe) cat si sarcini electrice negative. In ansamblu conductorul este neutru din punct de vedere electric. Campul electric generat de conductori neutri din punct de vedere electric este nul. Deci orice forta de natura electrica este si ea nula.

Istoric s-a mai constatat ca daca un magnet     permanent(o busola) se gaseste in apropierea                       unui conductor parcurs de un curent electric atunci aceasta se reorienteaza.

Forta cu care actioneaza curentul electric asupra unui conductor parcurs si el de

curent electric sau asupra unui magnet se numeste Forta Magnetica.

Fig. 13.1 Conductorii parcursi de curent in acelasi sens se atrag.

Aceste fenomene nu mai pot fi explicate de mecanica Newtoniana pentru ca presupune aparitia unei forte chiar daca viteza electronilor este constanta si deci nu presupune o acceleratie.

2. Intensitatea campului magnetic

Definitie: Campul magnetic este o forma de existenta a materiei care se manifesta prin actiunea cu o forta de natura magnetica asupra sarcinilor electrice in miscare, deci si asupra curentilor eletrici.

Interactiunile magnetice se transmit de la un punct din spatiu la altul cu viteza finita, din aproape, prin intermediul campului magnetic. Viteza de propagare a interactiunii este egala cu viteza luminii.

(13.1)

unde B este o masura a intensitatii campului magnetic generat de sarcina q in miscare cu viteza v. Din motive istorice marimea B se numeste inductie magnetica, si nu intensitate a campului magnetic.

(13.2)

Definitie: Intr-un punct din spatiu campul magnetic are valoarea de un Tesla daca asupra sarcinii de 1C ce trece prin acel punct cu viteza de 1 m/s normala la camp, actioneaza o forta de 1N.

Interactiunea magnetica se propaga in doua etape:

In prima etapa sarcina q in miscare genereaza in jurul ei un camp magnetic care se propaga in spatiu.

In a doua etapa cand campul a ajuns la locul sarcinii in miscare acesta actioneaza asupra ei cu o forta magnetica.

3. Caracterul vectorial al campului magnetic

Experimental s-a constat ca exista directii particulare pentru care daca sacina q se misca in lungul uneia dintre ele atunci forta magnetica este nula. Exista si o alta directie perpendiculara pe prima pentru care forta magnetica este maxima

(13.3)

care este forta Lorentz.

Orientarea fortei magnetice care actioneaza asupra sarcinii in miscare cu viteza , in campul magnetic este in directia in care inainteaza un burghiu drept cand este rotit in sensul in care se poate suprapune vectorul peste vectorul pe drumul cel mai scurt.

Fig. 13.2 Forta Lorentz. Regula burghiului

Regula maini stangi pentru stabilirea orientarii fortei Lorentz: Daca degetele mainii stangi deschise sunt orientate in sensul vitezei de deplasare a unei sarcini pozitive astfel incat campul magnetic sa intre in palma atunci degetul mare indica directia fortei Lorentz.

4. Liniile campului magnetic

Fiecarui punct din campul magnetic i se poate atasa un vector, Linia de camp care are ca tangenta in orice punct un vector camp magnetic se numeste linie de camp magentic.

Proprietatiile liniilor de camp magnetic:

Printr-un punct din spatiu trece o singura linie de camp magnetic.

Liniile campului magnetic nu se pot intersecta.

Liniile campului magnetic sunt curbe inchise.

● Liniile campului magnetic sunt curbe orientate. Orientarea liniei de camp intr-un punct din spatiu este data de directia in care se orienteza polul nord al unui ac de busola care se plaseaza in acel punct. Daca campul magnetic este produs de un magnet atunci liniile cimpului magnetic ies din polul nord al magnetului si intra in polul sud al magnetului.

Fig. 13.3 Campul magnetic terestru

5. Fluxul campului magnetic

Definitie: Se numeste flux al campului magnetic printr-o suprafata oarecare si se noteaza prin Φm numarul liniilor de camp magnetic care strabat unitatea de suprafata normala la linii.

(13.4)

pentru un camp magnetic omogen. Daca in schimb campul magnetic este neomogen atunci se poate considera o portiune infinitezimala de suprafata pentru care campul magnetic variaza atat de putin incat campul magnetic poate fi considerat constant:

(13.5)

atunci fluxul magnetic printr-o suprafata S

este:

(13.6)

iar daca suprafata este inchisa atunci:

(13.7)

Fig. 13.4 Fluxul campului magnetic printr-o

suprafata orientata.

Actiunea campului magnetic asupra curentului electric

Forta magnetica asupra unui element curent

Definitie: Prin element de curent intelegem o portiune dintr-un conductor subtire, cu lungime dl atat de mica incat sarcina totala dQ a purtatorilor de curent din interiorul lui poate fi considerata punctiforma.

Daca elementul de curent este parcurs de un curent de intensitate I atunci elmentul de circuit este caracterizat de produsul I.dl. Daca asa cum s-a presupus sarcina dQ este punctiforma atunci se poate aplica legea lui Lorentz pentru a calcula elementul de forta, dF

(13.8)

daca aria sectiunii elementului de curent este a sarcina unui purtator este q iar concentratia purtatorilor este n atunci se poate calcula elementul de sarcina ca fiind:

(13.9)

de unde elementul de forta devine:

Analiza: ZINCUL - metabolismul zincului - rolul biochimic al zincului Proiect: Hidrogen, oxigen, sulf, carbon - elemente chimice

(13.10)

Fig. 13.5 Orientarea fortei magnetice

unde s-a tranferat caracterul vectorial de la viteza la elementul de lungime.

(13.11)

Forta magnetica asupra unui curent liniar infinit

Presupunem un conductor liniar de lungime L prin care trece un curent electric de intensitate I si care se gaseste intr-un camp magnetic, B. Forta care actioneaza asupra acestui conductor este data de:

(13.12)

care este legea lui Laplace.

Forta magnetica asupra unui curent inchis

Curentul electric circula intr-un circuit numai daca este inchis prin intermediul sursei de tensiune electromotoare. Elementele de circuit trebuie sa faca parte dintr-un circuit. Deoarece circuitul inchis nu poate fi rectiliniu elementele de curent nu sunt paralele. Mai mult daca aplicam regula paralelogramului pentru compunerea vectorilor atunci obtinem:

(13.13)

Forta totala magnetica este data de suma fortelor magnetice elementare:

(13.13)

Forta magnetica ce actioneaza asupra unui circuit inchis aflat in camp magnetic omogen este nula.

7. Sursele campului magnetic

Campul magnetic al unei sarcini punctiforme

Se pune intrebarea: Care este orientarea vectorului in campul sarcinii punctiforme ? Raspunsul este simplu: Fie un punct P aflat la momentul t in pozitia data de vectorul de pozitie de sarcina, q, care in miscarea cu viteza v genereaza un camp magnetic .Daca este versorul vectorului de pozitie atunci expresia campului magnetic al sarcinii punctifor-

me q in punctul P poate fi scrisa sub forma:

(13.14)

Vectorul camp magnetic generat

de o sarcina punctiforma, intr-un punct oarecare P este perpendicular pe planul format de vectorii si este orientat in sensul vectorului

Fig. 13.6 Campul magnetic al unei sarcini punctiforme.

8. Legea Biot-Savart

Campul magnetic al unui element de curent

In locul unei sarcini punctiforme consideram un element de current liniar Sarcina din interiorul lui este data de ecuatia (13.9). Sarcina dQ poate fi considerata punctiforma. Atunci prin aplicarea ecuatiei (13.14) obtinem elemental de camp magnetic in punctul P ca fiind:

(13.15)

unde v este viteza in current a purtatorilor de sarcina. Astfel inlocuind elemental de sarcina electrica obtinem:

(13.16)

iar daca se introduce

(13.17)

de unde se poate obtine legea lui Biot-Savart.

(13.17)

Legea lui Biot-Savart ne da valoarea si orientarea campului magnetic generat de elementul de curent intr-un punct P situat la distanta r de elementul de curent.

Vectorul camp magnetic elementar generat de elementul de curent

intr-un punct situat la distanta r de acesta, este orientat normal la planul format de vectorii al vectorului de pozitie al punctului P, in sensul in care inainteaza un burghiu drept cand este rotit in sensul in care putem suprapune vectorul peste vectorul pe drumul cel mai scurt.

Campul magnetic al unui element de curent

Un conductor oarecare de lungime finita parcurs de un curent electric I poate fi divizat in mai multe elemente de curent. Campul magnetic intr-un punct P este dat de suma vectoriala a contributiei fiecarui astfel element curent. La limita se obtine integrala:

(13.18)

care reprezinta forma integrala a legii

Biot-Savart. Orientarea vectorului

Depinde de forma concreta a conduc-

torului si coincide cu orientarea rezul-

tantei tuturor campurilor elementare

generate de elementele de curent

din care este construit conductorul.

Fig. 13.7 Campul magnetic produs de un

lement de curent.

9. Campul magnetic in centrul unei spire circulare

Sa consideram o spira circulara cu raza r, parcursa de un curent cu intensitatea I. Ne intereseaza campul magnetic in centrul ei. Toate campurile magnetice provenite de la elementele de curent au aceeasi orientare, si anume in lungul axei spirei, avand in plus si acelasi sens, cel dat de inaintarea unui burghiu drept. Insumarea vectoriala a campurilor magnetice poate fi inlocuita de insumarea scalara a modulelor lor.

(13.19)

dar indiferent de elementul de volum ales unghiul dintre versorul razei vectoare si elementul de lungime este θ = 90s. Obtinem atunci:

(13.20)

de unde prin integrare

se obtine campul magnetic produs de o spira

circulara in centrul ei:

(13.22)

Fig. 13.8 Campul magnetic in centrul unei spire

Definitie: Campul magnetic in centrul unei spire circulare parcursa de curent electric este direct proportional cu intensitatea curentului prin spira si invers proportional cu raza spirei.

10. Campul magnetic al unui curent rectiliniu infinit lung

Consideram un conductor rectiliniu, infinit lung, prin care trece un curent cu intensitatea I. Ne intereseaza intensitatea campului magnetic intr-un punct P situat la distanta b de conductor. Impartim conductorul in elemente de curent. Campul magnetic al acestor elemente de curent este perpendicular atat pe versorul si elementul de curent In plus au aceeasi orientare pentru toate elementele care apartin conductorului rectiliniu.

(13.23)

se observa ca:

(13.24)

si:

(13.25)

de unde se obtine:

(13.26)

Fig. 13.9 Campul magnetic al unui curent

rectiliniu.

care inlocuite in ecuatia (13.23) se obtine:

(13.27)

de unde:

(13.28)

Definitie:Campul magnetic al curentului liniar, infinit lung, intr-un punct din spatiu este direct proportional cu intensitatea curentului electric si invers proportional cu distanta de la axa conductorului la punctul considerat.

Observatie: Liniile campului magnetic al curentului rectiliniu, infinit de lung sunt cercuri concentrice in plane perpendiculare pe conductor si centrate pe axa conductorului.

11. Legea lui Ampere

Ne intereseaza care este circulatia campului stationar pe un contur inchis .Consideram doua cazuri i)cand controlul nu incercuieste un curent I si ii) cand conturul incercuieste un curent I .

I.Conturul nu incercuieste un curent I

Alegem un contur de integrare

particular C abcda, in campul mag-

netic al curentului I. Descompunem

conturul (si integrala) in 4 portiuni

doua segmente radiale si doua arcuri

de cerc. Pe segmentele radiale (ab) si

(cd) elementul de contur

in timp ce pe arcele de cerc (bc) si (da

cele doua sunt antiparalele pe

(bc) si paralele pe (da). Circulatia vec-

torului in lungul conturului C este:

Fig. 13.10 Legea lui Ampere pentru un contur care nu incercuieste curentul.

(13.29)

care prin utilizarea relatiei ( 13.28) devine:

(13.30)

de unde se obtine circulatia vectorului in lungul conturului C care este in afara curentului I:

(13.31)

II. Conturul incercuieste un curent I

Cel mai simplu contur care incercuieste curentul I este cercul C

(13.32)

de unde se obtine circulatia vectorului in lungul conturului C care incercuieste curentul I ca fiind:

(13.33)

Se poate arata ca ecuatia (13.33)

Este adevarata pentru orice contur care incercuieste curentul I.

(13.34)

Mai mult este adevarata si pentru

un contur care nu se gaseste intr-un

plan perpendicular pe curentul I.

Fig. 13.11 Legea lui Ampere pentru un contur care incercuieste curentul.

Intr-adevar, daca consideram un curent I inconjurat de un contur inchis arbitrar Г. Prin orice punct, P al conturului putem trasa o linie de camp magnetic si vectorul tangent la ea. Daca se noteaza cu α unghiul dintre campul si elementul de contur Atunci proiectia lui pe campul

este

(13.35)

de unde circulatia vectorului in lungul conturului Г care incercuieste cu-

rentului I este data de relatia:

(13.36)

care este aceeasi cu ecuatia (13.34). Daca conturul de integrare incercuieste mai multi curenti atunci se considera suma algebrica a celor care se gasesc in interiorul conturului inchis Г:

(13.37)

Ecuatia (13.37) este legea lui Ampère. Enuntul legii lui Ampère: Circulatia campului magnetic pe un contur inchis este egala cu produsul dintre permeabilitatea magnetica a vidului, μ si suma algebrica a curentilor incercuiti de conturul de integrare Г.

Daca conturul de integrare se gaseste in interiorul unui conductor masiv atunci putem scrie:

(13.38)

care este legea lui Ampère sub forma integrala. Suprafata S pe care se calculeaza integrala din densitatea de curent poate avea orice forma atata timp cat se sprijina pe conturul Г.

Enuntul legii lui Ampère sub forma integrala: Circulatia campului magnetic pe un contur inchis Г este egala cu produsul dintre permeabilitatea magnetica a vidului, μ si integrala densitatii de curent pe o suprafata de se sprijina cu marginea pe conturul de integrare Г.

Legea lui Ampère este o alta forma de exprimare a legii lui Biot-Savart. In plus daca folosim teorema lui Stockes putem obtine legea lui Ampère sub forma diferentiala:

(13.39)

de unde:

(13.40)

12. Amperul unitate fundamentala in SI

Pentru definirea Amperului consideram doi conductori rectilinii paraleli, infiniti parcursi de curent electric situati in vid la distanta d = 1m unul de celalalt prin care circula curentii electrici I si respectiv I Campul magnetic generat de curentul I in punctul in care se gaseste curentul I este:

(13.41)

Conform Legii lui Laplace forta care actioneaza asupra curentului I este atunci:

(13.42)

din aceleasi motive forta care actioneaza asupra curentului I este

Forta de interactie dintre cei doi conductori ce revine unitatii de lungime este:

(13.43)

Daca intensitatea curentului electric este aceeasi in cei doi conductori si atunci forta unitatii de lungime devine:

(13.44)

Definitie: Amperul este intensitatea curentului electric continuu care este mentinut in doi conductori rectilinii, paraleli, de lungime infinita si sectiune neglijabila, situati in vid la distanta de 1m unul de altul, si care interactioneaza intre ei cu o forta de

Legea lui Gauss pentru magnetism

Campul magnetic se caracterizeaza prin linii de camp inchise. Acest lucru inseamna ca orice linie care intra intr-o suprafata inchisa trebuie sa iasa din ea. Acest lucru ne spune ca fluxul magnetic total printr-o suprafata inchisa este egal cu zero.

(13.45)

care este legea lui Gauss, forma integrala, pentru campul magnetic. Ea este

satisfacuta si de campurile magnetice varia-

bile in timp.

Enunt: Fluxul campului magnetic

printr-o suprafata inchisa este egal cu zero.

O consecinta a legii lui Gauss pentru

campurile magnetice este acea ca in natura

nu exista sarcini magnetice individuale

(monopoli magnetici).

Fig. 13.12 Legea lui Gauss pentru campul magnetic.

Daca ne folosim de teorema divergentei ecuatia (13.45) devine:

(13.46)

de unde rezulta legea lui Gauss pentru campul magnetic forma diferentiala ca fiind:

13 .14. Momentul magnetic atomic

Dorim sa examinam acum influenta pe care o au mediile materiale asupra campului magnetic. Experienta arata ca toate substantele se magnetizeaza cind sunt introduse in camp magnetic. Efectul magnetizarii substantelor este modificarea valorii initiale a campului magnetic, atat in interiorul substantei cat si in spatiul din vecinitatea ei. Daca notam cu campul magnetic in vid (aer) si cu campul magnetic in prezenta substantei atunci in orice punct din substanta putem scrie relatia:

(13.48)

unde este campul magnetic generat de substanta magnetizata.

Am vazut mai inainte ca un curent electric produce in jurul lui un camp magnetic. Dar curentul electric nu este altceva decat sarcina electrica in miscare. Deci putem spune ca sursele campului magnetic sunt de fapt sarcinile electrice in miscare. Doar ca in prezenta substantei trebuie sa facem distinctie intre:

. Miscarea sarcinilor electrice libere, in vid sau in conductori,

. Miscarea electronilor legati in atomi sau molecule.

Definitie: Curentii electrici datorati miscarii ordonate a sarcinilor electrice libere se numesc curenti liberi.

Definitie: Curentii electrici datorati miscarii ordonate a sarcinilor electrice legate in atomi sau molecule se numesc curenti legati sau curenti de magnetizare.

Intensitatea curentului atomic orbital

Consideram o orbita atomica circulara de raza r, pe care se misca un electron cu sarcina e.Intr-o perioada, T prin orice sectiune transversala a orbitei electronul trece o singura data. De aici intensitatea curentului electric este egala cu:

(13.49)

unde v este frecventa de rotatie a elec-

tronului ω- viteza liniara a miscarii de

rotatie.

Fig. 13.13 Miscarea electronului pe orbita in

jurul nucleului conduce la aparitia unui mo-

ment cinetic si la aparitia unui moment mag-

netic.

Momentul magnetic al curentului atomic orbital

Daca consideram aria orbitei circulare ca fiind S = πr² atunci putem definii momentul magnetic:

de unde momentul magnetic al curentului atomic orbital este:

(13.51)

Fiecare orbita electronica din atomi se caracterizeaza printr-un moment magnetic orientat in sens opus momentului cinetic al electronului. Relatie in care s-a definit raportul (factorul) giromagnetic ca fiind:

(13.52)

Definitie:Factorul giromagnetic,y este numeric egal cu raportul modulelor momentului magnetic orbital si momentul cinetic orbital

Momentul magnetic atomic

Pe langa momentul magnetic orbital electronul se caracterizeaza printr-un moment magnetic de spin Momentul magnetic total al unui electron atomic este egal cu suma vectoriala a momentelor sale magnetice: orbital si de spin.

Definitie:Momentul magnetic atomic este egal cu suma vectoriala a momentelor magnetice orbital si de spin ale electronilor si a momentului magnetic al nucleului.

Tinand cont de faptul ca raportul dintre masa protonului si cel al electronului mn/me= 1840 de cele mai multe ori se poate neglija.

15. Intensitatea de magnetizare

Ne putem imagina substantele ca fiind compuse dintr-o multime de curenti amperici (curenti lageti de atomi), caracterizat fiecare prin momentul sau magnetic.Daca intr-o portiune de material cu volumul V exista N curenti atomici atunci momentul magnetic total este:

(13.53)

Momentul magnetic al unitatii de volum este o marime fizica mult mi potrivita pentru a caracteriza magnetizarea unui material:

Definitie:Momentul magnetic al unitatii de volum se numeste intensitate de magnetizare sau magnetizare.

In general daca o portiune de

material nu se gaseste in camp

magnetic, orbitele curentilor am-

perici in interiorul ei (si momente-

le magnetice asociate) sunt orien-

tate complet haotic iar magneti-

zarea totala este egala cu zero.

Trebuie mentionat ca exista si

Fig. 13.14 Curentii amperici si momentele magnetice

asociate, datorate miscarii electronilor pe orbite sunt orientate aleator.

substante care fac exceptie de la aceasta regula.

16. Campul magnetic H

Daca consideram un solenoid avand in interiorul sau un cilindru care la trecerea curentului electric se magnetizeaza. Legea lui Ampere se scrie ca:

(13.55)

unde NI este curentul liber iar Imeste curentul de magnetizare, iar este evident campul magnetic generat de curentii liberi si de curentii de magnetizare. Consideram o felie a cilindrului magnetizat de lungime dl taiata normal la axa cilindrului. Daca intensitatea curentului de magnetizare

ce curge pe suprafata acestei

felii este atunci momen-

tul magnetic asociat este:

(13.56)

de unde intensitatea elemen-

tara a curentului de magnetizare

este:

Fig. 13.15 Aparitia curentului de magnetizare la

suprafata substantelor introduce in camp magnetic.

de unde intensitatea curentului de magnetizare

este:

unde pe restul (exceptand portiunea L) portiunii din curba,magnetizarea M=0. Curentul de magnetizare genereaza campul magnetic

Fig. 13.16 Aparitia curentului de in interiorul cilindrului si in vecinatatea lui.

magnetizare la suprafata substantelor introduce in camp magnetic.

Astfel legea lui Ampere data de ecuatia (13.55) se rescrie ca fiind:

sau

(13.60)

Putem nota intensitatea campului magnetic ca fiind:

(13.61)

sau:

(13.62)

iar legea lui Ampere devine:

(13.63)

unde este intensitatea curentului liber total, inconjurat de conturul Г.

17. Susceptibilitatea magnetica

La o temperatura data valoarea unui material, depinde de valoarea campului magnetizator,

(13.65)

unde constanta de proportionalitate, mse numeste susceptibilitate magnetica si depinde de natura substantei (si de temperatura in anumite cazuri).

unde:

(13.67)

se numeste permeabilitate magnetica relativa a materialului.De aici se poate defini permeabilitatea absoluta a materialului ca fiind:

(13.68)

18. Clasificarea substantelor dupa proprietatile lor magnetice