Potential electric, operatii matematice cu campuri, legea inductiei electromagnetice

CAMPURI ELECTRICE SI MAGNETICE. POTENTIAL ELECTRIC. OPERATII MATEMATICE CU CAMPURI. LEGEA INDUCTIEI ELECTROMAGNETICE. ECUATIILE LUI MAXWELL.

Forta de interactiune intre doua sarcini electrice punctiforme (in vid) este descrisa in mod clasic de legea lui Coulomb:

Analizand aceasta expresie, deducem faptul ca forta este proportionala cu fiecare din sarcini si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele. Sensul ei depinde de semnul sarcinilor: doua sarcini de sens contrar se atrag, iar doua sarcini de acelasi semn se resping. Forta este orientata pe axa ce uneste cele doua sarcini,       reprezentand vectorul unitar al acestei directii, orientat de la sarcina 2 la sarcina 1. Conform principiului 3 al dinamicii, fortele exercitate asupra celor doua sarcini sunt egale si de sens contrar. Un alt principiu important este cel al superpozitiei: daca introducem in sistem o a treia sarcina q₃, forta exercitata asupra ei va fi suma fortelor rezultate din interactiunea cu fiecare dintre primele doua sarcini in parte, ca si cum cealalta nu ar exista. In cazul unei distributii spatiale de sarcini punctiforme q₁, q₂, . , q_N , forta exercitata asupra unei sarcini oarecare q₀ este:

Daca eliminam q₀ din aceasta relatie, obtinem o marime vectoriala numita intensitatea campului electric (E), care descrie interactiunea dintre o sarcina unitara si sistemul de sarcini q₁, q₂, . , q_N , numite sursele campului:

In cazul unei distributii continue de sarcina cu densitatea de sarcina ρ_(x',y',z'), intensitatea campului electric intr-un punct de coordonate x,y,z se obtine prin integrarea contributiei aduse de fiecare element de volum infinitesimal dx'dy'dz':

Calculul diferential poate fi utilizat in acest context, desi principial nu putem diviza sarcina sub valoarea sarcinii electrice elementare.

In continuare, sa calculam prin integrare lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unei sarcini q₂ in campul sarcinii q₁, de la infinit la o distanta r₁₂:

Dupa cum se observa, W nu depinde de traiectoria urmata de q₂, ci doar de pozitia sa initiala si finala. Acest rezultat reflecta o proprietate generala a campurilor de forta conservative, intre care se numara si campul gravitational. Intr-un astfel de camp, orice deplasare poate fi descompusa prin diferentiere in deplasari elementare ds, care la randul lor sunt descompuse in deplasari in lungul liniilor de camp, dr, pentru care se efectueaza lucrul mecanic elementar Fdr, si deplasari perpendiculare pe liniile de camp, pentru care lucrul mecanic este nul. In plus, pentru orice bucla a traseului ce presupune o inversare a sensului initial de deplasare, aceeasi cantitate de lucru mecanic este initial scazuta si apoi adaugata la revenirea la distanta de unde a inceput intoarcerea, astfel incat contributia lor finala in integrala este nula.

Aceste considerente permit definirea unei functii scalare asociate unui camp electric E, numita potential (φ), definita ca lucrul mecanic necesar pentru deplasarea unei sarcini unitare dintr-o pozitie initiala, aleasa arbitrar (de obicei situata la o distanta infinita de sursele campului), careia i se atribuie potentialul 0, intr-o pozitie finala.

Din definitia campului electric, , rezulta imediat ca diferenta de potential intre doua puncte P₁ si P₂ este egala cu integrala de linie a campului electric pe orice traseu care uneste cele doua puncte (semnul minus apare deoarece integram o forta de sens contrar celei de interactiune electrostatica):

Putem efectua si operatia inversa, deducerea campului din potential, pornind de la relatia elementara:

Operatorul (nabla), egal cu suma derivatelor partiale pe cele trei directii ale spatiului, poarta numele de gradient al unei functii scalare (se poate folosi si notatia grad f), rezultatul aplicarii sale fiind un camp vectorial:

Analiza: ZINCUL - metabolismul zincului - rolul biochimic al zincului Proiect: Hidrogen, oxigen, sulf, carbon - elemente chimice

Directia gradientului intr-un punct este directia in care are loc cea mai rapida variatie a campului scalar (de exemplu a potentialului) in vecinatatea acelui punct, iar amplitudinea sa este data de intensitatea acestei variatii. Exprimata in acesti termeni, intensitatea campului electric E intr-un punct este egala cu minus gradientul potentialului in vecinatatea acelui punct.

Vom defini in continuare o alta marime asociata unui camp vectorial, si anume fluxul campului printr-o anumita suprafata (F ). Prin analogie cu fluxul de curgere al unui fluid (caz in care avem un camp de viteze), acesta se obtine integrand pe intreaga suprafata S produsul scalar dintre intensitatea campului  si aria unei suprafete infinitesimale , a carei orientare este data de normala la elementul de suprafata:

Pentru campul unei sarcini punctiforme q, fluxul printr-o suprafata sferica de raza r centrata in q este:

valoarea sa fiind independenta de r. Putem demonstra ca fluxul are aceeasi valoare pentru orice suprafata inchisa S care include q, indiferent de forma sa. Pentru aceasta, sa consideram un con cu varful in q care delimiteaza pe sfera de raza r o arie infinitesimala a si pe suprafata S o arie infinitesimala A, aflata la distanta R fata de q, a carei normala formeaza unghiul q cu normala pe a. Fluxul prin A va fi:

egal cu fluxul prin a, deci prin integrare fluxul prin S va fi tot q/e . In plus, fluxul produs de q pe o suprafata inchisa S care nu include q este 0, deoarece, ducand din q tangente la S putem genera o curba inchisa C care separa S in doua suprafete deschise S₁ si S₂; printr-o demonstratie similara celei anterioare aratam ca fluxurile prin S₁ si S₂ sunt egale si de semn contrar, deci fluxul total prin S este nul. In continuare, aplicand principiul superpozitiei, fluxul produs de un numar de surse q₁, q₂, . , q_N incluse intr-o suprafata inchisa S este egal cu suma fluxurilor produse de fiecare sursa in parte (q_i/e ), sau, pentru o distributie continua de sarcina inclusa in S:

Aceasta relatie poarta numele de legea lui Gauss, fiind o formulare echivalenta legii lui Coulomb. Ea nu este valabila decat daca intensitatea campului variaza invers proportional cu patratul distantei.

Trecem la definirea unui alt operator aplicat campurilor vectoriale, divergenta. Aceasta reprezinta limita raportului dintre fluxul unui camp F pe o suprafata inchisa S_i si volumul V_i delimitat de aceasta:

Sa consideram acum fluxul lui F printr-o suprafata inchisa macroscopica S. Putem separa printr-un "sept" suprafata S in doua suprafete S₁ si S₂. In acest caz, fluxul prin S este egal cu suma fluxurilor prin S₁ si S₂, deoarece fluxul prin "sept" este adunat si scazut, contributia sa finala fiind nula. Procedand in mod similar, putem compartimenta volumul delimitat de S intr-o multitudine de volume infinitesimale V_i, suma fluxurilor prin suprafetele de delimitare ale acestora (S_i) fiind in continuare egala cu fluxul prin S:

La limita, cand N , V_i , termenul din paranteza devine divergenta lui F iar suma se transforma in integrala de volum:

Aceasta ecuatie se numeste teorema lui Gauss sau teorema divergentei. Combinand-o cu legea lui Gauss (13) obtinem:

formularea locala sau diferentiala a legii lui Gauss.

Vom trece in continuare de la studiul sarcinilor electrice stationare (electrostatica) la interactiuni intre sarcini mobile. Se stie ca un curent electric de intensitate I, parcurgand un conductor, genereaza in jurul acestuia un camp magnetic de inductie B. La distanta r fata de conductor:

La randul lui, un camp magnetic de inductie B actioneaza asupra unei sarcini mobile q avand viteza v cu o forta:

Sensul fortei, ca in orice produs vectorial, este dat de regula burghiului drept. Deoarece orice camp magnetic este generat de sarcini electrice in miscare, nu exista o sursa a campului, ca in cazul campului electrostatic. Fluxul lui B este 0 prin orice suprafata inchisa S, si in consecinta:

in orice punct al spatiului.

Sa consideram acum o bucla de sarma C deplasandu-se cu viteza v intr-un camp magnetic stationar de inductie B. Asupra sarcinilor mobile din bucla va actiona o forta . Campul electric indus (forta pe unitatea de sarcina) va fi iar prin integrarea sa pe intreaga bucla obtinem tensiunea electromotoare indusa:

E (21)

Pe de alta parte, variatia fluxului inductiei prin bucla este:

deci:

E (23)

Privind acelasi fenomen dintr-un sistem de referinta legat de bucla, campul magnetic nu mai este stationar, ci variabil in timp, insa relatia (23) ramane valabila. Ea se numeste legea lui Faraday a inductiei.

Pentru a gasi o formulare locala a acestei legi, asemanatoare legii lui Gauss, vom defini un alt operator pe campuri vectoriale: rotorul. Incepem constructia sa definind circulatia unui camp vectorial F pe o curba inchisa C:

Evident, semnul circulatiei depinde de sensul de parcurgere a buclei C. De exemplu, tensiunea electromotoare indusa intr-o bucla este circulatia campului electric indus pe acea bucla (relatia 21). Rotorul lui F intr-un punct reprezinta limita raportului dintre circulatia lui F pe o bucla C_i ce inconjoara acel punct si aria unei suprafete a_I ce se sprijina pe C_i. Fiind o marime vectoriala, directia este data de normala la a_I, iar sensul de regula burghiului drept rotit in sensul circulatiei pe C_i. Valoarea finala a rotorului intr-un punct se obtine prin alegerea suprafetelor a_I pe trei directii perpendiculare ale spatiului, urmata de sumarea vectoriala a celor trei componente.

Folosind legea inductiei pentru o bucla C, avem:

E (26)

Restrangand bucla C in jurul unui punct, rezulta, la limita:

deci formularea locala a legii inductiei este:

Similar:

In vid cele 4 ecuatii Maxwell devin simetrice: