Tipuri de probleme si metode de rezolvare

Tipuri de probleme si metode de rezolvare

Multi invata matematica din necesitati conjuncturale, in general, si mai ales in special pentru a face fata exigentei diferitelor examene. Putini sunt aceia care o fac din placere, din pasiune.

Elevii isi formeaza deprinderi de calcul oral sau scris, isi insusesc anumite tehnici de calcul, dar "poezia matematicii" - placerea de a descifra si de a "reciti" ca pe o poezie cu multiple si uneori ascunse sensuri despre viata si univers, numai rezolvarea de probleme o realizeaza deplin.

In capitolul precedent am aratat valoarea formativa a rezolvarii de probleme, dezvoltarea gandirii si a capacitatii de utilizare a ei in situatii problematice, insa acestea, la care putem adauga intelegerea esentei matematicii, nu se pot realiza fara vointa, perseverenta, fermitate, tenacitate si pasiune.

Acestea se realizeaza numai prin maiestria de care da dovada invatatorul, prin metodele si procedeele pe care le utilizeaza in rezolvarea de probleme, in trecerea unor obstacole pe care le intampina elevii in rezolvarea problemelor, prin tactul pedagogic de care da dovada pentru cultivarea increderii in fortele proprii, a celorlalte calitati pozitive ale vointei si caracterului.

Primele probleme sunt acelea pe care si le pune zilnic copilul in scoala, in familie, in timpul jocului si care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face sa vada inca din clasa I utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor, este necesar ca micii scolari sa inteleaga faptul ca in viata de toate zilele sunt situatii cand trebuie gasit un raspuns la diferite intrebari.

In aceasta perioada de inceput, activitatea de a rezolva si compune probleme se face numai pe cale intuitiva. De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub forma de joc si au un caracter de problema -actiune si li se asociaza un bogat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizeaza la un nivel concret, ca actiune de viata (au mai venitfetite, s-au spart..baloane, au plecatratuste, i-a datcreioane colorate, au mancatbomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin actiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpara, plateste sau elevul este la scoala si primeste carti sau creioane). In aceasta faza, activitatea de rezolvare a problemelor se afla foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea principala pe care o intampina copiii consta in transcrierea actiunilor concrete in relatii matematice. In enuntul unei probleme, formulat de invatator sau de copil, nu se spune "3 fetite plus 2 fetite", ci se spune ca erau 3 fetite si au mai venit 2 fetite, nu se spune "4 baloane - 2 baloane", ci ca au fost 4 baloane si s-au spart 2 dintre ele.

Pe baza experientei pe care o au elevii inca din etapa prescolara sau chiar din primele lectii de matematica in efectuarea operatiilor cu multimi, ei reusesc, in general, cu usurinta sa "traduca" in operatii matematice actiunile cerute in enuntul unei probleme.

Acum elevii sunt familiarizati cu termenul de "problema", "intrebarea problemei", "rezolvarea problemei", "rezultatul problemei".

Introducerea in rezolvarea problemelor simple se face inca din perioada pregatitoare primelor operatii. Invatatorul se foloseste de probleme "actiune" care dupa ce au fost "puse in scena" vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, invatatorul trebuie sa aduca in atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie aritmetica. Care sunt in esenta acest tipuri?

1. Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

- de aflare a sumei a doi termeni;

- de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decat un numar dat;

- probleme de genul "cu atat mai mult".

2. Probleme bazate pe scadere pot fi:

- de aflare a restului;

- de aflare a unui numar care sa aiba un numar de unitati mai putine decat un numar dat;

- de aflare a unui termen atunci cand se cunosc suma si un termen al sumei;

- probleme de genul "cu atat mai putin"

3. Probleme simple bazate pe inmultire pot fi:

- de repetare de un numar de ori a unui numar dat;

- de aflare a produsului;

- de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decat un numar dat;

4. Probleme simple bazate pe impartire pot fi:

- de impartire a unui numar dat in parti egale;

- de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul;

- de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decat un numar dat;

- de aflare a unei parti dintr-un intreg;

- de aflare a raportului dintre doua numere.

In general, problemele simple sunt usor intelese si rezolvate de catre elevi. Dificultati exista, cele mai frecvente fiind de genul: neglijarea intrebarii, includerea raspunsului in enunt, neglijarea unei date, confundarea operatiei ce trebuie efectuate s.a. Pentru depasirea lor am avut in vedere:

- rezolvarea unui numar mare de probleme;

- analiza temeinica in rezolvarea fiecarei probleme;

- abordarea unei mai mari varietati de enunturi;

- prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii sa le completeze si apoi sa le rezolve;

- prezentarea datelor unei probleme si elevii sa puna intrebarea si invers;

- prezentarea unor "povestiri" care nu sunt altceva decat asa-zise probleme latente;

- completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

- rezolvarea unor probleme in care operatia nu apare la prima vedere;

- compunerea de probleme dupa anumite date, dupa scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;

- alcatuirea de catre copii a unor probleme, in mod liber, fara a fi limitate de existenta datelor, de relatia dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumita operatie.

De fapt, prin aceste procedee se urmareste propriu-zis nu o invatare a problemelor, ci formarea capacitatilor de a domina varietatea lor care practic este infinita.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pasi orientati spre exersarea flexibilitatii si fluentei gandirii. Prin rezolvare elevii ajung sa opereze in mod real cu numere, sa faca operatii de compunere si descompunere, sa foloseasca strategii si modele mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse nu inseamna, in esenta, rezolvarea succesiva a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea principala intr-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi, constituirea rationamentului. De aceea este necesara o perioada de tranzitie de la rezolvarea problemelor simple ( cu o operatie) la rezolvarea problemelor compuse ( cu doua sau mai multe operatii).

In prima perioada se porneste de la rezolvarea unor probleme compuse alcatuite din succesiunea a doua probleme simple.

Un exemplu relevant poate fi urmatoarea problema:

" Victor si Danut strang impreuna timbre. Victor a pus intr-un plic 3 timbre iar Danut 2 timbre. Cate timbre au impreuna cei doi copii?"

( 3 timbre +2 timbre= 5 timbre)

" Ionica aduce si el 4 timbre pe care le pune in plicul lor. Cate timbre au acum cei 3 copii?" ( 5 timbre +4 timbre= 9 timbre).

Document online: Jocuri muzicale in gradinita Referat: Fisa de evaluare predictiva - evaluare predictiva a achizitiilor prescolare

Spunem problema in intregime:

" Victor si Danut strang impreuna timbre. Victor a pus intr-un plic 3 timbre si Danut 2 timbre. Ionica aduce si el 4 timbre pe care le pune in acelasi plic. Cate timbre au in total cei trei copii?"

3 timbre..2 timbre.4 timbre..? timbre

Rezolvam problema si pe secvente (judecati separate):

Cate timbre au impreuna Victor si Danut?

3 timbre + 2 timbre = 5 timbre

2. Cate timbre au in total cei trei copii?

5 timbre + 4 timbre = 9 timbre

Rezolvam problema si printr-o adunare a trei termeni:

3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre

ceea ce in esenta se exprima prin relatia a+b+c.

In cadrul acestei activitati elevii sesizeaza mersul rationamentului si invata sa elaboreze tactica si strategia rezolvarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regula, prin metoda analitica sau sintetica. Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta, caz in care metoda care predomina isi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei. Atat o metoda cat si cealalta constau in descompunerea problemei date in probleme simple care, prin rezolvare succesiva duc la gasirea solutiei finale. Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se pleaca de la datele problemei spre gasirea solutiei ei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice intre ele.

In practica, s-a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere intrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare in gasirea solutiei problemei. Metoda analizei pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor si, folosind-o, ii ajuta pe elevi sa priveasca problema in totalitatea ei, sa aiba mereu in atentie intrebarea problemei.

Odata cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare. Planul trebuie scris de invatator pe tabla si de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formarii deprinderilor de a formula intrebari si pentru alte rezolvari de probleme.

In clasa I, planul problemei se intocmeste de la inceput oral ( elevii neavand suficiente cunostinte si deprinderi de scriere), maniera care se continua si in clasa a II-a, in unele situatii. Se recomanda ca la clasa a II-a planul de rezolvare sa se faca oral sau in scris in egala masura. In clasele a III-a si a IV-a, dupa intocmirea planului oral, elevii sunt capabili datorita deprinderilor de scriere deja formate, sa treaca la scrierea planului cu usurinta, indata ce problema a fost examinata. Forma in care poate fi scris planul este variata, dar cel mai eficient este sub forma intrebarilor. Sa luam ca exemplu problema:

" O ferma a contractat 392 de tone de grau, secara cu 72 tone mai putin, iar ovaz de 32 de ori mai putin decat secara. Cate tone de cereale a contractat acea ferma?"

Planul rezolvarii:

- cate tone de secara?

- cate tone de ovaz?

- cate tone de cereale s-au contractat in total?

Rezolvare:

392 tone - 72 tone = 320 tone (secara)

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovaz)

392 tone+ 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Raspuns: 722 tone cereale.

Rezolvarea se scrie, de regula, prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul asigurandu-se o estetica in pagina si o stransa legatura intre ceea ce a gandit elevul si ceea ce se calculeaza:

Astfel vom avea:

Cate tone de secara s-au contractat?

322 tone - 72 tone = 320 tone (secara)

Cate tone de ovaz s-au contractat?

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovaz)

Cate tone de cereale s-au contractat?

392 tone + 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Raspuns: 722 tone cereale

Scriind in felul de mai sus, elevii sunt solicitati sa raspunda imediat, prin efectuarea operatiei fiecarei intrebari din plan, evitandu-se astfel posibilele greseli si chiar confuzii de intrebari si operatii.

O atentie deosebita trebuie sa acorde invatatorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Si aceasta pentru ca prin rezolvarea lor se cultiva mobilitatea gandirii, creativitatea sa, se formeaza simtul estetic al scolarilor ( prin eleganta, economicitatea si organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a gasi noi procedee de rezolvare constituie o adevarata gimnastica de mintii, educandu-se astfel atentia, spiritul de investigatie si perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizeaza de la inceput existenta mai multor cai de rezolvare. Sarcina invatatorului este aceea ca prin maiestria lui pedagogica, prin analiza intreprinsa cu clasa, prin intrebari ajutatoare, sa-i determine pe elevi sa gandeasca si alte modalitati de rezolvare. Sa exemplificam cu problema:

" Intr-un bazin curge apa prin doua robinete. Prin primul robinet curg cate 174 litri de apa pe minut, iar prin al doilea robinet, cu 36 litri mai mult decat prin primul. Cati litri de apa se afla in bazin dupa 3 minute de la deschiderea celor doua robinete?"

Unii elevi pot rezolva problema efectuand operatiile necesare in ordinea actiunilor cuprinse in enunt ( din variate motive: neputinta de a cuprinde si de a prelucra intregul enunt, insuficienta deprinderilor de rezolvare formate pana la acest moment).

Alti elevi, analizand mai bine problema, renunta la ordinea actiunilor cuprinse in enunt si cauta valorile intre care pot stabili o relatie utila, mai economicoasa si mai simpla pentru rezolvarea problemei.

Cum organizam datele problemei?

174 lcu 36 l mai putin.? l..3 minute

Iata si cele doua moduri alternative de rezolvare, cu schemele respective (figura 1 si figura 2).

1. 2.

174 l - 36 l = 138 l 174 l - 36 l = 138 l

174 l x 3 = 522 l 174 l + 138 l = 312 l

138 l x 3 = 414 l 312 l x 3 l = 936 l

522 l + 414 l = 936 l

174 l .cu 36 l mai putin3 minute.? l

138 l

-

522 l

X

414 l

X

936 l

+

(Schema la figura 1)

174 l .cu 36 l mai putin3 minute.? l

138 l

-

312 l

+

936 l

X

(Schema la figura 2)

Modelul ofera elevului posibilitatea sa vada unitar structura unei probleme, sesizand organizarea interna a continutului ei. Elaborarea modelului in forme si modalitati din cele mai variate - cu cerculete, cu patrate, cu triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtari, cu ilustratii etc, este un instrument ajutator in rezolvarea problemei. Prin alcatuirea modelului, elevul parcurge o etapa de gandire, patrunde in procesul de rezolvare, probeaza ca a inteles structura logica a continutului problemei, isi exerseaza gandirea divergenta, creatoare, precum si abilitatile de compunere de probleme.

O categorie de probleme careia invatatorul trebuie sa-i acorde o atentie deosebita este aceea in care datele sunt in relatii de "cu atat mai mare (mai mica)" sau ,,de atatea ori mai mare (mai mica)". Pentru elevii din clasa a II-a si a III-a, in special, acestea au un caracter abstract si daca nu se face o analiza foarte atenta a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea consta mai ales in faptul ca o marime se ia de mai multe ori: a + (a + b), a + a x b, a - a : b, a + (a +b) + (a + c) etc si daca elevul nu si-a insusit notiunile respective le poate neglija.

In aceste cazuri,se recomanda descompunerea problemei compuse in probleme simple si apoi recompunerea din acestea a problemei initiale.

In analiza problemelor este bine sa nu se foloseasca totdeauna datele concrete asa cum sunt ele prezentate , explicandu-le copiilor ca acestea pot fi altele intr-o alta problema sau situatie -problema.

Rezolvarea problemelor dupa un plan de rezolvare necesita nu o data si folosirea schemelor, desenelor, graficelor etc, iar pentru formarea unei gandiri sintetice, formule numerice sau literale. Daca atunci cand se predau operatiile aritmetice se insista asupra notarii cu litere a termenilor si factorilor, daca operatiile aritmetice sunt scrise la modul general si se cere elevilor sa rezolve si sa compuna probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferentei, produsului, catului, sa mareasca si sa micsoreze o cantitate cu atat sau de atatea ori etc - folosind formule literale, elevii nu vor mai intampina greutati mari in actiunile de schematizare si generalizare a unei probleme compuse prin exercitiu numeric sau formula literala.

La intrebarea: cate probleme de matematica sa se rezolve intr-o lectie, raspunsul tehnicienilor si practicienilor este simplu. Intr-o ora de matematica este posibil sa se rezolve doar 2 -3 probleme la care sa se insiste asupra rationamentului, asupra diferitelor cai posibile de rezolvare, asupra schemei, punerii in formula numerica si literala, compunerii unor formule analoage pornind de la exercitiu si formula, decat sa se rezolve, in mod superficial, mai multe probleme, fara repetarea cerintelor sus- amintite.

Un rol deosebit in dezvoltarea flexibilitatii gandirii il ocupa rezolvarea problemelor -tip. Prin problema-tip intelegem acea constructie matematica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip. O asemenea problema se considera teoretic rezolvata in momentul in care i-am stabilit tipul si suntem in posesia algoritmului de rezolvare.

Nu trebuie sa fim adeptii unor sabloane pentru ca rezolvitorul s-ar putea transforma intr-un robot, posesor al unor cartele pe care sunt imprimati algoritmi si sarcina lui ar fi doar sa stabileasca tipul, sa "traga" cartela corespunzatoare, si sa o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de probleme trebuie sa fie, pe langa un bun specialist al obiectului, si un tip creator, novator, intreprinzator - calitati disjuncte cu ale "robotului", in sensul clasic al cuvantului.

Problemele de matematica le putem clasifica astfel:

I. Probleme cu operatii relativ evidente in functie de date si de relatiile dintre ele si necunoscuta (sunt problemele cele mai des intalnite in manualele din clasa I-IV); acestea sunt:

A. Probleme simple

B. Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, principal, doua - metoda sintetica si metoda analitica.

II. Probleme care se rezolva prin metoda figurativa. In acesta categorie includem si probleme de aflare a doua numere cunoscand suma si diferenta lor, precum si pe cele de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta si raportul lor.

III. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la acelasi termen de comparatie).

IV. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze).

V. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers).

VI. Probleme de amestec si aliaje cu doua variante:

A. De categoria I.

B. De categoria a II-a.

VII. Probleme de miscare (bazate pe relatia s= v x t ), cu doua variante:

A.         In acelasi sens.

B.         In sensuri contrare.

VIII. Probleme cu marimi proportionale cu doua variante:

A. Impartirea unui numar in parti direct proportionale.

B. Impartirea unui numar in parti invers proportionale.

IX. Probleme care, depinzand de alcatuirea intrebarii si de date, pot fi rezolvate si incadrate in categoriile specificate mai sus, dar cu un continut specific:

A.         Probleme cu continut geometric.

B.         Probleme cu continut de fizica.

C.         Probleme asupra actiunii si muncii in comun.

X. Probleme nestandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme - joc, etc.)

Voi oferi modalitati de rezolvare a problemelor pentru cateva categorii de probleme grupate in raport cu metoda de rezolvare, fara a avea pretentia ca sunt absolute.