Modelul diagonal de selectie a portofoliului

MODELUL DIAGONAL DE SELECTIE A PORTOFOLIULUI

1. IPOTEZELE MODELULUI DIAGONAL

In elaborarea modelului sau, Sharpe porneste de la o intuitie fireasca pentru un cercetator atent: ansamblul covariatiilor in general pozitive, din cadrul riscului unui portofoliu poate avea un factor comun de determinare. Acest factor comun poate fi un indicator macroeconomic care influenteaza in mod substantial piata titlurilor financiare (indice bursier, rata de dobanda, PIB, etc.).

Pornind de la aceasta ipoteza, in cea mai mare parte realista (pe o piata financiara activa), putem afirma ca rentabilitatea fiecarui titlu financiar este in mare masura explicata (determinata) de evolutia factorului comun (a indicelui bursier R_M, spre exemplu) ca variabila exogena: R_i=f(R_M). Toti ceilalti factori care ar mai putea influenta rentabilitatea R_i sunt considerati endogeni si vor determina variatia neexplicata prin R_M , respectiv riscul specific al titlului 'i'.

Ne propunem o mica paranteza prin care afirmam importanta capitala a modelului de piata (single index model or one factor model, in engleza). Identificarea acestui model si testarea validitatii corelatiei titlurilor 'i' cu factorul de piata 'M' au permis elaborarea modelului diagonal. La randul lui, modelul diagonal a inspirat constructia unui model celebru (CAPM) de evaluare a activelor financiare ca norma de remunerare de catre piata a investitiei in aceste active. In continuare, CAPM a inspirat un alt, nu mai putin celebru, model multifactorial (APT) de evaluare a activelor financiare. si lantul efectelor de propagare se continua in estimarea costului capitalului, in modelul multiperiodic, ca sa nu amintim decat pe cele mai actuale preocupari.

Putem afirma ca rentabilitatea unui titlu financiar depinde liniar de rentabilitatea de piata R_M ecuatia dreptei de regresie putand fi scrisa sub urmatoarea forma

R_i=a_i b_i*R_M+e_I

in care,

N

unde s_iM SProb_s* R_is-  E R_i R_js-E R_M

s=1

unde s = 1,2,3,,N stari posibile ale naturii in perioada de previziune.

Prob_s= probabilitate asociata fiecarei stari posibile ale naturii.

Aceasta corelatie are anumite proprietati, foarte utile in abordarile ulterioare:

Factorul rezidual e_i ,rezultat prin aplicarea metodei de regresie a celor mai mici patrate, este deci expresia riscului specific (neexplicat prin factorul comun R_M). Speranta sa matematica este nula (proprietate dobandita prin metoda celor mai mici patrate), iar dispersia sa se presupune a ramane constanta (aceeasi supozitie ca si constanta de legaturi dintre R_i si R_M). Exprimand riscul specific al titluluui 'i' fara nici o legatura cu riscul celorlalte titluri sau cu riscul sistematic (de piata), este admisa cu temei teza independentei factorului e_j fata de ceilalti factori e_j si fata de cel al pietei (in consecinta, r_ij r_iM=0

Inca o ipoteza si trecem la virtutile modelului de piata care l-au facut  atat de util in elaborarea modelelor viitoare. Se considera ca toate corelatiile s_iM (intre R_i, fiecare in parte, si R_M ca factor comun) urmeaza o lege normala bivariabila: variatia R_M determina, in marimi diferite (specifice fiecarui titlu), variatia sistematica a R_i; la randul ei, variatia R_i va induce o contributie specifica (particulara a titlului 'i') la variatia totala a R_M. Ambele variatii ale R_i si R_M urmeaza o lege normala (bivariabila, in cazul nostru). Daca toate covariatiile s_iM se inscriu in aceasta lege de distributie, atunci pentru definirea lor este suficienta cunoasterea urmatoarelor informatii: E_i, s_i², E_M, s_M², si r_iM (in total, 3n informatii despre titlurile i si 2 informatii despre factorul comun -indice bursier - , deci 32n+2 strict inferior lui 2n+n(n-1)/2 ).

Exemplu: Daca luam patru titluri (A, B, C, D) vom observa ca fara a introduce acest factor comun identificarea legaturilor dintre rentabilitatile lor se face apel la sase relatii (s_AB s_AC s_AD s_BC s_BDs_CD), iar in modelul Sharpe la numai patru (s_AM s_BM s_CM s_DM). Daca mai adaugam un titlu (E) vor fi necesare +4=10 realtii in fara a introduce foctorul comun fata de 4+1=5 relatii in modelul Sharpe .

Reprezentarea legaturilor intre rentabilitatile R_i si R_M

2. EXPRIMAREA RISCULUI PORTOFOLIULUI IN MODELUL DIAGONAL

In aceste conditii de simplificare a intercorelatiilor dintre titluri, riscul total al fiecaruia se va defini in raport cu riscul de piata (s_M²) si cu riscul specific (s²_ei

In consecinta, riscul total al titlului i dobandeste, in modelul simplificat, o noua formulare:

Suntem acum pregatiti sa abordam modelul diagonal de selectie a portofoliului. Deci, mai intai sa redefinim riscul portofoliului si apoi sa urmarim minimizarea lui. In forma sa simplificata, riscul total al portofoliului se va defini in functie de corelatiile titlurilor i cu M si nu cu perechile j

In care fiecare abatere se rescrie dupa modelul de piata:

Deci,

=0 =0 =0

In consecinta, pentru oricare i si j=1,2,..,n:

Cu aceste expresii noi ale riscului s_l² si ale covariatiilor s_ij , riscul total al portofoliului (s_p²) se rescrie astfel:

Document online: Unificarea paneuropeana azi Document online: Economia bunastarii si rolul statului in economie - reglementarea preturilor

Expresia riscului total al portofoliului in modelul diagonal evidentiaza cele doua componente ale riscului: sistematic () si specific

Simplificarea este acum evidenta intrucat primul termen se obtine ca produs intre vectorii coloana x_I si b_i, pe de o parte; si variabila exogena s_M², iar al doilea termen se obtine ca produs intre vectorii linie si coloana x_I si matricea diagonala s_el³

Problema de rezolvat in modelul diagonal este urmatoarea:

stiind ca:  

Recurgerea la functia Lagrange si cautarea minimului ei conduce la urmatorul sistem matriceal pentru determinarea frontierei eficiente:

W X K

Compozitia portofoliilor eficiente cu risc minim, la o speranta de rentabilitate data (dorita = E*p), va fi solutia la sistemul matriceal: X=W^-1*K.

3.         APLICATIE A MODELULUI DIAGONAL

Scopul acestei aplicatii este identificarea procedurii operationale a modelului diagonal si nu economia de informatii necesare. Economia de informatii nu devine evidenta decat la portofolii formate din cel putin 5 titluri. La trei titluri avem nevoie chiar de mai multe informatii decat in modelul de baza .

In exemplu nostru estimarea vom estima un portofoliu de trei titluri (o actiune , o prima dubla , si o obligatiune) prin anticiparea pentru toata perioada viitoare a patru stari ale naturii:avant economic , crestere economica , stabilitate si recesiune.Astfel se dau rentabilitatile estimate ale celor trei titluri corespunzatoare fiecarei stari ale naturii si probabilitatile asociate fiecarei stari a naturii :

La aceste trei titluri initiale asociem valorile rentabilitatii (R_M) si riscului (s_M²) estimate pe ansamblul pietei financiare (indicele bursier) in aceleasi stari probabile ale naturii. Aceste valori centrale de referinta ne vor permite stabilirea corelatiei titlurilor initiale cu indicele pietei financiare si-n continuare selectia portofoliilor eficiente conform modelului diagonal.

Prin utilizarea modelului de piata vom determina intr-o prima faza parametrii sistemului de ecuatii de regresie liniara (a_i si b_i

Incercand acum sa estimam rentabilitatile titlurilor individuale () in functie de rentabilitatea pietei pentru fiecare stare a naturii () vom fi in masura sa determinam riscul specific al titlurilor (s_el²

Problema de minimizare a riscului portofoliului in modelul diagonal va avea urmatoarea forma concreta:

Min (x₁²*3,8465+x₂²*2,8866+x₃²*2,387)

+(x₁*1,457+x₂*0,65+x₃*0,92)²*3,09 ²

stiind ca:

Utilizarea functiei Lagrange si minimizarea ei conduce la urmatorul sistem matriceal al derivatelor partiale in functie de x₁, x₂, x₃, b_p l₁ l₂ l₃

W X K

Matricea inversa W^-1 are urmatoarele valori:

Cu ajutorul matricei inverse (W^-1) putem obtine usor sistemul de ecuatii parametrice pentru determinarea frontierei eficciente si a riscului sistematic al acesteia:

Pentru aceleasi valori dorite ale sperantei E_p^* ca si-n exemplul anterior vom obtine urmatoarea compozitie a portofoliilor eficiente corespunzatoare (si care conduc in modelul diagonal la risc minim, a se vedea tabelul 11.3).

Cu cat numarul titlurilor din portofoliu creste cu atat estimarile modelului diagonal se apropie de cele corecte.

O alta sursa a aproximarii o constituie reprezentativitatea portofoliului de piata pentru titlurile analizate. Daca acest portofoliu nu reprezinta un substitut perfect in care (), atunci estimarile in modelul diagonal vor fi afectate corespunzator erorii de reprezentare a pietei financiare.