Fiabilitate - fiabilitatea sistemelor cu restabilire

FIABILITATE  - FIABILITATEA SISTEMELOR CU RESTABILIRE

Fiabilitatea unui sistem

Structura unui sistem electronic este redata prin modelul sau structural fiabilistic, care arata legatura existenta intre fiabilitatea fiecarui element si fiabilitatea sistemului in ansamblu.

Ca metode de studiu a fiabilitatii sistemului, putem avea:

- modelul structural fiabilistic;

- modelul bazat pe arborele de defectare;

- modelul bazat pe metode Monte - Carlo;

- modelul bazat pe algebra booleana.

Aceste modele sunt utilizate pentru calcularea fiabilitatii sistemului pana la prima defectare. In cazul in care vom lua in calcul si restabilirea metoda utilizata este cea bazata pe lanturile 'marva'.

Structura fiabilistica

Pentru a calcula fiabilitatea sistemului se alcatuieste in prealabil o schema logica fiabilistica a sistemului. In aceasta schema parcurgem obligatoriu trei etape:

I - etapa de descriere a fumctionarii sistemului - se va examina cum functioneaza sistemul intr-un interval de timp dat, ce blocuri functioneaza si in ce consta functionarea acestora. Se determina continutul notiunii de functionare fara defect.

II - clasificarea defectiunilor elementelor si sistemelor. Se numara si se descriu defectele posibile ale tuturor elementelor in parte si a sistemelor in ansamblu. Se estimeaza influenta defectarii fiecaruia din elemente asupra capacitatii de defectare a sistemului.

Aceste doua etape au fost etape de pregatire.

III - se alcatuieste modelul logic structural al functionarii sistemului. Se alcatuieste modelul structural al functionarii sistemului formandu-se blocuri logice fiabilistice realizate din componente ale caror defectari duc la defectarea blocului.

Un bloc fiabilistic poate fi mai mult sau mai putin un bloc electric, apoi se examineaza cazurile in care sistemele pot sa functioneze la anumite combinatii de blocuri bune si defecte. Dupa aceea sunt impartite in blocuri fiabilistice care capata o cifra sau un numar (a, b, c 1, 2, 3, ), apoi secondizeaza combinatiile de bloc.

A poate fi bloc de alimentare.

Sch. 1

In realizarea unei scheme logice fiabilistice, legaturii 'SI' ii atribui o legatura serie, iar legaturii 'SAU' ii atribui o legatura derivatie.

Fiecare bloc in sistem apare doar o singura data. Blocurile fiabilistice sunt niste dipoli (o singura intrare si o singura iesire).

Schema logica fiabilistica:

Sch. 2

Se poate calcula usor fiabilitatea oricarui bloc. Se cunosc R_A, R_B, , R_G.

Observatie: Avem legaturi serie si legaturi derivatie. Consideram o legatura serie:

Sch. 4

R = fiabilitatea;

Consideram o grupare paralela:

Sch.5

Ca sa functioneze sistemul este nevoie sa functioneze 1 sau 2 sau j sau n, sau 1 si 2 sau 1 si j.

Aceste evenimente sunt compatibile.

F(t) = 1 - R(t) --> reprezinta probabilitatea de defectare

Pentru doua blocuri avem: R_p = R₁ + R₂ - R₁R₂.

Gruparea CD = I si gruparea EF = II, rezulta ca avem o grupare serie si deci:

Sch. 5

R_I = R_C R_D

R_II = R_E R_F

R_III = R_I + R_II - R_I R_II

Schema devine

Sch. 6

R_IV = R_B R_III

R_V = R_IV + R_G - R_IV R_G

R_S = R_A R_V

Fiabilitatea fiecarui bloc se calculeaza cunoscand regimul termic si electric al fiecarui bloc.

Consideram ca avem urmatorul sistem:

Sch. 7

Se vede ca sunt doua blocuri de intrare A sau C, iesire B sau D.

Schema nedescompozabila arata astfel:

Sch. 8

Formula fiabilitatii totale

Fie (eveniment sigur).

Probabilitatea de realizarea a unui eveniment x supus constrangerilor E_i este: .

x = este evenimentul de functionare a sistemului;

E₁ = este functionarea unui bloc j din sistem;

E₂ = este defectarea aceluiasi bloc j din sistem.

P(x) = P(x / E₁) P(E₁) + P(x / E₂) P(E₂), P(x) fiind probabilitatea de functionare a sistemului.

P(x) = R _sist(t)

P(E₁) = este probabilitatea de functionare a blocului j

P(E₁) = R_j

P(E₂) = probabilitatea de defectarea a blocului j

Proiect: Corpuri de iluminat pentru exterior de pus in beton sau pavej Proiect: Constructii sigure la cutremure - antecalculare statica a caselor din manta din beton pentru zonele seismice

P(E₂) = 1-R_j

P(x / E₁) = probabilitatea de functionare a sistemului cand blocul j functioneaza

P(x / E₁) = f_j

P(x / E₂) = probabilitatea de functionare a sistemului cand blocul j este defect

P(x / E₂) = f _j

R_sist = fj Rj + f _j (1-R_j)

Putem lua ca bloc j orice bloc din sistem. Consideram ca j s E:

f_E R_E + f _E (1-R_E)

Cand E este bun rezulta schema:

Sch. 8

f_E = (R_A + R_C - R_AR_C)(R_B + R_D - R_BR_D)

Cand E este defect, schema devine:

Sch. 9

f _E = R_A R_B + R_C R_D - R_AR_BR_CR_D

Pentru sistemele descompozabile aplicam probabilitatea totala. Presupunem ca avem doua blocuri 1 si 2, inseriate:

Sch. 10

R_sist = f₁R₁ + f ₁ (1-R₁)

Sch. 11 f₁ = R₂

Sch. 12 f ₁ = 0

R_sist = R₂ R₁ + 0 (1-R₁) = R₁R₂

Presuounem ca avem doua blocuri in paralel:

Sch. 13

R_p = f_I R₁ + f _I (1-R _I

f_I Fig. 1f_I = 1

f _I Fig. 2 f _II = R_II

R_p = 1 R_I + R₂ (1-R_I)

R_p = R_I + R_II - R_I R_II

Sch. logica

Sch. 14

Se observa ca avem doua elemente mai dificile.

R_sisr = f_D× R_D + f _D (1-R_D)

Daca D este bun atunci schema va fi:

Sch. 15

f_D = f_DG R_G + f_DG (1-R_G)

Daca D este defect, schema va fi:

Sch. 16

f _D = f _DG R_G + f _{D G} (1-R_G)

Daca D este bun si G este bun avem schema:

f_DG => Sch. 17

f_DG = [(R_A + R_H - R_A R_H) R_B + R_E - R_B R_C] (R_C + R_F - R_C R_F)

Daca D este bun si G este defect, atunci:

f_{D G} => Sch. 18

f_{D G} = (R_A + R_H - R_AR_H) ( R_BR_C + R_ER_F - R_BR_CR_ER_F)

Daca D este defect si G este bun, atunci schema devine:

Sch. 19

Daca D este defect si G este defect, atunci schema devine:

Sch. 20

Fiabilitatea sistemului va fi:

R_sist = f_DR_DR_G + f_D`G R_D (1-R_G) + f _DG (1-R_D) R_G

f _{D G} (1-R_D) (1-R_G)

Cand sistemele devin complicate, consideram cazul in care avem patru centrale telefonice sau patru centre de calcul care pot face legatura intre ele:

Sch.21 Sch. 22

R_A = R_B = = 1

Sch. 23

Daca fiabilitatea blocurilor este mare atunci se poate aplica transfigurarea stea - triunghi:

Sch. 24

Consideram un triunghi sau o stea:

Sch. 25 Sch. 26

Pentru ca cele doua scheme sa fie echivalente, trebuie ca fiabilitatea intre doua noduri sa fie aceeasi indiferent de pozitia celui de-al treilea nod.

Consideram cazul cand cel de-al treilea nod este liber sau este legat de unul din cele doua noduri.

Noduri libere:

1-2:  F₁₂ (F₃₁ + F₂₃ - F₃₁ F₂₃) = F₁ + F₂ - F₁ F₂

2-3:  F₂₃ (F₁₂ + F₃₁ - F₁₂ F₃₁) = F₂ + F₃ - F₂ F₃

3-1:  F₃₁ (F₂₃ + F₁₂ - F₂₃ F₁₂) = F₃ + F₁ - F₁ F₃

Nodul 2 il legam la unuldin noduri.

Nodul 3 il leg la 1:

1-2:  F₁₂ F₂₃ = F₂ + F₁ F₃ - F₁F₂F₃

Nodul 1 il legam la 2:

2-3:  F₂₃ F₃₁ = F₃ + F₂ F₁ - F₁F₂F₃

Nodul 2 il legam la 3:

3-1:  F₃₁ F₁₂ = F₁ + F₃ F₂ - F₁F₂F₃

Avem deci un sistem de 6 ecuatii.

Daca F₁₂ << 1 si F₁ << 1, atunci termenii de ordin superior pot fi neglijati si obtinem:

F₁ = F₃₁ F₁₂

F₂ = F₁₂ F₂₃                               ==> triunghi - stea

F₃ = F₂₃ F₃₁

Inmultind aceste ecuatii, vom obtine:

F₁ F₂ = F₃₁ F₂₃ F₁₂², dar F₃ = F₃₁ F₂₃. Rezulta:

==>  stea - triunghi

Fiecare trebuie sa aiba probabilitatea de defectare foarte mica. Transfigurarea triunghi - stea este mai sigura decat stea - triunghi.

Sch. 27

Sch. 28

Metoda arborelui de defectare

Aceasta metoda este un caz particular a schemei logice fiabilistice, care este utilizata pentru a reprezenta un anumit mod de defectare al sistemului pentru a studia influenta, ponderea evenimentelor  respectiv asupra sistemului.

Pentru functionarea sistemului, putem avea:

Sch. 29 Sch. 30

Prima schema reprezinta logica directa, iar a doua schema reprezinta logica inversa. La defectarea inversa, pentru a se defecta sistemul se defecteaza sau blocul 1 sau blocul 2 sau blocul n.

Schema logica prezentata sub forma de porti 'SI', 'SAU' formeaza arbori de evenimente pentru logica directa si se refera la functionarea componentelor. Exista si arbori care se refera la defectarea componentelor si se numesc arbori de defectare. Acestia se folosesc numai in practica, dar dar nu in forma generala a sistemului ci in forma particulara, in care defectele au forme concrete bine definite din sistem.

Exemplu: Aparitia brumului la un amplificator (defect). Se poate datora unei diode de la redresare.

y₁ - dioda

y₂ - condensator la sursa

y₃ - condensator filtraj

y₄ - intreruperea ecranului

y₅ - intreruperea semnalului

Fig. 31

Consideram un motor de pik-up.

Un defect poate fi: scaderea rezistentei R --> y₂; intern in motor: --> x₁, x₂, x₃; suprasarcina pe platane --> y₄; utilizarea unei sigurante supradimensionate y₅; cresterea tensiunii E --> y₁.

Fig. 32 Fig. 33

Metoda Monte - Carlo (metoda experimentarilor artistice sau metoda similitudinii statistice)

Aceasta metoda este o metoda de modelare a unor experiente, prin alte experiente aleatoare usor de realizat si care conduc la rezultate similare.

Daca intr-o experienta A, evenimentul A₁ apare cu aceasta probabilitate cu care in experimentul B apare evenimentul B₁ si experimentul A, fiind usor de realizat, atunci este suficient sa reproducem experimentul A de un numar mare de ori, sa studiem repartitia evenimentului A₁ si atunci transpunem evenimentul B₁.

A --> A₁ --> P(A₁) = P(B₁)

B --> B₁

Metoda Monte-Carlo se bazeaza pe folosirea legaturii interne care exista intre solutiile diverselor probleme si caracteristicile statistice ale unor experiente aleatoare.

Esenrial in aceasta metoda este posibilitatea de a trece de la o problema dat la un model aleator, care poate fi usor realizat de un calculator.

Dezavantajul este ca are o convergenta lenta.

Metoda Monte - Carlo are trei parti:

- modelarea variabilelor aleatoare cu o lege de repartitie data;

- construirea unor modele probabilistice pentru procesele reale strudiate;

- analiza statistico - matematica a estimatiilor furnizate de modelarea si generalizarea rezultatelor.

Fiabilitatea sistemului la un moment dat este probabilitatea ca un anumit parametru al sistemului sa se afle intre doua limite a₁ si a₂:

R(t_k) = Prob. =

Daca sistemul are mai multi parametri, probabilitatea totala va fi produsul lor. Parametrul a' este functie de componentele schemei.

a' = F(m₁, m₂, , m_i, , m_n)

Parametrii m_i pot varia. Functia de fiabilitate R va fi:

R = F (m₁, m₂, , m_i, , m_n).

Daca parametrii m_i pot fi distribuiti normal, atunci ei pot lua valori in functie de toleranta:

unde  x_ij - este un numar aleator distribuit normal cu media 0 si dispersia 1;

m_i⁽ⁿ⁾ - este valoarea m_i normala;

m^(t) - este valoarea m tolerata.

Fie j = 1 100 si j = 1 1000.

;

sau pentru 100 valori:

a ₀ = 2,515517b ₁ = 1,432788

a ₁ = 0,8802853 b ₂ = 0,189269

a ₂ = 0,010328b ₃ = 0,001308

FIABILITATEA SISTEMELOR CU RESTABILIRE

Timpul de restabilire

Timpul de restabilire este o variabila aleatoare. Restabilirea se poate face prin reparare sau prin inlocuire.

Daca la momentul 0 a aparut defectiunea, atunci avem urmatorii timpi:

- timp de sesizare defectiune;

- timp de incercare a depistarii defectului de catre operator;

- timp de chemare a depanatorului;

- timp de diagnoza;

- timp de demontare a blocului defect;

- timp de asteptare in atelier;

- timp de reparare;

- timp de transport la sectie;

- timp de montare;

- timp de verificare;

- functionare.

Probabilitatea de restabilire - G(t) - este probabilitatea ca timpul de restabilire sa fie mai mic sau egal decat t:

G(t) = P

Densitatea de restabilire: .

Rata restabilirii u (t) dt - reprezinta probabilitatea de a restabili produsul intr-un interval de timp [t, t + dt], cu conditia ca la inceputul intervalului sa nu fie restabilit:

. Dar =>

=> .

Definim si un timp mediu de restabilire: . Putem considera ca timpul de restabilire este distribuit exponential si rezulta:

OBSERVATIE: G (t) - este functie de repartitie a T_r si nu este functie de restabilire.

Prin functie de restabilire intelegem numarul mediu de restabilit pana la momentul t, adica un produs defect se restabileste (in urma restabilirii vom considera produsul ca nou), este pus in functiune s.a.m.d., deci vom avea un timp de restabilire. Putem avea proces de restabilire sau proces de alternare.