TEOREME FUNDAMENTALE sI METODE PENTRU STUDIUL SUPRAFEtELOR iN iNFasURARE

Pentru studiul generarii suprafetelor prin infasurarea au fost dezvoltate diverse metode, acest lucru constituind o veche preocupare a inginerilor si matematicienilor.

Acest lucru este explicabil daca ne gandim ca printre avantajele generarii suprafetelor pe cale cinematica se numara: buna precizie de repetabilitate a pasului si a profilului de generat; productivitatea foarte mare si calitatea suprafetelor obtinute corespunzatoare operatiilor de semifinisare sau chiar finisare.

Rularea poate fi definita ca fiind miscarea relativa a doua curbe care au posibilitatea de a fi tot timpul in contact. Vitezele relative intre cele doua curbe au directia tangentei comune a celor doua curbe in punctul de contact si pot fi de acelasi sens, caz in care rularea este fara alunecare, sau in sensuri opuse, fiind vorba, in acest caz, de rulare cu alunecare. Miscarea de rulare presupune rotatia unui sistem de referinta mobil, fie XOY acesta, in jurul unui centru instantaneu de rotatie I, intr‑un sistem de referinta fix xOy (vezi fig. 1.1) [22], [57].

Centroida fixa reprezinta locul geometric al pozitiilor succesive ale centrului instantaneu de rotatie in sistemul de referinta fix. Centroida mobila reprezinta locul geometric al pozitiilor centrului instantaneu de rotatie in sistemul de referinta mobil.

Trebuie precizat faptul ca, in cazul rularii fara alunecare, lungimile arcelor de curba parcurse de cele doua centroide in acelasi interval de timp sunt egale.

1.1. metode pentru profilarea sculelor generand prin infasurare, prin metoda rularii

In ordine cronologica pot fi evidentiate urmatoarele tipuri de metode:

Metode geometrice:

Teorema CAMUS;

Metoda bazata pe proprietatea fundamentala a curbelor in infasurare;

Metoda PONCELET (1827);

Metoda ROULEAUX;

Metode analitice:

Teorema fundamentala OLIVIER (1842);

Teorema GOHMAN (1896);

Metoda normalelor (1843);

Metoda "distantei minime" (1992);

Metoda familiei de cercuri de substituire (1998);

Metoda traiectoriilor (2000);

Metoda modelarii

In timp, au fost puse la punct diverse metode de determinare a curbelor conjugate asociate unor centroide in rulare. O clasificare generala a acestor metode poate fi facuta din punct de vedere matematic, diferentiindu‑se metode grafice, metode analitice, metode grafo‑analitice, metoda modelarii solide si metoda elementului finit.

1.1.1. Teorema lui Camus

Generarea suprafetelor conjugate pe masini‑unelte prin metoda rularii fara alunecare se bazeaza pe teorema lui Camus. Aceasta teorema poate fi enuntata astfel: In miscarea relativa a doua suprafete S₁ si S₂ asociate cu doua centroide C₁ si respectiv C₂, curbele F₁ si F₂ obtinute ca infasuratoare ale familiilor de curbe generate de o curba suplimentara F_S, prin rularea centroidei suplimentare C_S peste centroidele C₁ si C₂ sunt reciproc infasuratoare.

1.1.2. Metoda dedusa din proprietatea fundamentala a curbelor conjugate

Proprietatea fundamentala a curbelor conjugate consta in faptul ca normala comuna la cele doua curbe conjugate, in punctul caracteristic, trece prin centrul instantaneu de rotatie, numit si pol al angrenarii [55].

In figura 1.3, sunt reprezentate cele doua centroide (C₁, C₂)  asociate curbelor conjugate (S₁, S₂). Considerandu‑se segmentul IK, normal la curba S₂, in timpul rularii, dupa un interval de timp t, punctul I ajunge in pozitia I₁ pe centroida C₁ si respectiv I₂ pe centroida C₂. Datorita faptului ca C₁ si C₂ ruleaza fara alunecare, exista relatia . Daca din I₂ se duce normala I₂K₂ se poate determina unghiul a pe care il face aceasta normala cu tangenta in I₂ la curba C₂. Din I₁ se duce o dreapta orientata sub acelasi unghi a fata de tangenta la curba C₁. Pe aceasta dreapta, la distanta se determina punctul K₁ de pe curba S₁ cautata.

1.1.3. Metoda PONCELET

Se considera cele doua centroide in contact in punctul I reprezentand centrul instantaneu de rotatie (vezi fig. 1.4). Pe curba S₂ se iau o serie de puncte, 1, 2, 3, n prin care se duc normalele la aceasta curba. Intersectia normalelor cu centroida C₂ determina punctele 1', 2', 3', n'. Arcele astfel determinate pe C₂ se trec pe centroida C₁ ca arce de aceeasi lungime, obtinandu‑se punctele 1", 2", 3", n". Prin aceste puncte, se duc cercuri de raze egale cu lungimile normalelor respective dintre C₂ si S₂. Infasuratoarea acestor cercuri constituie curba S₁ cautata.

1.1.4. Metoda ROULEAUX

Se considera cele doua centroide C₁ si C₂ cu centrele in O₁ si respectiv O₂ (vezi fig. 1.5). Pe centroida C₁, se considera punctele I₁, I₂, I_n, iar pe C₂ punctele omoloage acestora I₁', I₂', I_n'. Prin punctele de pe centroida C₂ se duc normalele la profilul S₂, pe care il intersecteaza in punctele K'₁, K'₂, K'_n. Prin aceste puncte se duc arce de cerc cu centrul in O₂. Punctul T₁, de pe linia de angrenare, corespunzator punctului K₁, se gaseste la intersectia cercului de raza O₂K₁ cu raza orientata sub unghiul a , necesar ca punctul I₁ sa ajunga in I. In mod analog se determina punctele T₂, T₃, T_n. Prin punctele astfel determinate se duc cercuri concentrice cu centrul in O₁. Pe aceste cercuri, la intersectiile cu raze orientate sub unghiurile a a_n se determina punctele K₁, K_n apartinand curbei S₁ cautate.

1.1.5. Teorema fundamentala -OLIVIER- pentru studiul suprafetelor in infasurare

Teoremele OLIVIER (1842) sunt teoreme fundamentale pentru studiul suprafetelor in infasurare, acoperind problematica generarii suprafetelor cu contact liniar (teorema I) si cu contact punctiform (teorema a II‑a) [72]. [145].

Infasuratoarea unei familii de suprafete ce depinde de un parametru

Intr‑un sistem ortogonal drept, o familie de suprafete ce depinde de un parametru este descrisa de ecuatii de forma:

sau, intr‑o exprimare vectoriala,

in care, u si v sunt coordonatele curbilinii ale punctului curent apartinand suprafetei S si a parametrul care determina familia de suprafete [23], [25], [31], [32], [54], [71], [73], [82], [85], [123].

Se presupun indeplinite conditiile:

functia este continua si admite derivatele partiale si in fiecare punct al domeniului de variatie al parametrilor u si v, adica al domeniului de definire al suprafetei;

functia este continua, in functie de a, si admite derivate continue de ordinul I si II in functie de a pentru un domeniu .

Curba caracteristica se defineste ca fiind locul geometric al punctelor de pe suprafata S in care normala la suprafata este perpendiculara pe vectorul viteza in miscarea absoluta executata de suprafata.

Caracteristica C_a pe suprafata S, pentru o valoare constanta a parametrului a, se determina pentru o anumita corelatie a parametrilor variabili

Se poate stabili dependenta , astfel incat curba caracteristica C_a poate fi descrisa de ecuatia vectoriala

,

depinzand numai de parametrul variabil u pentru .

Pentru a variabil, ecuatia vectoriala reprezinta familia de curbe C_a, adica infasuratoarea S a familiei S_a -depinzand de parametrii u si a

Dependenta se determina din conditia ca planurile tangente la S si S in punctele de pe curba caracteristica sa fie suprapuse.

In punctul de coordonate curbilinii (u,v) de pe curba C_a , se determina vectorul normalei la suprafata S_a, in forma

,

pentru .

Vectorul normal in acelasi punct (u,v) pe C_a de pe suprafata S se determina calculand derivatele partiale si din ecuatia , pentru a variabil:

Vectorul se afla, evident, in planul tangent la S_a . Pentru ca vectorul sa se afle in acelasi plan, trebuie indeplinita conditia

,

sau echivalenta ei,

,

in care vectorii se calculeaza din ecuatia

Conditia este echivalenta, tinand seama si de , cu

.

In acest fel, curba caracteristica se determina din ansamblul de ecuatii

.

pentru , iar infasuratoarea S a familiei , din acelasi sistem , pentru (vezi si figura 1.1.).

Se face precizarea ca sistemul admite solutie daca matricea

are rangul 3.

Infasuratoarea unei familii de suprafete ce depinde de doi parametri independenti

In cazul unei familii de suprafete descrisa de doi parametri independenti, a si b, aceasta va avea ecuatiile parametrice [31], [32], [54], [71], [73], [82], [85]:

sau, in forma vectoriala,

Presupunand ca functia admite derivate partiale dupa toate argumentele intr‑un domeniu oarecare D, de variatie a parametrilor u si v pentru un domeniu definit al parametrilor a si b, atunci infasuratoarea familiei , se determina din sistemul de ecuatii,

reprezentand teorema a II‑a Olivier.

Pentru si , sistemul de ecuatii determina punctul caracteristic , punct in care cele doua suprafete reciproc infasuratoare S si S admit o normala comuna.

1.1.6. Teorema GOHMAN

Metoda cinematica, care utilizeaza teorema Gohman (1896), se bazeaza pe o interpretare cinematica a conditiei de determinare a curbelor caracteristice ale suprafetelor in miscare. In baza cinematicii masinii‑unelte, se pot stabili legaturile pe care le executa elementele finale ale lanturilor cinematice ale masinii‑unelte [48], [63], [64], [65], [71], [72], [82], [163].

Se considera urmatoarele sisteme de referinta:

xyz este sistemul de referinta fix;

XYZ -sistem de referinta mobil, solidar cu suprafata S.

Examinand miscarea suprafetei S, solidara cu sistemul de referinta mobil XYZ, in raport cu un reper fix (vezi fig. 1.8), miscarea absoluta a acesteia este descrisa de transformarea

,

in care:

este matricea de transformare ortogonala intre versorii axelor sistemului mobil XYZ fata de cel fix, xyz;

-matricea asociata vectorului , cu t -parametrul timp.

Miscarea "inversa" este descrisa de transformarea

care, evident, conduce la dependentele

Admitand ca forma suprafetei S in sistemul de referinta mobil este:

,

atunci, familia de suprafete S generata in miscarea , in functie de parametrul t, este de forma:

.

Eseu: CAIET DE SARCINI pentru executia infrastructurii din beton armat Referat: Manual de reabilitare termica a cladirilor prin imbunatatirea protectiei termice a peretilor exteriori

Caracteristica C pe suprafata S este data de sistemul de ecuatii:

Conditia a doua din sistemul poate fi interpretata ca fiind produsul scalar a doi vectori:

,

reprezentand normala la suprafata S in sistemul de referinta fix, si

echivalent vectorului viteza in miscarea absoluta a punctului curent al suprafetei S.

Deci, din punct de vedere cinematic, un punct de pe suprafata S apartine curbei caracteristice numai daca in acel punct normala la suprafata S este perpendiculara pe vectorul viteza in miscarea absoluta executata de suprafata [142].

In acest caz, sistemul de ecuatii poate fi adus la forma

Utilizarea teoremei Gohman poate fi aplicata si pentru profilarea sculelor care genereaza prin infasurare [4], [9], [17], [24], [32], [46], [51], [75], [77], [78], [79], [98], [108], de tipul:

-cremaliera (vezi fig. 1.9), [123], [143], [144];

-cutit‑roata pentru prelucrarea diverselor tipuri de suprafete: arbori profilati (fig. 1.10.a), alezaje profilate, suprafete poliforme, suprafete poliexcentrice (fig. 1.10.b) etc. [121], [122], [124], [125], [143];

- cutit rotativ pentru generarea suprafetelor profilate (arbori profilati, filete, roti de lant etc.) [121], [124], [142].

Profilarea sculelor de tip cremaliera

Rularea suprafetei cilindrice de raza R_r pe planul de rulare al cremalierei presupune existenta, in orice moment, a egalitatii

,

reprezentand conditia de rulare a celor doua centroide, C₁ si C₂, fig. 1.12.

Se definesc sistemele de referinta:

xyz ca fiind sistem de referinta fix, cu originea in O;

XYZ -sistem de referinta mobil, solidar cu suprafata S, avand la momentul initial axele suprapuse peste cele ale sistemului de referinta fix;

xhz ‑sistem de referinta mobil, solidar cu suprafata S, avand la momentul initial axa x suprapusa axei x.

Originile sistemelor de referinta mobile XYZ si xhz se gasesc, in momentul initial, in punctele O si O₁, definite in sistemul de referinta fix de matricele

si , (vezi si fig. 1.8).

Miscarea absoluta a sistemului de referinta mobil XYZ si, solidar cu acesta, a suprafetei S este descrisa de transformarea

,

in care j este unghiul de rotatie in jurul axei Z.

De asemenea, sistemul XYZ executa si o miscare de translatie in jurul axei h, cu respectarea conditiei , ocupand dupa deplasare pozitia ,

; .

Astfel, miscarea relativa a unui punct, din spatiul definit de sistemul de referinta mobil XYZ fata de sistemul solidar cremalierei, este descrisa de

,

miscare in care, definindu‑se ecuatiile suprafetei S

Se determina familia in sistemul de referinta al cremalierei,

Infasuratoarea familiei de suprafete reprezinta flancul cremalierei.

Din , se poate stabili transformarea de coordonate care descrie miscarea sistemului de referinta al cremalierei, fata de sistemul mobil XYZ,

.

Conditia de infasurare, , se poate determina calculand matricea , avand in vedere , in forma (avand semnificatia de viteza)

.

Cunoscute fiind viteza si normala, conditia de infasurare va putea fi adusa la forma

,

care, asociata familiei , permite determinarea ecuatiilor parametrice ale suprafetei flancului cremalierei -in acest caz, ecuatiile unei suprafete cilindrice- prin eliminarea unuia dintre parametrii variabili, in forma

N_X si N_Y reprezinta parametrii directori ai normalei la S in sistemul de referinta XYZ.

Nota

Se defineste suprafata de angrenare ca fiind locul geometric al punctelor de contact intre suprafata sculei-S si suprafata de generat S, in sistemul de referinta fix.

In sistemul de referinta fix, suprafata de angrenare are forma:

Profilarea sculelor de tip cutit‑roata

In cazul prelucrarii cu scule de tipul cutitelor‑roata miscarea de rulare are loc intre doua suprafete cilindrice de rotatie de raze R_rp, pentru semifabricat, si respectiv R_rs, pentru scula (vezi fig. 1.13.).

Daca se noteaza cu j si j parametrii unghiulari ai miscarilor de rotatie, atunci, din conditia rularii fara alunecare a celor doua axoide de raze R_rs si R_rp, se poate defini raportul de transmitere

.

Se definesc sistemele de referinta, figura 1.9:

-xyz este sistem de referinta fix, avand axa z suprapusa axei de rotatie a semifabricatului;

-x₀y₀z₀ -sistem de referinta fix, avand axa z₀ suprapusa axei de rotatie a sculei;

-XYZ -sistem de referinta mobil, solidar cu semifabricatul;

xhz -sistem de referinta mobil, solidar cu scula.

Distanta intre axele z si z₀, masurata in lungul axei x₀ este

.

Suprafata S (suprafata semifabricatului) va avea, in sistemul de referinta XYZ, ecuatiile parametrice

Suprafata S executa o miscare de rotatie de unghi j , descrisa de transformarea

,

ce are ca semnificatie miscarea absoluta a unui punct din spatiul XYZ fata de sistemul de referinta fix. Similar, sistemul xhz executa o miscare de rotatie de unghi j

,

care reprezinta miscarea absoluta a suprafetei periferice primare a sculei fata de sistemul x₀y₀z₀.

Pozitia sistemelor de referinta fixe este definita de transformarea de coordonate

cu matricea .

Din cele doua miscari absolute si transformarea , se pot determina miscarile relative:

,

reprezentand miscarea semifabricatului fata de suprafata periferica primara a sculei si, respectiv,

,

miscarea suprafetei periferice primare a sculei fata de semifabricat.

In miscarea semifabricatului fata de sistemul xhz, se determina familia de suprafete:

Infasuratoarea familiei de suprafete , in ansamblul de miscari prezentat anterior prezentat, constituie suprafata periferica primara a sculei -S.

In acest caz particular, conditia de infasurare are forma

Suprafata periferica primara a sculei va fi determinata din sistemul de ecuatii caruia i se asociaza ecuatia . In acest mod este posibila eliminarea unuia dintre parametrii variabili u sau v obtinandu‑se ecuatiile suprafetei periferice primare ale sculei, in forma principiala,

In cele mai multe cazuri se poate accepta ca muchie aschietoare sectiunea transversala suprafetei periferice primare a sculei:

.

Suprafata de angrenare va fi determinata de sistemul de ecuatii:

Profilarea sculelor de tip cutit rotativ

Generarea in cazul cutitelor rotative poate fi asimilata generarii inverse cu scula cremaliera. In acest caz planul de generare al semifabricatului ruleaza pe cilindrul de rulare al sculei, cilindru de raza R_rs.

Conditia de rulare presupune existenta egalitatii

.

Sistemele de referinta au urmatoarele pozitii relative:

xyz ca fiind sistem de referinta fix, cu originea in O;

XYZ -sistem de referinta mobil, solidar cu suprafata S, avand la momentul initial axele suprapuse peste cele ale sistemului de referinta fix;

xhz ‑sistem de referinta mobil, solidar cu suprafata S, avand la momentul initial axa x suprapusa axei x.

Intre sistemele de referinta mobile si sistemul de referinta fix xyz exista miscarile absolute de tipul

si, respectiv,

.

Din ecuatiile si , se pot determina miscarile relative ale sistemelor de referinta mobile. Astfel, miscarea relativa a sculei, fata de spatiul asociat semifabricatului, este

.

Miscarea semifabricatului in spatiul sculei este descrisa de

.

Se poate considera ca, semifabricatul are in sistemul de referinta propriu ecuatiile:

Forma particulara a conditiei de infasurare devine

.

Ca si in cazurile precedente, suprafata de angrenare poate fi determinata de sistemul de ecuatii:

Nota

Teorema GOHMAN, bazata pe cinematica relativa a suprafetelor in infasurare, da o exprimare mai simpla a conditiilor de infasurare. Metoda este universala prin caracterul sau de aplicabilitate si simplifica substantial calculele, dar, conduce la manipularea unor ecuatii matriceale cu multi termeni.

1.1.7. Metoda normalelor

Problema profilarii sculelor de tip cremaliera, cutit‑roata sau cutit rotativ poate fi privita si ca o problema de infasurare plana intre profilurile obtinute prin intersectia suprafetelor in infasurare cu un plan perpendicular pe axele de rotatie ale celor doua suprafete [72], [124].

In acest mod, profilarea sculelor se reduce la o problema de angrenare plana, determinarea curbelor in infasurare putandu‑se face si pe baza teoremei normalelor (cunoscuta si ca teorema Willis (1843)), teorema ce determina conditiile ce trebuiesc indeplinite de profilurile conjugate in conditiile miscarilor relative ale centroidelor asociate acestora.

Considerand doua profiluri in infasurare ale caror centroide asociate sunt tangente in punctul P si care executa miscari de rotatie in jurul axelor O₁ si O₂ cu vitezele unghiulare w si, respectiv, w . Intre cele doua viteze relative se stabileste raportul de transmitere

.

Este evident ca viteza relativa a punctelor B₁ si B₂ va avea ca directie tangenta comuna la curbele C₁ si C₂ in punctul de contact. Ca urmare, raza instantanee de rotatie are directia normalei comune la cele doua profiluri conjugate -dreapta n‑n (vezi fig. 1.16).

Metoda are aplicatii in profilarea sculelor de tip cremaliera, cutit‑roata (fig. 1.16.a) si cutit rotativ (fig. 1.16.b) [68], [69] [73], [75], [96], [122], [123], [143].

Profilarea sculelor in cazul in care centroida semifabricatului este cerc

In figura 1.17, sunt reprezentate sistemele de referinta asociate sculei si semifabricatului precum si centroidele asociate celor doua profiluri si miscarile pe care acestea le executa:

xyz este sistemul de referinta fix;

x₀y₀z₀ -sistem de referinta fix, cu axa z₀ suprapusa axei de rotatie a sculei;

XYZ -sistem de referinta mobil, solidar cu semifabricatul si avand la momentul initial axele X, Y si Z suprapuse axelor x, y si respectiv z ale sistemului de referinta fix;

xhz -sistem de referinta mobil, solidar cu scula cremaliera si avand la momentul initial axa  suprapusa axei x a sistemului de referinta fix.

In sistemul de referinta XYZ, se poate defini curba C_S prin ecuatiile parametrice de forma

Miscarile absolute si relative intre sistemele de referinta precizate sunt cele date de ecuatiile si

In principiu, ecuatiile normalei la curba C_S data de , in punctul M[X(u), Y(u)], vor avea forma

.

In conformitate cu teorema Willis, cele doua profiluri C_S -profilul piesei de generat, si C_S -profilul sculei generatoare, admit in punctul de contact o normala comuna ce trece prin polul angrenarii. Avand in vedere ca polul angrenarii este punctul de tangenta intre cele doua centroide in rulare si ca pozitia acestui punct este determinata de intersectia cercului de rulare al semifabricatului cu axa x a sistemului de referinta fix, apare ca evident faptul ca satisfacerea teoremei Willis presupune urmatoarele doua conditii:

normala in orice punct al curbei C_S sa intersecteze cercul de rulare al semifabricatului (cercul de raza R_rp), fie T punctul de intersectie;

unghiul j (vezi fig. 1.8) sa fie unghiul de rotire al semifabricatului pentru care normala la curba C_S in punctul M trece prin polul angrenarii.

Avand in vedere cele de mai sus si scriind ecuatiile parametrice ale cercului de raza R_rp (cercul de rulare al semifabricatului) in sistemul de referinta mobil XYZ,

se poate determina analitic intersectia acestui cerc cu dreapta , obtinandu‑se ecuatia

,

din care se poate determina parametrul j sub forma , sau dezvoltat,

.

Conditia reprezinta conditia de infasurare, care, asociata ecuatiilor familiei de curbe generata in miscarea , determina curba C_S -muchia aschietoare a sculei.

Linia de angrenare este definita ca loc geometric de contact intre curbele C_S  si C_S in sistemul de referinta fix si este determinata de ecuatiile

Profilarea sculelor in cazul in care centroida semifabricatului este o dreapta

In acest caz, centroida semifabricatului este o dreapta in timp ce centroida sculei este un cerc cu raza R_rs. Se definesc sistemele de referinta:

xyz ca fiind sistem de referinta fix, cu axa z suprapusa axei de rotatie a sculei;

XYZ -sistem de referinta mobil avand la momentul initial axa X suprapusa axei x;

xhz -sistem de referinta mobil solidar cu scula avand la momentul initial axele suprapuse axelor sistemului fix xyz.

Intre miscarile celor doua centroide apare relatia

determinata de conditia de rulare.

Ca si in cazurile precedente se scriu ecuatiile centroidei piesei si normalei la curba C_S

Avand in vedere ca centroida piesei este o dreapta suprapusa axei Y ecuatia sa va fi

, (l -variabil),        

Ecuatia normalei la curba C_S este

.

Din ecuatiile si , se pot determina coordonatele punctului T de intersectie intre centroida piesei si normala la profil

Din , avand in vedere si , se determina conditia de infasurare in forma specifica

.

Intre sistemul de referinta fix si sistemele de referinta mobile, se pot scrie miscarile absolute:

,

reprezentand miscarea absoluta a sculei in sistemul fix si

,

miscarea absoluta a piesei in sistemul fix, avand in vedere notatia .

Din ecuatiile de miscare si , se pot determina miscarile relative ale sculei si piesei.

Miscarea relativa a piesei in sistemul de referinta al sculei va fi

,

iar miscarea sculei in spatiul piesei va fi data de

.

Ecuatia determina o familie de curbe de tipul

Ansamblul ecuatiilor si reprezinta infasuratoarea familiei de curbe adica muchia aschietoare a cutitului rotativ.

Similar cu cele prezentate anterior, linia de angrenare este definita de ecuatiile

Nota

Desi metoda normalelor conduce la o forma mai simpla a conditiei de infasurare prezinta limite de aplicare datorita faptului ca este aplicabila numai in studiul angrenajului plan.

1.1.8. Metoda "distantei minime"

Metoda "distantei minime" reprezinta o metoda geometrica pentru studiul suprafetelor in infasurare bazata o teorema specifica [113], [124], [128], [131].

Infasuratoarea unei familii de curbe plane ce executa o miscare solidara cu un cuplu de centroide in rulare este locul geometric al punctelor apartinand familiei pentru care, in diferitele pozitii de rulare, distanta la polul angrenarii este minima.

Profilarea sculelor de tip cremaliera

Admitandu‑se cunoscuta curba C_S prin ecuatiile parametrice

cu u parametru variabil, precum si miscarea relativa a acesteia in sistemul de referinta propriu XYZ sub forma

,

cu .

In acest caz, familia de profiluri va avea ecuatiile, vezi

Distanta de la punctul curent de pe curba C_S la polul angrenarii este

In conformitate cu teorema anterioara, conditia de infasurare devine

.

Ansamblul ecuatiilor si determina profilul sculei‑cremaliera.

Profilarea sculelor de tip cutit‑roata

Similar, in cazul generarii cu cutit‑roata, se admite curba C_S ca fiind cunoscuta prin ecuatii de tipul . Miscarile relative intre sistemele de referinta mobile XYZ si xhz sunt

,

reprezentand miscarea semifabricatului in sistemul de referinta al sculei si

,

adica miscarea sculei in spatiul piesei.

Definitiile raportului de transmitere si distantei intre centrele centroidelor sunt cele de la punctul 4.2 (vezi ecuatiile si

Conform teoremei distantei minime, conditia de minim a distantei de la punctul curent la polul angrenarii reprezinta conditia de infasurare. Distanta respectiva este data de ecuatia geometrica

.

Prin derivarea ecuatiei , se obtine conditia de infasurare specifica

.

Nota

In ecuatiile anterioare, semnul "-" se refera la contactul exterior.

Profilarea sculelor de tip cutit rotativ

Generarea este similara cu cazul sculei cremaliera, profilul de generat fiind determinat de ecuatiile

Miscarea relativa a piesei in spatiul sculei este data de

.

Distanta de la un punct curent de pe profil pana la polul angrenarii este

.

Conditia de infasurare se obtine prin derivarea acestei ecuatii, obtinandu‑se

Profilul cutitului rotativ se obtine asociind ecuatiilor ce determina familia de profiluri , conditia de infasurare , obtinandu‑se infasuratoarea acestei familii de profiluri.

Metoda "distantei minime" are caracter general si prezinta avantajul ca poate fi aplicata atat pentru profiluri cunoscute analitic cat si pentru cele cunoscute prin intermediul coordonatelor punctelor apartinand profilului.

1.1.9. Metoda "familiei de cercuri de substituire"

Reprezinta o metoda de studiu a suprafetelor reciproc infasuratoare asociate unor axoide in rulare, care face apel la un nou principiu - familia de suprafete (curbe) de substituire [108], [109], [128], [132].

Familia de "cercuri de substituire" a unei curbe, asociata unei centroide, reprezinta  familia de cercuri tangente curbei si avand centrele pe centroida asociata

Metoda se bazeaza pe urmatoarea teorema:

Infasuratoarea unei curbe asociata unui cuplu de centroide in rulare este familia de cercuri de substituire transpusa in miscarea de rulare pe centroida conjugata (figura 1.18).

Familia de cercuri de substituire are ecuatiile:

Conditia de infasurare va fi, in acest caz:

,

cu si .

Profilarea sculei‑cremaliera

Profilul sculei-cremaliera rezulta prin transpunerea in miscare de rulare a familiei de cercuri de substituire in sistemul de referinta al cremalierei:

Profilarea sculei cutit‑roata

In mod similar, se trateaza si problema generarii cu cutite-roata. In figura 1.20, sunt prezentate sistemele de referinta, profilul de generat S si familia de cercuri de substituire (C)_r.

Familia de cercuri de substituire, transpusa pe centroida C₂ a cutitului‑roata va avea ecuatiile:

reprezentand profilul sculei de tip cutit‑roata.

Metoda "familiei cercurilor de substituire" este aplicabila pentru totalitatea problematicii de profilare a sculelor ce lucreaza prin infasurare si, permitand o exprimare grafica sugestiva, favorizeaza evitarea erorilor grosolane. In figura 1.21 si 1.22 sunt date exemple de aplicare ale acestei metode la profilarea sculelor de tip cremaliera si cutit‑roata [126].

1.1.10. Metoda tangentelor

Metoda se bazeaza pe o exprimare discreta a spatiului asociat sculei, introducand notiunea de nor de puncte asociat spatiului [129], [130], [131].

Se accepta un mod de reprezentare a spatiului asociat sculei, ca in figura 1.21, spatiul ξη, in care se presupun cunoscute (determinabile) un numar suficient de mare, dar finit, de puncte care formeaza ceea ce se poate numi nor de puncte.

Acestui mod de considerare a spatiului ii corespunde reprezentarea matriceala de forma:

.

Evident, un caz particular al acestui mod de reprezentare a spatiului il reprezinta ceea ce vom conveni a denumi un nor ordonat de puncte, in care distributia punctelor norului se face in baza unei legitati, punctele formand o matrice cu distributii ale punctelor de tipul:

in care Δ si reprezinta marimi incrementale, suficient de mici, pentru o acoperire a spatiului considerat, in concordanta cu precizia dorita a rezolvarii problemelor suprafetelor in infasurare.

Se enunta teorema:

Infasuratoarea unui profil, asociat uneia dintre centroidele unui cuplu de centroide in rulare, este locul geometric al punctelor apartinand spatiului centroidei conjugate, pentru care, traiectoriile generate in miscarea de rulare au tangenta comuna cu profilul dat

Conditia de identificare pentru generarea cu scula‑cremaliera

Un punct oarecare al norului de puncte M_ij(x_ij h_ij asociat spatiului xh in miscarea relativa fata de sistemul mobil XY,

cu , descrie o traiectorie definita de ecuatiile

Conditia ca punctul M_ij(x_ij h_ij apartinand norului de puncte sa apartina totodata si unei traiectorii T care sa aiba un singur punct de contact cu profilul S, conduce la ecuatiile de identificare:

vezi si fig. 1.22.

Ansamblul ecuatiilor simultan indeplinite reprezinta conditia ca punctul (x_ij h_ij sa apartina infasuratoarei profilului S

Metoda traiectoriilor se bazeaza pe determinarea conditiei de infasurare prin identificarea traiectoriilor punctelor din spatiul sculei, tangente la profilul de generat. In figura 1.23 se prezinta un exemplu de aplicare a acestei metode la generarea unui profil cu scula cremaliera.

1.1.11. Metoda geometrica

Metoda este dezvoltata la Universitatea Politehnica Bucuresti (2004), de catre doamna Ilie Silvia in cadrul tezei de doctorat indrumata de catre domnul profesor dr. ing. Minciu Constantin [59].

Metoda se bazeaza pe determinarea coordonatelor momentane ale punctului caracteristic, fapt ce permite scrierea ecuatiilor curbei conjugate profilului de generat.

Se definesc urmatoarele sisteme de referinta:

xO_Sy este sistemul de referinta solidar cu scula;

XO_pY -sistem de referinta fix;

X₁O_p1Y₁ -sistem de referinta mobil solidar cu piesa.

Profilul de generat (C) asociat centroidei (B) este conjugat cu profilul (m) asociat centroidei (R).

La momentul initial originile sistemelor de referinta sunt suprapuse in polul angrenarii P. Dupa un interval de timp, dupa o rotire de unghi de rulare j, sistemul de referinta mobil ajunge cu originea in O_S1, deplasat cu

,

iar profilul C ajunge in C₁.

Datorita faptului ca cele doua profiluri ruleaza fara alunecare se poate scrie relatia

In aceasta pozitie, punctul caracteristic S₁ se gaseste pe normala la profilul C₁ care trece prin polul angrenarii P, punct care apartine si profilului conjugat (m₁), reprezentand muchia sculei aschietoare.

In fig. 1.24 este reprezentat un profil neevolventic compus pentru care a fost aplicata aceasta metoda, obtinandu‑se profilul sculei‑cremaliera reprezentat in figura 1.25

Daca se admite ca familia de curbe C(j este data de relatia

,

atunci ecuatia profilului conjugat (m) va fi

In functie de forma expresiilor matematice ale ecuatiilor , parametrul j poate fi eliminat sau nu, obtinandu‑se corespunzator ecuatiile infasuratoarei in forma implicita sau parametrica.

1.1.12. Metoda "modelarii solide"

Metoda este dezvoltata la Universitatea "Dunarea de Jos" din Galati (2002), de catre domnul profesor  Ioan Baicu in cadrul tezei de doctorat indrumata de catre domnul profesor dr. ing. Nicolae Oancea [7].

Daca suprafata periferica primara a sculelor este dificil a fi exprimata analitic, datorita complexitatii ecuatiilor care le-ar descrie (ecuatii transcendente) aceasta poate fi descrisa in forma discreta, permitand utilizarea metodei modelarii pentru profilarea sculelor generatoare [7], [8], [9], [11], [12], [16].

Problematica procesului de modelare se refera, in cele ce urmeaza, la doua situatii cunoscute: generarea cu scula‑cremaliera si generarea cu cutite-roata.

Prin masurarea directa a profilului transversal al sculei, coordonatele obtinute determina un profil efectiv masurat in forma

,

cu n suficient de mare, pentru o descriere exacta a profilului efectiv.

Prin extrudarea profilului C_Se in directia generatoarelor ale sculei‑cremaliera, se modeleaza solidul cremalierei efective - S_e. Inaltimea solidului S_e (h) nu este semnificativa pentru procesul de modelare geometrica.

Miscarea relativa a unui punct oarecare al solidului S_e, fie M_i[x_i h_i acesta, fata de sistemul de referinta al semifabricatului (XYZ) este data de

cu .

Primitivul S_e este "scazut" din cilindrul asociat spatiului XYZ rezultand solidul suprafetei efectiv generata S_Se

Sectiunea plana transversala (perpendiculara pe axa Z) determina profilul modelat al suprafetei S - C_Se

,

profil modelat geometric, depinzand de eroarea profilului efectiv al sculei‑cremaliera.

Compararea profilului C_Se (profil modelat) cu profilul C_S (teoretic) al vartejului de suprafete de generat permite determinarea marimii erorii de generare (eroarea geometrica) si, pe aceasta cale, elaborarea deciziei de corectie a sculei sau de utilizare a acesteia in aceasta forma.

In mod absolut similar, tinand seama de cinematica procesului, se procedeaza si pentru modelarea generarii geometrice cu cutite-roata.

In figura 1.27, sunt reprezentate modelele solide ale unui burghiu elicoidal si ale bacului de rulare care genereaza canalele acestui burghiu [6], [14].