Procesul de esantionare

1.1      Procesul de esantionare ideala

Fie f(t) o functie de timp ce este esantionata cu un esantionator ideal. Fie T perioada de esantionare. Iesirea esantionatorului ideal, f*(t), este un tren de impulsuri cu amplitudinea egala cu cea a semnalului de intrare la momentele de esantionare. Notam cu

un tren de impulsuri unitare, unde

Esantionatorul ideal este un contact care se inchide la fiecare T secunde pentru o durata de timp 0. Iesirea esantionatorului ideal este

unde esantionarea a inceput la momentul t = 0. Transformata Laplace a functiei este 1, iar Tansformata Laplace a functiei este e^-kTs. Transformata Laplace a functiei f*(t) este

Semanlele de intrare, trenul de impulsuri unitare si de iesire ale esantionatorului ideal sunt cele din Figura 11, Figura 12 si Figura 13.

Figura 11 . Semnalul de intrare in esantionatorul ideal.

Figura 12 . Trenul de impulsuri unitare.

Figura 13 . Semnalul de iesire al esantionatorului ideal.

Fie F(s) transformata Laplace a functiei f(t) si P(s) transformata Laplace a functiei .

pentru .

Deoarece f*(t) este produsul a doua functii de timp

transformata Laplace a functiei f*(t) se poate calcula ca

unde c este abscisa de convergenta a integralei. Integrala se poate calcula cu teorema reziduurilor. Pentru aceasta trebuie sa calculam polii functiilor si .

Figura 14 . Integralele de contur pentru calculul functiei F*(s).

Polii functiei sunt situati in semiplanul stang. Polii functiei sunt simplii, in numar infinit, si au valorile

,      

unde T este perioada de esantionare, iar este pulsatia de esantionare in rad/s. Distributiile tipice ale acestor poli sunt cele din Figura 14.

Vom calcula integrala separat pe contururile si . Daca

atunci integralele pe semicercurile cu raze infinite din contururile si sunt nule. Integrala pe conturul se calculeaza astfel.

Termenul are urmatoarea explicatie. Daca functia f(t) este discontinua, transformata Laplace inversa are ca rezultat in punctele de discontinuitate media valorilor laterale ale functiei in acele puncte. In definitia functiei f*(t), daca functia f(t) este discontinua in punctele de esantionare, functia f*(t) are ca valoare limita din dreapta a functiei f(t) ce se esantioneaza. In formula s-a pus in evidenta termenul deoarece sunt cazuri cand functia f(t) este discontinua in origine.

Integrala pe conturul se calculeaza astfel. Fie

Presupunem pentru simplitate ca polii functiei sunt simpli. Fie

unde este un pol al functiei , n = 1, 2, ., k.

Exemple. Fie functia treapta unitara f(t) = 1(t) esantionata la intervale egale cu T. Iesirea esantionatorului ideal este

Transformata Laplace a functiei, F*(s) este

, pentru

Sa calculam F*(s) pe conturul . deci N(s) = 1, D'(s) = 1, deci

1.2      Teorema esantionarii

Fie functia de intrare f(t) ce este esantionata cu perioada T. Presupunem ca cea mai mare pulsatie continuta in f(t) este . Spectrul functiei de intrare f(t) este cel din Figura 15.

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

Figura 15 . Spectrul functiei de intare f(t).

Spectrul functiei esantionate f*(t) este cel din Figura 16.

Figura 16 . Spectrul functiei esantionate f*(t).

Esantionatorul ideal reproduce la iesire spectrul semnalului continuu de la intrare si componentele sale repetate la multiplii pulsatiei de esantionare. Componentele au amplitudinea 1/T. Dupa cum se vede din Figura 16, daca pulsatia de esantionare , semnalul continuu f(t) poate fi refacut din cel esantionat f*(t) cu ajutorul unui filtru trece-jos. Teorema esantionarii spune ca un semnal continuu ce nu contine pulsatii mai mari ca rad/s, este complet caracterizat de valorile semnalului masurate la instante de timp separate de secunde.

1.3      Refacerea semnalelor esantionate

In general, componentele sistemelor de conducere sunt actionate de semnale continue. In consecinta, intre componentele numerice si cele anologice se introduce un dispozitiv de refacere a datelor. Cel mai obisnuit circuit de refacere a semnalelor analogice este dispozitivul de retinere.

Fie un dispozitiv de esantionare ideal care esantioneaza cu o pulsatie , a carui caracteristica spectru frecventa este cea din Figura 17. Din figura se vede ca semnalul terbuie filtrate cu un filtru trece-jos ideal ca cel din Figura 18.

Figura 17 . Refacerea semnalelor analogice cu un filtru trece-jos.

Figura 18 . Caracteristica amplitudine a unui filtru ideal.

Un filtru trece-jos ideal nu este fizic realizabil. Chiar daca s-ar putea realize un asemenea filtru, presupunerea ca semnalul continuu este de banda limitata nu este totdeauna indeplinita. Pentru aplicatiile practice este deci imposibila o refacere a semnalului continuu dupa ce a fost esantionat. Refacerea semnalului esantionat se face prin aproximarea functiei de timp originale.

La refacerea semnalului avem esantioanele f(0), f(T), ., f(kT). O metoda ce se poate utilize pentru refacerea valorilor semnalului intre momentele de esantionare, kT si (k+1)T este aceea a dezvoltarii in serie. Fie

f_k(t) = f(t) pentru kT <= t < (k+1)T

Pentru a evalua derivate din formula de mai sus avem disponibile doar valorile functiei f(t) in momentele de esantionare. Este posibil sa estimam derivatele prin diferente finite, de exemplu derivate de ordin intai

Deoarece aproximarea derivatelor de ordin superior duce la circuite complexe, de obicei se utilizeaza aproximarea

f_k(t) = f(t) pentru kT <= t < (k+1)T

care se numeste extrapolator de ordin zero. El mentine valoarea esantionata pe timpul perioadei de esantionare, pana la urmatorul esantion. Pentru a deduce functia de transfer a extrapolatorului de ordin zero vom considera raspunsul sau la impuls din

Figura 19. Impuls unitar si raspunsul la impuls unitar al extrapolatorului de ordin zero.

Notam cu 1(t) functia treapta unitara, si raspunsul la impuls al extrapolatorului este

y(t) = 1(t) - 1(t-T)

Functia de transfer a extrapolatorului de ordin zero va fi

Intrarea intr-un element de extrapolare este cea din Figura 20.

Figura 20 . Semnalul de intrare in extrapolator.

Iesirea extrapolatorului este cea din Figura 21.

Figura 21 . Iesirea extrapolatorului.

Pentru a determina caracteristicile de amplitudine si faza ale ale extrapolatorului, vom inlocui in functia sa de transfer H₀(s) pe s cu si obtinem

care se poate rescrie

sau

Deoarece perioada de esantionare T este

putem scrie

Caracteristica amplitudine a extrapolatorului este cea din Figura 22, iar cea de faza din Figura 23.

Figura 22 . Caracteristica amplitudine a extrapolatorului de ordin zero

Figura 23 . Caracteristica de faza a extrapolatorului de ordin zero.

1.4      Transformata Z

Pentru analiza si proiectarea sistemelor de reglare discrete se utilizeaza transformata Z. Ea are un rol similar celui al transformatei Laplace pentru sistemele continue.

Fie f(t) o functie de timp ce este esantionata cu un esantionator ideal. Fie T perioada de esantionare. Iesirea esantionatorului ideal, f*(t), este un tren de impulsuri cu amplitudinea egala cu cea a semnalului de intrare la momentele de esantionare. Transformata Laplace a functiei f*(t) este

Functia F*(s) nu este rationala din cauza factorului si este dificil de a calcula transformata Laplace inversa. Functia F*(s) se poate transforma intr-o functie rationala cu transformarea

Din aceasta relatie deducem

Reamintim ca T este perioada de esantionare, iar z este o variabila complexa pentru care

cu

Transformata Z a functiei f(t), notata F(z) se defineste ca

O metoda de calcul a transformatei Z este aceea de a face substitutia in expresia functiei F*(s).

O alta metoda este urmatoarea. Fie

Presupunem pentru simplitate ca polii functiei sunt simpli. Fie

unde este un pol al functiei , n = 1, 2, ., k. Am aratat ca

Atunci transformata Z are expresia

Deoarece transformata Z a functiei f(t) se obtine din transformata Laplace a functiei f*(t), vom considera ca orice functie care are o transformata Laplace are si transformata Z.

Exemplu. Fie functia treapta unitara f(t) = 1(t) esantionata la intervale egale cu T. Dupa cm am aratat, transformata Laplace a functiei esantionate f*(t) este

si este convergenta pentru

Cu substitutia obtinem

pentru sau |z| > 1. Acelasi rezultat se obtine cu a doua metoda. Deoarece transformata Laplace a functiei 1(t) este 1/s, care are un pol simplu la s = 0. Avem N(s) = 1, D(s) = s si D'(s) = 1. Transformata Z a functiei va fi

Exemplu. Fie functia unde a este o constanta reala. Transformata Z a acestei functii este

Aceasta serie este convergenta pentru

de unde obtinem

Cu a doua metoda se procedeaza astfel. Transformata Laplace a functiei f(t) este

care are un pol simplu la s = -a. Avem N(s) = 1, D(s) = s + a si D'(s) = 1. Transformata Z functiei va fi

1.5      Teoremele transformatei Z

daca si f au transformatele Z si , atunci:

unde a este o constanta.

daca are transformata Z , atunci

daca are transformata Z , atunci

daca are transformata Z , si daca limita exista, atunci

daca are transformata Z , si daca functia nu are poli pe cercul unitar sau in afara lui, atunci

daca si f au transformatele Z si si pentru t < 0, atunci

1.6      Functiile de transfer ale sistemelor discrete

Fie sistemul continuu din Figura 27 cu intrarea u(t) si iesirea y(t).

Figura 27 . Sistem liniar cu intrare continua.

Sistemul este descris de functia de transfer

Fie acelasi sistem cu intrarea o functie esntionata u*(t) din Figura 28

Figura 28 . Sistem liniar cu intrare esantionata.

Iesirea Y(s) a sistemului din Figura 28 este

Vrem sa calculam transformata Z a iesirii sistemului, Y(z). Pentru aceasta consideram un esantionator fictive la iesire si procedam astfel

Utilizam proprietatea de periodicitate a functiei U*(s) si obtinem

Definim functia de transfer esantionata

si avem

sau, cu transformarea,

Y(z) = H(z) U(z)

Fie acum doua elemente continue cu functiile de transfer H₁(s) si H₂(s), conectate in serie separate de un element de esantionare, ca in Figura 29.

Figura 29 . Elemente in serie separate de un element de esantionare.

Avem in acest caz

si

de unde se deduce

In cazul cand sistemul contine elemente conectate in serie, neseparate de un element de esantionare, ca in Figura 30 avem

Figura 30 . Sistem cu elemente serie.

unde s-a notat

1.7      Functia de transfer a exptrapolatorului de ordin zero

Functia de transfer a extrapolatorului de ordin zero este

Transformata Z a acestei functii de transfer este

In general, extrapolatorul de ordin zero este urmat de un bloc continuu, ca in Figura 31.

Figura 31 . Sistem cu esantionator.

In acest caz, transformata Z a iesirii va fi

Functia de transfer corespunzatoare va fi

Exemplu. Fie functia de transfer H(s) a sistemului din Figura 31

Functia de transfer G(z) va fi

1.8      Chestiuni de studiat

1.     Sa se determine tansformata Laplace si transformata Z a functiei treapta unitara esantionata cu perioada T.

2.     Sa se determine tansformata Laplace si transformata Z a functiei f(t) = sin ωt esantionata cu perioada T.

3.     Sa se determine tansformata Laplace si transformata Z a functiei f(t) = e^-at esantionata cu perioada T, unde a > 0 este o constanta.