Modelarea sistemelor mecanice

Modelarea sistemelor mecanice

Miscarea elementelor mecanice poate fi de translatie, rotatie sau o combinatie a celor doua.

1.1.1     Miscarea de translatie

Variabilele utilizate in miscarea de translatie sunt acceleratia, viteza si deplasarea. Fie M masa unui corp si a acceleratia lui. Legea lui Newton in cazul miscarii de translatie este

Suma algebrica a fortelor F_i ce actioneaza asupra unui corp rigid este egala cu produsul dintre masa corpului si acceleratia sa

In general, sistemele mecanice sunt compuse din corpuri de masa M si resorturi liniare, supuse la forte si frecare.

Masa unui corp este data de relatia

unde G este greutatea corpului si g este acceleratia gravitationala. Fie sistemul forta - masa din Figura 33.

Figura 33 . Sistem forta - masa.

Ecuatia ce descrie miscarea corpului este

Unitatile de masura in sistemul SI pentru masa, forta, acceleratie in sistemul SI sunt cele din Tabelul 6.

Tabelul 6 . Unitatile de masura pentru forta, masa, acceleratie in sistemul SI.

Resort liniar. Sistemul forta - resort este reprezentat in Figura 34. In general, un resort este un element ce inmagazineaza energie potentiala. In practica, toate resorturile sunt neliniare. Pentru deformatii mici, comportarea resortului este data de relatia liniara

F(t) = K y(t)

unde K este constanta resortului. Unitatea de masura a constantei resortului K in sistemul SI este N/m.

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

Figura 34 . Sistem forta - resort.

Miscarea de translatie cu frecare. Fortele de frecare exista ori de cate ori exista o tendinta de miscare intre doua corpuri. Fortele de frecare in sistemele fizice sunt de obicei neliniare. Caracteristicile fortelor de frecare intre doua suprafete de contact depind de multi factori, de exemplu presiunea intre suprafete, viteza relativa, etc., asfel incat descrierea matematica exacta a frecarii este complicata. Exista trei tipuri de frecare utilizate in practica: frecare vascoasa, frecare statica si frecare Coulomb.

o      Frecarea vascoasa reprezinta o forta in sensul contrar miscarii care este o relatie liniara intre forta aplicata si viteza. Ea este reprezentata ca in Figura 35. Expresia matematica a frecarii vascoase este

unde B este coeficientul de frecare vascoasa. Unitatea de masura a constantei B in sistemul SI este N /m /s

Figura 35 . Frecarea vascoasa.

o      Frecarea statica reprezinta a forta care tinde sa se opuna miscarii la inceput. Forta de frecare statica este reprezentata de expresia
 
Ea exista doar cand corpul este in stare stationara si are tendinta de a se deplasa. Odata ce miscarea incepe, forta statica de frecare dispare si este inlocuita de alte forte de frecare.

o      Frecarea Coulomb este o forta care are o amplitudine constanta in raport cu schimbarea vitezei, dar semnul acestei forte de frecare se schimba la inversarea directiei vitezei. Expresia matematica a fortei de frecare Coulomb este data de relatia

unde F_c este coeficientul de frecare Coulomb.

Relatiile functionale ale celor trei tipuri de frecari sunt aratate in Figura 36.

Figura 36 . Relatiile functionale ale fortelor de frecare. a) Frecare vascoasa, b) Frecare statica,

c) Frecare Coulomb.

1.1.2     Miscarea de rotatie

Vom considera miscarea de rotatie a unui corp in jurul unei axe fixe. Legea lui Newton in cazul miscarii de rotatie este

Suma algebrica a momentelor fortelor este egala cu produsul dintre momentul de inertie si acceleratia unghiulara fata de axa. In continuare vom nota cu viteza unghiulara, cu unghiul (deplasarea unghiulara) si cu T momentul fortei si cu J momentul de inertie.

Momentul de inertie J este o proprietate a unui corp ce inmagazineaza energie cinetica in miscarea de rotatie. El depinde de forma geometrica a corpului. In cazul unui disc circular, momentul de inertie fata de axa sa de rotatie este

unde M este masa discului si r raza lui.

Ecuatia de miscare a sistemului cuplu moment de inertie din Figura 37 in care se aplica un cuplu T(t) unui corp cu momentul de inertie J este

Figura 37 . Sistem cuplu - moment de inertie.

Unitatile de masura in sistemul SI pentru momentul de inertie, cuplu si deplasare unghiulara sunt cele din Tabelul 7.

Tabelul 7 . Unitatile de masura pentru momentul de inertie, cuplu si deplasare unghiulara in sistemul SI.

Viteza unghiulara se masoara in rad/s. Uneori viteza unghiulara se masoara in rotatii pe minut, rpm. Conversia intre rpm si rad/s este

Resortul torsional. Fie sistemul din Figura 38 in care un resort este supus unui cuplu.

Figura 38 . Sistem cuplu - resort torsional.

Relatia intre cuplu si deplasarea unghiulara este

unde K este constanta torsionala a resortului. Ea se masoara in Nm/rad.

Miscarea de rotatie cu frecare. Ca si in cazul miscarii de translatie, exista trei tipuri de frecare si in cazul miscarii de rotatie:

o      Frecarea vascoasa, descrisa de relatia

unde B este coeficientul de frecare vascoasa. Unitatea de masura a constantei B in sistemul SI este N/rad/s

o      Frecarea statica, descrisa de ecuatia
 

o      Frecarea Coulomb, descrisa de relatia