Sisteme de referinta GPS

Sisteme de referinta GPS

1 Introducere

Consideram ecuatia de baza a observatiilor, care da distanta topocentrica a satelitului , in functie de vectorul de pozitie geocentrica a satelitului si de vectorul de pozitie geocentrica a statiei :

                           (1)

In ecuatia (1), ambii vectori trebuie exprimati in acelasi sistem de coordonate. Definirea unui sistem cartezian tridimensional necesita o conventie pentru orientarea axelor si pentru pozitia originii.

Pentru aplicatiile specifice geodeziei satelitare, sistemele de coordonate ecuatoriale sunt cele mai potrivite, originea fiind aleasa in centrul de masa al Pamantului (geoentru); doua dintre axele de coordonate (X₁, X₂) sunt continute in planul ecuatorului terestru, cea de-a treia (X₃) fiind dirijata dupa axa polilor.

Conform figurii 1, in functie de orientarea axei X₁, pot fi definite doua sisteme rectangulare ecuatoriale:

un sistem notat (i=1,2,3), legat de bolta cereasca, la care axa este dirijata catre punctul vernal; acest sistem este inertial si de obicei este denumit sistem stelar;

un sistem notat (i=1,2,3), legat de Pamant, la care axa X₁ este dirijata in planul meridianului Greenwich; acest sistem poate fi considerat fix si este denumit sistem terestru.

Vectorul de rotatie a Pamantului joaca rolul axei in ambele cazuri, iar axa este ortogonala pe axele si , cu sensul astfel ales incat sa rezulte sisteme de coordonate orientate dreapta.

Un sistem de coordonate a carui origine este amplasata in baricentru este in repaus fata de sistemul solar si astfel conform cu mecanica newtoniana. Trebuie avut in vedere totusi ca, intr-un sistem geocentric, acceleratiile sunt permanent prezente deoarece Pamantul orbiteaza in jurul Soarelui. Intr-un astfel de sistem, legile relativitatii generale trebuie luate in considerare. Intrucat efectul relativistic principal este produs de campul gravitational terestru, sistemul geocentric este convenabil pentru descrierea miscarii unui satelit apropiat de Pamant. Este de remarcat faptul ca axele sistemului de coordonate geocentric raman paralele deoarece miscarea Pamantului in jurul Soarelui este descrisa prin revolutie fara rotatie.

Vectorul de rotatie a Pamantului, notat cu , oscileaza datorita mai multor cauze. Ecuatiile diferentiale de baza ce descriu oscilatiile apartin mecanicii clasice si sunt date de:

(2)

, (3)

unde este vectorul torsiune iar vectorul de moment unghiular al Pamantului. Simbolul '' indica un produs vectorial. Torsiunea este produsa, in primul rand, de fortele gravitationale (de atractie) ale Soarelui si Lunii, prin urmare este strans legata de potentialul mareic. Ecuatia (2) da torsiunea intr-un sistem (cvasi-)inertial, ca de exemplu , iar (3) da torsiunea in sistemul rotit . Derivatele partiale exprima variatia temporala a lui in sistemul terestru iar produsul vectorial considera rotatia acestui sistem in raport cu sistemul inertial. Vectorul de rotatie a Pamantului este legat de vectorul de moment unghiular prin tensorul inertie :

. (4)

Consideram vectorul exprimat functie de versorul sau si norma :

(5)

Figura 1. Sistemele de coordonate ecuatoriale

Ecuatiile diferentiale (2) si (3) pot fi separate in cate doua parti. Oscilatiile lui sunt responsabile de variatiile axei si vor fi tratate la punctul 2.1. Oscilatiile normei determina modificari ale vitezei de rotatie, care sunt tratate in capitolul referitor la sistemele de timp.

Considerarea doar a partii omogene () a ecuatiilor (2) si (3) conduce la oscilatii libere. Partea neomogena da oscilatii fortate. In ambele cazuri, oscilatiile pot fi exprimate in sistemul inertial sau in cel terestru. O posibilitate de rezolvare in viitor se bazeaza pe utilizarea tensorului inertiei. Pentru un Pamant rigid si neglijand deplasarea masei interne, acest tensor este constant, dar nu acelasi lucru se intampla pentru un Pamant deformabil.

2 Sisteme de coordonate

2.1 Definitii

Oscilatiile axelor. Oscilatia lui in raport cu spatiul inertial se numeste nutatie. Pentru comoditatea calculelor, efectul este partitionat in precesie seculara si nutatie periodica. Aceeasi oscilatie, in raport cu sistemul terestru, se numeste miscare polara. O reprezentare simplificata a miscarii polare este data in figura 2. (sfera polara este considerata de raza 1). Imaginea pozitiei mijlocii a lui este notata cu P. Oscilatia libera se manifesta ca o miscare a axei de rotatie de-a lungul unui con circular; pozitia sa mijlocie coincide cu axa acestui con, care are o deschidere unghiulara de aproape . Pe sfera de raza unitara, aceasta miscare este reprezentata printr-un cerc cu raza de 6m si centrul in P. Imaginea unei pozitii instantanee a oscilatiei libere a axei de rotatie a Pamantului este notata cu R₀. Perioada miscarii libere este de aproximativ 430 zile si este cunoscuta sub numele de perioada Chandler. Miscarea fortata se datoreaza deformatiilor mareice (efectul atractiilor altor corpuri ceresti) si poate fi de asemenea descrisa printr-un con. Acest con este reprezentat printr-un cerc avand centrul in R₀, raza sa fiind de aproximativ 0,5m. Miscarea fortata are o perioada

Figura 2. Miscarea polara a axei de rotatie a Pamantului

apropiata de cea diurna si corespunde partii de forma regulata a potentialului mareic de gradul II (componentele zonale si sectoriale nu au nici o influenta).

Miscarile axei momentului unghiular, care sunt mai mici de 0',001, sunt foarte asemanatoare. Miscarea libera a axei momentului unghiular merita o atentie speciala deoarece miscarea fortata poate fi corectata prin modelarea atractiei mareice. Miscarea polara libera are o perioada mare. In evaluarea ei se pleaca de la o anumita pozitie fixa , integrarea (2) dand . Acest rezultat implica legea conservarii momentului unghiular atat timp cat nu este aplicata nici o forta externa. Datorita proprietatilor mentionate, axa momentului unghiular este capabila sa serveasca drept axa de referinta (punctul in care ea 'inteapa' sfera cereasca este cunoscut in astronomie ca Polul Efemeridelor Ceresti (CEP). O alta posibilitate de alegere a unei axe de referinta in sistemul terestru o constituie pozitia mijlocie a axei de rotatie, notata cu P in figura 2; aceasta pozitie este numita Origine Internationala Conventionala (CIO). Din motive istorice, CIO reprezinta pozitia mijlocie a lui in cursul perioadei 1900 - 1905.

Sistemul Inertial Conventional. Prin conventie, axa coincide cu pozitia axei momentului unghiular la epoca standard J2000,0 (definita la punctul 3). Axa este orientata spre echinoctiul vernal asociat. In prezent, pozitia acestui echinoctiu este stabilita cinematic, pe baza unui set de stele fundamentale. Intrucat acest sistem este definit conventional si pozitionarea practica nu coincide in mod necesar cu sistemul teoretic, el se numeste Cadru Inertial Conventional. Uneori este utilizat termenul 'cvasi-inertial', pentru a evidentia faptul ca sistemul geocentric nu este riguros inertial datorita miscarii accelerate a Pamantului in jurul Soarelui.

Proiect: Lucrare de licenta marketing si afaceri economice internationale - dezvolatrea mixului de marketing in cadrul companiei sc.petrom. sa Proiect: Modelul comunicarii in negocieri - modelul structural

Sistemul Terestru Conventional Prin conventie, axa coincide cu pozitia mijlocie a axei de rotatie, asa cum a fost definita de CIO. Axa este continuta in planul meridianului Greenwich. Pozitionarea acestui sistem se realizeaza pe baza unui set de statii de control (ce servesc drept puncte de referinta), rezultand asa numitul Cadru Terestru Conventional. Cele mai multe dintre statiile de control sunt echipate cu instrumente laser pentru determinarea distantelor spre sateliti (SLR) sau cu interferometre cu baze foarte lungi (VLBI).

Incepand cu anul 1987, GPS utilizeaza drept sistem de referinta WGS-84 (World Geodetic System). Asociat cu WGS-84 este un elipsoid de revolutie geocentric echipotential care este definit prin patru parametri, inscrisi in tabelul 1. Valorile numerice ale altor parametri pot fi determinate pe baza teoriei elipsoidului echipotential (f=1/298.2572221, b=6356752.714m etc.). Valorile parametrilor au fost adoptate dupa elipsoidul asociat Sistemului Geodezic de Referinta 1980 (GRS-80).

Tabelul 1. Parametrii elipsoidului WGS-84

Figura   Coordonate carteziene si elipsoidale

Un vector X poate fi reprezentat in sistemul terestru fie prin coordonatele carteziene X,Y,Z fie prin coordonatele elipsoidale ,h. Relatiile dintre cele doua seturi de coordonate sunt:

, (6)

unde ,h sunt latitudinea, longitudinea si inaltimea elipsoidala, N este raza de curbura a primului vertical, iar a si b sunt semiaxa mare respectiv semiaxa mica a elipsoidului. Detalii suplimentare privind transformarea coordonatelor carteziene si elipsoidale sunt date in capitolul 10.2.1.

2.2 Transformari

Consideratii generale. Transformarea intre Sistemul Inertial Conventional (CIS) si Sistemul Terestru Conventional (CTS) este realizata prin intermediul rotatiilor. Pentru un vector arbitrar x, transformarea este data de

x_[CTS] = R^M R^S R^N R^P x_[CIS] (7) in care:

R^M matricea de rotatie pentru miscarea polara;

R^S matricea de rotatie pentru timpul sideral;

R^N matricea de rotatie pentru nutatie;

R^P matricea de rotatie pentru precesie.

Sistemul Inertial Conventional, definit la epoca standard J2000.0, este transformat intr-un sistem instantaneu (adevarat) la epoca observatiei, aplicand corectiile datorate precesiei si nutatiei. Axa a sistemului adevarat reprezinta pozitia libera a axei momentului unghiular si este indreptata catre CEP (Polul Efemeridelor Ceresti). Rotind acest sistem in jurul axei cu timpul sideral prin matricea R^S, aceasta axa ramane orientata spre CEP. In final, axa este adusa catre polul mijlociu cu matricea R^M, completand transformarea.

Matricele de rotatie din (7) sunt compuse din matricele elementare R_i si descriu rotatii pozitive ale sistemului de coordonate in jurul axelor X_i, cu unghiul . Expresiile matricelor de rotatie sunt:

(8)

Matricele date in (8) sunt valabile intr-un sistem de coordonate orientat dreapta. Unghiul  este pozitiv pentru o rotatie in sensul acelor de ceasornic, privind din origine spre sensul pozitiv al fiecarei axe X_i.    

Precesia. O reprezentare grafica a precesiei este data in figura 4. Pozitia echinoctiului vernal mijlociu la epoca standard t₀ este notata cu E₀ iar pozitia la epoca observatiei este notata cu E.

Matricea de precesie R^P contine trei rotatii succesive:

. (9)

Figura 4. Precesia

In relatia (9) z,, sunt parametrii precesiei, exprimati ca serii de timp. Conform Nautical Almanac Office (1983), valorile lor sunt date de expresiile:

                                (10)

Parametrul T reprezinta diferenta de timp, exprimata in secole Iuliene de 36525 zile solare mijlocii, intre epoca standard J2000.0 si epoca observatiei.

Exemplu numeric. Consideram ca epoca observatiei este J1990,5, care corespunde la T= -0,095. Cu relatiile (10), sunt obtinute valorile numerice , si . Inlocuind aceste valori in (9), rezulta urmatoarea matrice numerica de precesie:

.

Nutatia O reprezentare grafica a nutatiei este data in figura 5. Echinoctiul vernal mijlociu la epoca observatiei este notat cu E, iar echinoctiul adevarat este notat cu E_t.

Matricea de nutatie R^N este obtinuta prin trei rotatii succesive. Nutatia in longitudine  si nutatia in oblicitate  sunt tratate drept cantitati diferentiale:

. (11)

Conform Nautical Almanac Office (1983), oblicitatea medie a eclipticii  este data de expresia

 = 23 26 21'.448 - 46'.8150 T - 0'.00059 T ² + 0'.001813 T ³           (12)

unde T este acelasi factor de timp ca in (10). Parametrii nutatiei  si  sunt calculati prin serii armonice:

                               (13)

Amplitudinile a_i,b_i precum si coeficientii intregi e_j sunt tabelati ca de exemplu in Nautical Almanach Office (1983). Cele cinci argumente fundamentale E_j descriu miscarile medii in sistemul Soare-Pamant-Luna. Longitudinea medie _m a nodului ascendent al Lunii este unul dintre argumente, cu o contributie importanta in termenii principali ai seriilor nutatiei. Nodul Lunii are o miscare retrogada, cu o perioada de aproape 18,6 ani.

Timpul sideral. Matricea de rotatie R^S pentru timpul sideral este

. (14)

Figura 5. Nutatia

Calculul timpului sideral aparent Greenwich ₀ este prezentat in capitolul

Sistemul WGS-84 are intre parametrii de definitie viteza unghiulara uniforma _P (vezi tabelul 1). Prin urmare, in cazul GPS, pentru unghiul de rotatie din (14) trebuie folosit in loc de timpul sideral, timpul sideral mediu.

Miscarea polului Aplicarea rotatiilor tratate pana aici asigura orientarea axei catre Polul Efemeridelor Ceresti (CEP). Mai trebuie executata numai rotirea acesteia pentru a trece in Originea Internationala Conventionala (CIO). Acest lucru este realizat cu ajutorul coordonatelor x_P,y_P ale polului instantaneu, definite asa cum se prezinta in figura 6. Aceste coordonate sunt determinate de Serviciul International de Rotatie a Pamantului (IERS) si sunt disponibile la cerere. Matricea de rotatie pentru miscarea polara R^M este

. (15)

Matricile de rotatie si pot fi combinate astfel incat sa formeze o singura matrice care defineste rotatia Pamantului:

. (16)

In cazul GPS, sistemul spatial de coordonate este deja legat de CEP. De aici rezulta ca este singura matrice de rotatie care trebuie aplicata pentru transformare in sistemul terestru.

Figura 6. Coordonatele polului

3 Sisteme de timp

1 Definitii

In tabelul 2 sunt enumerate principalele sisteme de timp care sunt de folosinta curenta. In prima coloana a acestui tabel apare procesul periodic in raport cu care sunt definite sistemele respective.

Timpul solar si timpul sideral. O posibilitate de masurare a rotatiei Pamantului o ofera unghiul orar, care este unghiul dintre meridianul unui corp ceresc si un meridian de referinta (preferabil meridianul Greenwich). Timpul universal este definit de unghiul orar Greenwich masurat in raport cu un Soare fictiv (care se misca in planul ecuatorial, cu viteza uniforma); din ratiuni practice, acest unghi este marit cu 12 ore. Timpul sideral este definit ca unghiul orar al echinoctiului vernal. Luand echinoctiul mijlociu ca referinta, rezulta timpul sideral mijlociu iar in raport cu echinoctiul adevarat rezulta timpul sideral adevarat sau aparent.

Timpul solar si timpul sideral nu au o scara uniforma deoarece viteza unghiulara _P nu este constanta. Fluctuatiile sunt datorate, in primul rand, variatiilor momentului polar al inertiei din cauza deformatiilor mareice si altor transporturi de masa. O alta cauza o constituie oscilatiile axei de rotatie a Pamantului in jurul unei pozitii medii. Timpul universal corectat pentru miscarea polara este notat cu UT1.

Tabelul 2. Sisteme de timp

Timpul dinamic. Un sistem de timp derivat din miscarea planetara in sistemul solar se numeste timp dinamic. Timpul Dinamic Baricentric (BDT) este un sistem de timp inertial in sens Newtonian; este un argument independent al ecuatiilor de miscare in raport cu baricentrul sistemului solar. Timpul Dinamic Terestru cvasi-inertial (TDT) a fost numit timpul efemeridelor si serveste la integrarea ecuatiilor diferentiale ce descriu miscarea satelitilor in jurul Pamantului; unitatea sa este o zi de 86400 secunde SI la nivelul mediu al marii.

Timpul atomic. O realizare practica a sistemului de timp dinamic este obtinuta prin utilizarea scarii de timp atomic, scara deosebit de uniforma dar independenta de miscarea reala a Pamantului. Timpul GPS apartine acestui sistem. Timpul Universal Coordonat (UTC) reprezinta un compromis; unitatea sistemului este secunda atomica, dar pentru a pastra sistemul aproape de UT si pentru a aproxima timpul civil, se fac salturi de secunde intregi, la anumite epoci. Sistemul GPS are un deplasament constant de 19 secunde fata de Timpul Atomic International (IAT) si a coincis cu UTC la epoca GPS standard 1980, Ianuarie 6^Z,0.

2 Conversii de timp

Conversia intre timpii derivati din rotatia Pamantului (de exemplu intre timpul solar mijlociu corectat pentru miscarea polului UT1 si timpul sideral aparent ₀) se face cu relatia:

 ₀ = 1.002737909UT1 + ₀ + Dy cos        (17)

Primul termen din (17) corecteaza diferenta de scara dintre timpul solar si timpul sideral iar marimea ₀ reprezinta timpul sideral actual la miezul noptii Greenwich (0^h UT). Al treilea termen constituie proiectia lui Dy pe ecuator si corecteaza efectul nutatiei. Timpul sideral mijlociu este obtinut din (17) prin neglijarea termenului nutatiei si constituie o parte a mesajului de navigatie transmis de satelitii GPS.

Pentru estimarea lui ₀, Nautical Almanach Office (1983), recomanda urmatoarea serie de timp:

₀ = 24110^S,54841 + 8640184^S,812866 T +    + 0^S,093104 T ² - 0^S,0000062 T ³ (18)

unde T este acelasi ca in relatia (10).

UT1 difera de UTC prin cantitatea dUT1, care este furnizata de Serviciul International pentru Rotatia Pamantului (IERS):

UT1 = UTC + dUT1 . (19)

Cand valoarea absoluta a dimensiunii dUT1 devine mai mare de 0^S,9, in sistemul UTC se insereaza o secunda.

In locul timpului dinamic, pentru GPS a fost preferat sistemul de timp atomic. Sunt definite urmatoarele relatii:

IAT = GPS + 19^S,000 ofset constant

IAT = TDT - 32^S,184 ofset constant (20)

IAT = UTC + 1^S,000 n ofset variabil

Actualul numar intreg n este raportat de IERS. De exemplu, in luna ianuarie 1996, valoarea intreaga a fost n=30, deci timpul GPS diferea exact cu 30 secunde de UTC.

3 Calendarul

Definitii Data Iuliana (JD) defineste numarul de zile solare mijlocii scurse incepand cu epoca 1,5 zile, Ianuarie, 4713 B.C. (inainte de Hristos).

Data Iuliana modificata (MJD) este obtinuta scazand 2.400.000,5 zile din data Iuliana. Aceasta conversie reduce numarul de cifre si MJD incepe la mijlocul noptii civile, in loc de amiaza.

Tabelul 3 contine data Iuliana pentru doua epoci standard. Acest tabel permite, de exemplu, calcularea parametrului T al epocii GPS standard. Scazand respectivele date Iuliene si impartind cu 36525 (numarul de zile dintr-un secol Iulian) rezulta T = - 0,1998767967.

Tabelul Epoci standard

Conversia datei. Relatiile preyentate mai jos pentru conversia datei sunt valabile pentru epoci cuprinse intre martie 1900 si februarie 2100.

Fie data civila exprimata de valori intregi ale anului A, lunii L si zilei Z si o valoare reala a timpului in ore UT. Atunci

JD = INT[365,25^.a] + INT[30,6001^.(l+1)] + Z + UT / 24 + 1720981,5        (21)

este o conversie in data Iuliana. INT semnifica partea intreaga a numarului real, iar a si l sunt date de:

a = A-1 si l = L+12 daca L 2

a = A      si l = L daca L > 2 .

Transformarea inversa, adica transformarea datei Iuliene in data civila, se executa dupa urmatorul algoritm:

1) Se calculeaza numerele auxiliare:

b = INT [ JD + 0,5 ]

c = b + 1537

d = INT [ ( c-122,1) / 365,25 ]

e = INT [ 365,25 d ]

f = INT [ (c - e) / 30,6001 ] .

2) Se calculeaza parametrii datei civile, cu relatiile:

Z = c - e - INT[30,6001^.f] + FRAC[JD + 0,5]

L = f - 1 - 12^.INT[f / 14] (22)

A = d - 4715 - INT[(7 + L) / 10] , unde FRAC inseamna partea fractionara a numarului.

3) Ca un produs necesar al conversiei datei, ziua din saptamana poate fi evaluata cu relatia

N = modulo , unde N = 0 inseamna luni, N = 1 inseamna marti s.a.m.d. (23)

4) Calculul saptamanii GPS, care este data de relatia:

SAPTAMANA = INT[(JD-2444244,5) / 7]                             (24)

Formulele date aici pot fi folosite, de exemplu, pentru a obtine date in tabelul 3 sau pentru a verifica faptul ca epoca J2000,0 corespunde zilei de sambata, in a 1042^a saptamana GPS.