Transformata Laplace in calculul operational

Transformata Laplace in calculul operational

a.Metoda generala a calculului operational consta in urmatoarele:

- data o problema in spatiul original, o transpunem in spatiul imagine. Se fac calculele algebrice din spatiul imagine. Aplicand inversa transformatei Laplace, sau mai comod, utilizand tabelul " f(x) = F(p) obtinem solutia din "spatiul original ". Calculul operational este calculul care utilizeaza transformata Laplace.

b. Problema Cauchy pentru ecuatii diferentiale liniare, cu coeficienti

constanti, rezolvata operational.

Pentru simplificarea expunerii, prezentam lucrurile legate de ecuatia diferentiala liniara de ordinul al doilea, avand coeficientii constanti

-original, cu problema Cauchy:

Solutie: Utilizand Transformata Laplace, din x(t)=X(p), f(t)=F(p), ecuatia (original) devine: numita ecuatia operationala.

De unde obtinem X(p) si

Exemple:

b1. Fie ecuatia : cu

Aratati ca

Solutie:

Ecuatia operationala este:

Descompunand in fractii simple obtinem:

De unde:

b2. cu

R:

b3.

R:

b4.

R:

si

b5.

R: de unde:

faza in care putem considera problema rezolvata aproape in totalitate (restul calculelor fiind de rutina si uzura).

c1. Sa consideram initial ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

(1)

completata cu valorile date:

(2)

b(t) fiind functie original.

Amplificam ecuatia (1) cu si integram in raport cu t de la 0 la .

Notand:

transformata Laplace a functiei y(t), integrand prin parti obtinem:

(3)

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

Amplificand (3) cu si insumand obtinem:

(4)

unde este un polinom in p de grad cel mult n-1, R(p) un polinom de grad n si B(p) transformata Laplace a lui b(t).

Din (4) obtinem:

(5)

Functia verifica ipoteza teoremei D.a.

Notand atunci:

(6)

Dupa cum am luat c, fractia data de (6) are numaratorul de grad cel mult n-2 (termenii de grad n-1 reluandu-se), iar numitorul de grad n+1, deci diferenta de grade intre numitor si numarator este de cel putin 2.

Natura lui B(p) hotaraste ca functia sa verifice conditiile teoremei amintite anterior. Daca gradul lui R(p) este superior lui 1, este suficient pentru aceasta, B(p) fiind marginita, ca b(t) sa fie functie original, mai precis sa satisfaca conditiile:

(orig.)

Daca gradul lui R(p) este 1, atunci formula (7) din E.a. arata ca este suficient ca b(t) sa aiba derivata continua pe portiuni satisfacand cu b(t) conditiile (orig.). Deci daca sunt indeplinite conditiile teoremei E.a. cu formula (3) din acelasi paragraf gasim:

(7)

c2. Sa concretizam cu ecuatia de ordinul doi:

cu radacini ale ecuatiei caracteristice complexe cu . In electricitate, o astfel de ecuatie descrie oscilatiile fortate intr-un circuit R, L, C.

Trecand la transformata Laplace obtinem ecuatia:

Rezolvand obtinem:

si cu formula de inversiune obtinem:

Notand

punctele singulare sunt si . Pe postul lui putem alege orice numar pozitiv. Pentru a calcula integrala completam dreapta cu o semicircumferinta de raza suficient de mare pentru a inconjura toate punctele singulare.

Cu teorema reziduurilor

Calculam reziduul in punctele fiind poli simpli pentru f, cu formula:

Procesul rezultant il constituie suprapunerea a doua oscilatii - una periodica cu frecventa egala cu cea a fortei exterioare si cealalta oscilatie fiind amortizata, viteza de amortizare fiind determinata de . Pentru si =k obtinem o rezonanta, iar solutia va fi o oscilatie cu amplitudinea infinit crescatoare.

c3. Sa consideram ecuatia caldurii

pe intervalul cu conditiile initiale

Din punct de vedere fizic, aceasta spune ca, la momentul t, temperatura nu este aceeasi in extremitatea initiala si in cea finala , dar ele se mentin constante. In plus, la momentul initial, temperatura intr-un punct x este .

Aplicand transformata Laplace in t, adica trecand de la functia u(x,t) la functia:

pentru v(x, p) obtinem: cu conditiile initiale (deci o problema bilocala). Solutia ei este:

de unde care se rezolva cu teorema reziduurilor.

Istoric. Integrala Fourier apare pentru intaia oara in cartea lui Fourier "Teoria analitica a caldurii" (1822), unde ea se aplica mai multor probleme de fizica-matematica. Lucrarile lui Fourier, ca si lucrarile lui Cauchy care utilizeaza integrala Fourier in studiul propagarii undelor (1842), nu contin demonstratii de convergenta. Transformata Laplace este dezvoltata de Laplace in 1812 in Teoria analitica a probabilitatilor ". Independent, Euler, in 1737 considera integrale ale produsului pentru a rezolva ecuatii ordinare. Nici Euler si nici Laplace nu-si pun problema utilizarii transformatei in planul complex. Inginerul englez Heaviside, incepand cu anul 1892, introducand gaseste solutii in problemele de electrotehnica care se reduc la ecuatii cu derivatepartiale. El pune astfel bazele calculului operational. Din 1910 Bromwich, apoi Carson, Van der Pol, Doetsch, aplicand transformata Laplace in complex justifica regulile lui Heaviside.

Lucrarile lui Denjoy, Carleman, Ostrovski pe clase de functii quasianalitice se intind in intervalul 1920-1930.

Cu utilizarea integralei Lebesque, teoria transformatei Fourier se dezvolta. Cu dezvoltarea teoriei distributiilor apare posibilitatea definirii transformatei Fourier prin distributii.

(i):f(x) continua pe portiuni

(ii): f(x) nu trebuie sa creasca mai repede ca exponentiala cand

(iii): este indeplinita pentru pentru x > M>0 si in plus, integrala (1) este convergenta pentru Intr-adevar,

In acest plan, este functie analitica. Ea este prelungibila la tot planul si singularitatile sale sunt in

Vom stabili legatura naturala intre denumire si notatie.

Fie deci astfel incat are sens integrala improprie cu parametru

(1)

Definitie. Daca are sens (1), F se numeste transformata Laplace a lui f si se mai noteaza cu .

Transformata fiind definita printr-o integrala improprie, trebuie sa stabilim conditii asupra lui p pentru convergenta. Aceste conditii sunt corelate cu f. Functiile f pentru care exista transformata Laplace se numesc functii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se numeste functia imagine (sau scurt, imagine). Ca notatii pentru legatura original-imagine pot fi intalnite

sau sau mai simplu f(x) = F(p), F(p) = f(x).

Preferam ultima notatie (putand fi folosite si altele - dupa preferinte si cu conventia stabilita fara ambiguitati).

Numim functie original, functia cu proprietatile

() f este nula pentru

(): f are crestere exponentiala, adica exista a si incat

pentru (2)

Pentru p > a integrala (1) care defineste transformata Laplace este absolut si uniform convergenta.

Intr-adevar, in conditiile (2) avem

Ultima integrala este convergenta pentru p > 0 si conform criteriului comparatiei, au loc afirmatiile facute.

In plus, sa observam ca ipoteza ca nu este esentiala, argumentarea anterioara fiind valabila si pentru (in ipoteza (2)).

Cazuri concrete. (d1) Functia , cu b real sau complex va avea crestere exponentiala putand lua a = Reb, M > 1 si Intr-adevar,

()

()

Deci   si , convergenta integralei avand loc pentru p > Reb daca si Rep > Reb daca

Observatie. Nu este greu sa vedem ca este liniara. Utilizand liniaritatea, rezultatul din d1 si relatiile lui Euler

obtinem:

()

()

pentru .

Proprietatea transformatei Laplace

a. Daca inegalitatea care exprima proprietatea de crestere exponentiala este valabila pentru tripletul pentru orice

Notand , a fiind in tripletul , se numeste abscisa de convergenta a functiei f.

Din cele facute pana acum rezulta ca pentru a exista transformata Laplace este suficient ca f sa aiba abscisa de convergenta sau si transformata are sens pentru in cazul si in cazul Vom nota cu abscisele de convergenta pentru f si g.

b. Pentru are loc proprietatea de liniaritate