Probleme numerele naturale: Aflati c.m.m.m.c. si c.m.m.d.c. al numerelor

Probleme

1) Aflati c.m.m.m.c. si c.m.m.d.c. al numerelor: a) 60; 48; 72; b) 216; 300; 720;

c) 84; 90; 210; d) 44; 132; 198; e) 75; 175; 315.

2) Gasiti toate perechile de numere prime intre ele ce se pot forma cu numerele: 4; 5; 9;

12.

3) Determinati numerele naturale x, pentru care numerele 12 si , sunt prime intre ele.     

4) Precizati daca urmatoarele numere sunt prime intre ele: a) 12 si 16; b) 4 si 9; c) 63 si

80; d) 45 si 56; e) 28 si 36.

5) Demonstrati ca si 137 sunt prime intre ele pentru orice x si y.

6) Determinati valorile naturale ale lui k, pentru care 8^k + 1 si 585 sunt prime intre ele.

7) Aflati cate numere prime cu 10000 si mai mici decat 10000 exista.

8) Cate numere naturale mai mici ca 1979¹⁹⁸⁰ nu sunt prime cu 1979?

9) Cate numere naturale mai mici ca 1997¹⁹⁹⁸ nu sunt prime cu 1997.

10) Cate numere naturale mai mici ca 1999²⁰⁰⁰ nu sunt prime cu 1999.

11) Determinati x, pentru care urmatoarele numere sunt prime intre ele: a) si 2310;

b)

12) Determinati numerele naturale a si b daca (a+1)·(b+3)=24, unde a+1 si b+3 sunt

prime intre ele.

13) Aflati doua numere naturale a caror suma este 254, daca unul din ele este prim cu

cifre identice.

14) Aflati cel mai mic numar natural care impartit la 6 si la 15 da restul 5 si catul diferit

de zero.

15) Aflati cel mai mare numar natural la care daca impartim pe 125 si 189 obtinem

respectiv resturile 5 si 9.

16) Care este cel mai mic numar de elevi care se pot alinia in coloane de 6; 8 si 12 elevi.

17) Aflati doua numere naturale daca c.m.m.m.c. al lor este 84, iar ele sunt cuprinse in-

tre 10 si 20.

18) Care este cel mai mare numar natural la care daca impartim pe 120; 255; si 360,

obtinem resturile 8; 3 si 10.

19) Aflati cel mai mic numar natural care impartit la 5; 6; 8 si 9 dau respectiv resturile

4; 5; 7 si 8.

20) Aflati numerele naturale mai mici ca 500 care impartite la 60 si 90 dau restul 3.

21) Aflati doua numere naturale daca suma lor este 63 iar c.m.m.d.c. al lor este 7.

Raspuns: 1) a) 12; 720. b) 12; 108000. c) 6; 1260. d) 22; 396. e) 15; 1575. 2) (4; 5), (4; 9), (5; 9),(5; 12). 3) 3; 5; 9. 4) a) nu. b) da. c) da. d) da. e) nu. 5) 137·2=274; 137·3=411. 6) 585=3²·5·13, k=4. 7) numerele prime cu 10000 nu trebuie sa aiba ca divizor pe 2 si 5 sau puterile lor. Numarul de numere divizibile cu 2 este 10000:2=5000. Numarul de numere divizibile cu 5 este 10000:10=1000. 1 este divizor pentru orice numar. Deci 6001 nu sunt prime cu 10000. Atunci sunt prime 3999. 8) 1979¹⁹⁸⁰-1981. 9) 1997¹⁹⁹⁸-1999. 10) 1999²⁰⁰⁰- -2000. 11) a) nu sunt. b)1; 2; 4; 5; 7; 9. 12) (0;21),(2;5),(7;0). 13) 11+243. 14) 35. 15) 60. 16) 24. 17) 12; 14. 18) 14. 19) 359. 20) 183; 363. 21) (7;56),(14;49),(21;42),(28;35).

22) Aflati doua numere naturale daca produsul lor este 5400, iar c.m.m.d.c. al lor este

30.

23) Aflati cel mai mare numar natural la care daca impartim pe 100; 150 si 250 obti-

nem resturile 10; 15 si 25.

24) Aflati cel mai mic numar natural care impartit la 25; 45 si 50 da restul 7.

25) Gasiti cinci numere naturale, astfel incat impreuna cu numerele 3; 8 si 12, sa avem

opt numere naturale diferite, cu proprietatea ca, printre ele se afla c.m.m.d.c. si

c.m.m.m.c. al oricaror doua numere din cele opt.

26) Gasiti un numar natural de trei cifre care satisface conditiile: are cifra zecilor 5, este

divizibil cu 30, cifrele zecilor si sutelor sunt prime intre ele, iar c.m.m.m.c. al acestor

cifre este 20.

27) Gasiti toate numerele naturale de trei cifre, scrise in baza zece, divizibile cu 7 si care

dau acelasi rest la impartirea cu numerele 4; 6; 8 si 9.

EXERCITII SI PROBLEME RECAPITULATIVE

1) Scrieti multimea divizorilor si multimea multiplilor numerelor: a) 12; b) 13; c) 8;

d) 11; e) 15; f) 17.

2) Precizati valoarea de adevar a propozitiilor:

3) Fie multimile:

Aflati elementele celor doua multimi, apoi calculati:

4) Determinati numarul divizorilor pentru numerele: a) 8; b) 16; c) 15; d) 24; e) 36;

f) 64; g) 90; h) 144; i) 300; j) 324; k) 400; l) 500.

5) Determinati cel mai mic numar natural care are: a) 2 divizori; b) 3 divizori; c) 4

divizori; d) 5 divizori; e) 6 divizori; f) 8 divizori; g) 9 divizori; h) 10 divizori; i) 12

divizori; j) 15 divizori.

6) Determinati toate perechile de doua numere naturale a caror produs este: a) 66;

b) 78; c) 170; d) 285; e) 210.

7) Gasiti toate numerele naturale de forma divizibile cu:a) 2; b) 3; c) 4; d) 9; e) 5;

f) 10.

Raspuns: 22) (60;90),(30;180). 23) 45. 24) 457. 25) 4; 6; 16; 24; 48. 26) 450. 27) [4;6;8;9]=72. Deci numerele 72·a+r cu a natural si r=, dau restul r la impartirea cu 4; 6; 8; 9. Daca r=0, 72·a divizibil cu 7, deci a=7 si numarul este 504. Daca r=1, 72·a+1=70·a+2·a+1=M₇+2·a+1, deci (2·a+1) divizibil cu 7 si a=3 sau a=10, numerele sunt 217 si 721. Daca r=2, 72·a+2=70·a+2·a+2=M₇+2·a+2, deci (2·a+2) divizibil cu 7 si a - 6 sau a = 13 si numerele sunt 434 si 938. Daca r =3, avem a =2 sau a=9 si numerele sunt 147 si 651. 1) a) ; . b) ; . c) ; . d) ; . e) ; . f) ; . 2) a) A. b) F. c) A. d) A. e) F. 3) A =; B=; 4) Daca n=n₁^a·n₂^b·n₃^c, atunci numarul divizorilor este (a+1)·(b+1)·(c+1). a) 4. b) 5. c) 4. d) 8. e) 9. f) 7. g) 12. h) 15. i) 18. j) 15. k) 15. l) 12. 5) a) 2. b) 4. c) 6. d) 16. e) 12. f) 24. g) 36. h) 48. i) 60. j) 144. 6)1·66= =2·33=3·22=6·11. b)1·78=2·39=3·26=6·13. c) 1·170=2·85=5·34=10·17. d) 1·285= 3·95= =5·57=15·19. e) 1·210=2·105=3·70=5·42=7·30=6·35=10·21=14·15. 7) a) 530; 532; 534; 536; 538. b) 531; 534; 537. c) 532; 536. d) 531. e) 530; 535; 530.

Document online: Determinarea continutului de ioni de clor si a salinitatii Eseu: Corelatii compozitie - structura - textura - proprietati la sistemele oxidice

8) Determinati toate numerele de forma divizibile cu 12.

9) Gasiti cel mai mare si cel mai mic numar de forma divizibil cu 45.

10) Gasiti cel mai mic numar de forma divizibil cu 36.

11) Gasiti cel mai mare numar de forma divizibil cu 15.

12) Gasiti toate numerele de forma divizibile cu: a) 6; b) 18.

13) Determinati valorile naturale ale lui n, pentru care: a) (2n-1)|15; b) 12(n+2);

c) (3n+1)|8; d) (7n-2)|45; e) 36(2n+1).

14) Aratati ca numerele sunt divizibile cu 11.

15) Aratati ca: a) (2ⁿ·3ⁿ⁺¹+6ⁿ+2ⁿ⁺¹·3ⁿ)8; b)(3²ⁿ⁺¹·4ⁿ+9ⁿ⁺¹·2²ⁿ)12;

c)(2ⁿ⁺²·5²ⁿ+2ⁿ⁺¹·25ⁿ+50ⁿ)7; d) (2ⁿ⁺²·7ⁿ+2ⁿ⁺²·7ⁿ⁺¹+14ⁿ)11;

e) (2ⁿ·3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹·3²ⁿ+2ⁿ⁺¹·9ⁿ)7.

16) Precizati care din urmatoarele numere sunt prime: 129; 131; 213; 543; 547.

17) Scrieti numerele prime cuprinse intre 50 si 70.

18) Determinati valorile lui n pentru care: a) n; n+1; n+3; b) n; n+2; n+6; n+8;

c) n+2;n+4; 2n+1; 3n+2; d) n-4; n-2; n+4; n+6, sunt simultan prime.

19) Gasiti doua numere prime care au suma de forma .

20) Adaugati doua cifre x si y la numarul 753 astfel incat numarul sa fie divizibil

cu 5; 7 si 8. Cu cele cinci cifre ale numarului, folosite o singura data, scrieti cel

mai mic si cel mai mare numar natural.

21) Aratati ca numerele sunt divizibile cu 7 si 13.

22) Aratati ca toate numerele de forma sunt divizibile cu 37.

23) Demonstrati ca daca este divizibil cu 7.

24) Determinati numerele de patru cifre care impartite la sa dea catul 10 si restul

12, stiind ca se divide cu 6.

25) Se cer numerele de forma divizibile cu 5, astfel incat suma cifrelor

sa dea un numar format cu cifre identice.

26) Se cer numerele de forma cu cifre distincte, care se divid cu 4; 5; 9 si

pentru care a+c=b.

Raspuns: 8) 9132; 9432; 9732; 9036; 9336; 9636; 9936. 9) 5715; 5310. 10) 2232. 11) 8910. 12) a) 4350; 4650; 4950; 4152; 4452; 4752; 4254; 4554; 4854; 4056; 4356; 4956; 4158; 4458; 4758. b) 4950; 4752; 4554; 4356; 4158. 13) a) 1; 2; 3; 8. b) 0; 1; 2; 4; 10. c) 0; 1. d) 1. e) 0; 1; 4. 14) a) 11·(91a+10b). b) 11·91·(100a+10c+b). c) 11·(10000a+100b+c). 15) a) 8·6ⁿ. b) 12·36ⁿ. c) 7·50ⁿ. d) 33·14ⁿ. e) 7·18ⁿ.16) 131; 547. 17) 53; 59; 61; 67. 18) a) 2. b) 5. c) 3. d) 7. 19) 22=19+3= =17+5; 33=31+2; 44=41+3=37+7=31+13; 55=2+53; 66=5+61=7+59=13+53= 19+47= =23+43=29+37; 88=5+83=71+17=59+29=41+47; 99=2+97. 20) 75320; 20357

27) Determinati numerele de forma daca a si b sunt cifre consecutive care au doar

Doi divizori proprii.

28) Determinati numerele de forma daca sunt divizibile cu 4.

29) Gasiti toate numerele de forma daca este rasturnatul lui si numerele se

divid cu 18 dar nu se divid cu 8.

30) Gasiti toate numerele naturale patrate perfecte, de forma , divizibile cu 25.

31) Determinati numere de forma , divizibile cu 9, cu cifre impare distincte, astfel

incat:

32) Fie numerele cu a<b<c sau a>b>c, cifre consecutive, iar a+b+c este impar.

Aratati ca este divizibil cu 6. Cate astfel de numere exista? Cate dintre acestea

sunt divizibile cu 12?

33) Aratati ca numarul n = este divizibil cu 7, daca si numai daca, numarul este

divizibil cu 7.

34) Determinati numerele n = divizibile cu 1989.

35) Aratati ca daca numarul este divizibil cu 41, atunci si numarul este

divizibil cu 41.

36) Daca x si x + 2 sunt numere prime, aflati un divizor propriu al lui x + 4, (x > 3).

37) Determinati un numar natural de trei cifre care sa indeplineasca conditiile: a)

produsul celor trei cifre este 42; b) diferenta dintre cifra unitatilor si cifra sutelor este

divizibila cu 2; c) diferenta dintre numarul format de primele doua cifre si numarul

format de ultimele doua cifre este 5.

38) Determinati cifrele a si b ale numarului astfel incat sa indeplineasca conditiile:

a) a si b sunt cifre consecutive; b) numarul se divide cu 6 dar nu se divide cu 9.

39) Fie numarul . Determinati a, b, c, d astfel incat: a); b) b este

multiplu lui a si c este multiplu lui b; c) numarul se divide cu 6.

40) Fie numarul A = multiplu de 45. a)demonstrati ca numarul B = este

multiplu de 45; b) cate numere A exista daca ; c) determinati A daca b

este cea mai mare cifra, numar prim, iar c este media aritmetica a lui a si b.

Raspuns: 27) 28) 444; 888; 484; 844; 448. 29) 30) 1225; 4225; 7225. 31) 111(a-d)+10(b-c)=302, deci a-d=2 si b-c=8, b=9, c=1, (a,b) = (3,1), (5,3),(7,5), 32) a=2k, b=2k+1, c=2k+2, deci a+b+c=6k+3=3(2k+1) si sunt divizibile cu 3. 234; 456; 678;876;654;432. 33) n=7·143a+10·. 34) 1989=9·13·17; n=1001· ·(100a+10b+c)=7·11·13·(100a+10b+c), deci n este divizibil cu 13, mai trebuie sa fie si cu 9·17=153, deci 100a+10b+c=153·k; daca k=1, avem a=1, b=5, c=3, daca k=2, a=3, b=0, c=6, daca k=3, a=4, b=5, c=9, daca k=4, a=6, b=1, c=2, daca k=5, a=7, b=6, c=5, daca k=6, a=9, b=1, c=8. 35) - 99999·a) divizibil cu 41. 36) x+3, x+4, x+5, fiind consecutive, rezulta ca unul este divizibil cu 3. Daca x+3 este divizibil cu 3, rezulta x divizibil cu 3, absurd deoarece x prim. Daca x+5 divizibil cu 3, rezulta x+2 divizibil cu 3, absurd deoarece x+2 prim. Deci x+4 divizibil cu 3 si 3 este divizor propriu al lui x+4. 37) 327. 38) 12354. 39) 3254280; 3254286. 40) a) A-B=90(111a+10b-10c-111d) divizibil cu 45, deci B divizibil cu 45. b) 54 numere. c) 57645.

41) Determinati numerele de forma daca: a) sunt divizibile cu 5; b) au cifra sutelor

medie aritmetica a celorlalte doua cifre.

42) Determinati numerele care satisfac conditiile: a) sunt divizibile cu 3; b) a = 4·c.

43) Determinati numerele divizibile cu 3 daca: a) a+b+c este divizibila cu 16;

b) b+c+d este divizibila cu 4 si cu 5;

c) a+b+c+d este divizibila cu 7; d) b-c este divizibila cu 3.

44) a) Cate numere de forma exista? b) Cate dintre ele se divid cu 2? c) Cate se

divid cu 4? d) Cate se divid cu 5? e) Cate se divid cu 10? f) Cate se divid cu 3?

g)Cate se divid cu 9?

45) Care este numarul minim de numere naturale distincte, astfel incat sa existe cel

putin o pereche a caror diferenta sa fie divizibila cu 10? Dar cu 1000?

46) Care este cel mai mic numar natural n, cu proprietatea ca oricum am alege n

numere naturale divizibile cu 4, exista printre ele doua a caror diferenta sa se divida

cu 100?

47) Aflati cel mai mic si cel mai mare numar natural de forma , divizibile

cu 45, unde x₁, x₂, . , x_n sunt cifre consecutive in aceasta ordine.

48) Aflati cele mai mici 100 de numere naturale consecutive a caror suma sa fie

divizibila cu 105. Produsul acestor numere este divizibil cu 10²⁵ ?

49) Fiecare cifra a unor numere naturale de trei cifre apartine multimii .

Aflati care dintre ele sunt divizibile cu 55?

50) Aratati ca suma a trei numere naturale consecutive este divizibila cu 3. In ce caz

este divizibila cu 6?

51) Fie N = . a) Aratati ca daca b este divizibil cu 3, atunci N este divizibil cu 3;

b) Daca b este divizibil cu 7, atunci N este divizibil cu 7; c) Exista un singur numar

N divizibil cu 45.

52) Aratati ca N= este divizibil cu a+b. Gasiti o relatie intre a si b pentru care

N sa fie divizibil cu 5; 7; 13; 17.

53) Determinati divizorii proprii ai numarului N =       

54) Gasiti numerele de forma , divizibile cu 37.

55) Aratati ca diferenta dintre un numar de trei cifre si rasturnatul sau nu poate fi un

patrat perfect.

56) Aratati ca suma tuturor numerelor de forma este divizibila cu a+b+c.

Raspuns: 41) 120; 240; 360; 480; 315; 435; 555; 675; 795. 42) 411; 441; 471; 822; 852; 882. (9,7). 43) 1965. 44) a) 100. b) 40. c) 20. d) 20. e) 10. f) 22. g) 11. 45) 11; 101; 1001. 46) 26. 47) 765; 876543210. 48) 3, 4, 5, . , 102; nu. 49) 220; 440; 660; 880. 50) a+a+1+a+2=3a+3=3(a+1); a impar. 51) a) b divizibil cu 3, deci 3a+2b divizibil cu 3. b) N=7·1443a+1010b, deci N divizibil cu 7 daca b divizibil cu 7. c) 56565. 52) N=111(a+b). 53) N=222(a+b)=2·3·37·(a+b). 54) 111x + = 3·37x + , deci 55) 99·(a-c)=9·11·(a-c) si a-c diferit de 11. 56) S=222· ·(a+b+c).