Primitive. Proprietati.

Primitive. Proprietati.

Pe parcursul cursului, I este un interval;

Definitia 1 Fie f: I → R. Se spune ca f admite primitive pe I daca F : I →R astfel incat

a) F este derivabila pe I;

b) F'(x) =f(x), x ε I.

F se numeste primitiva lui f. ( I poate fi si o reuniune finita disjuncta de intervale

Demonstratie : Daca sunt primitive atunci sunt derivabile x ε I

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

, x ε I. , c= constanta

OBS 1. Fiind data o primitiva a unei functii atunci orice primitiva F a lui f  are forma F =  + c , c= constanta

 f admite o infinitate de primitive.

OBS 2. Teorema nu mai ramane adevarata daca I este o reuniune disjuncta de intervale Expl:  f: R-,f(x) = x²

F = ,  G= F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constanta . Contradictie cu T 1.1

OBS 3. Orice functie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.

Se stie ca derivata oricarei functii are P. lui Darboux , rezulta ca  f are P lui Darboux. F' =f.

OBS 4. Daca I este interval si f(I) nu este interval atunci f nu admite primitive.

Daca presupunem ca f admite primitive atunci din OBS 3 rezulta ca f are P lui Darboux, rezulta f(I) este interval ceea ce este o contradictie.

OBS 5. Orice functie continua definita pe un interval admite primitive.

Definitia 2 Fie f: I →R o functie care admite primitive. Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin simbolul dx. Operatia de calculare a primitivelor unei functii(care admite primitive ) se numeste integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima data de Leibniz, in 1675.

Fie F(I)=  Pe aceasta multime se introduc operatiile :

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,

(αf)(x)=α.f(x),α constanta

C==

dx =.