Olimpiada Nationala de Matematica - etapa locala Clasa a V-a

Olimpiada Nationala de Matematica

- etapa locala -

Clasa a V-a

Rezolvare si barem de notare

Varianta 2

Notam cu si . Din conditia obtinem :

2p

si , deoarece 2p

si si 1p

si 1p

Din conditia rezulta 1p

2p

Dar 2p

Deci , de unde obtinem: 2p

a = b = ; c = 1p

Solutie: 2p

=. 1p

T 6n + 13 = 4(n + 3) + 255 T 2n = 254 T n = 127 T 1p

T , 127 = 4 ∙ 31 + 3, deci este de forma 4k + 3 T 1p

T u(8 + 7 + 4 + 3) = 2 T 1p

T restul impartirii lui S la 5 va fi 2. 1p

Solutia I. 2(10a + b + c) = 3(10a + b - c) 2p

20a + 2b + 2c = 30a + 3b - 2c 1p

10a + b = 5c 1p

Cum 10 T 5c 99 cum c este cifra T c T 1p

T 5∙2 = 10, 5∙3 = 15, 5∙4 = 20, 5∙5 = 25, 5∙6 = 30; 5∙7 = 35; 5 ∙ 8 = 40; 5∙9 = 45 1p

T S = 102 + 153 + 204 + 235 + 306 + 357 + 408 + 459 = 2244. 1p

Solutia II. Relatia se poate scrie: 2p

2p

Cum 10 T 5c 99 cum c este cifra T c T 1p

T 5∙2 = 10, 5∙3 = 15, 5∙4 = 20, 5∙5 = 25, 5∙6 = 30; 5∙7 = 35; 5 ∙ 8 = 40; 5∙9 = 45 1p

T S = 102 + 153 + 204 + 235 + 306 + 357 + 408 + 459 = 2244. 1p