Momentele
unei variabile aleatoare discrete
Se considera doua variabile aleatoare
si
si se presupune ca
poate lua valorile
, iar
poate lua valorile
Pentru
fiecare pereche
, fie
probabilitatea ca
sa ia valoarea
si
sa ia valoarea
, adica:
DEFINITIE Probabilitatile
constituie repartitia
comuna a variabilelor aleatoare
,
.
DEFINITIE
Variabilele aleatoare
si
sunt independente, daca
pentru orice
,
si orice
are loc:
.
Se considera acum mai mult de doua
variabile aleatoare. Fie
,
variabile aleatoare,
unde variabila aleatoare
ia valorile
,
.
DEFINITIE Probabilitatile :

constituie repartitia comuna a
variabilelor aleatoare
DEFINITIE
Variabilele aleatoare
sunt independente,
daca pentru orice

DEFINITIE Variabilele aleatoare
sunt
independente, daca orice numar finit de variabile aleatoare din acest sir sunt
independente.
Introducem
acum o caracteristica numerica foarte importanta, asociata unei variabile
aleatoare.
DEFINITIE Numarul

se numeste valoarea medie
a variabilei aleatoare
EXEMPLU In experimentul cu
zarul :
DEFINITIE Fie
un numar intreg,
. Numarul

se numeste moment de
ordinul
al variabilei aleatoare
OBSERVATIE Momentul de ordinul
este valoarea medie.
DEFINITIE Numarul

se numeste dispersia variabilei
aleatoare
Cu ajutorul acestor notiuni
introduse, se pot demonstra o serie de proprietati.
PROPRIETATEA 1 Fie
o variabila aleatoare si
un numar intreg,
. Atunci

Demonstratie Fie variabila aleatoare
cu repartitia
Atunci variabila aleatoare
va avea evident repartitia :
cu alte cuvinte, valorile
si
au aceeasi
probabilitate
,
si deci
(
)
Din
proprietatea anterioara se deduce imediat:
PROPRIETATEA 2 Fie
o variabila aleatoare
care poate lua o singura valoare
cu probabilitatea
(adica
). Atunci:
.
PROPRIETATEA 3 Fie
o variabila aleatoare si
un numar real. Atunci:
.
Demonstratie. Fie variabila
aleatoare
cu valorile
, avand probabilitatile
si fie
. Aceasta noua variabila
aleatoare ia valorile
cu aceleasi probabilitati
si deci:
(
)
PROPRIETATEA 4 Fie
variabile aleatoare
. Atunci valoarea medie a sumei acestor variabile
aleatoare este egala cu suma valorilor medii, adica:
.
Demonstratie. Fie mai intai numai doua variabile aleatoare
si
. Se presupune ca variabila
aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
, iar variabila aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
. De asemenea fie :
,
,
.
Fie
; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea
cu probabilitatea
,
,
. Prin urmare :


Suma
, este suma probabilitatilor
tuturor evenimentelor de forma
, unde indicele
este acelasi pentru toti termenii sumei, iar
indicele
variaza de la un termen la altul, parcurgand
toate valorile de la
la
. Deoarece evenimentele
pentru indici
diferiti sunt incompatibile doua cate doua,
suma
este probabilitatea producerii
unui eveniment oarecare din cele
evenimente
,
. Dar, a spune ca s-a produs un eveniment oarecare din evenimentele
,
, este echivalent cu a spune ca s-a produs evenimentul
. Intr-adevar, daca s-a produs
unul din evenimentele
,
, este evident ca s-a produs si evenimentul
; reciproc, daca s-a produs
evenimentul
, atunci intrucat variabila
aleatoare
ia neaparat una din valorile sale posibile
, trebuie sa se produca si un
eveniment oarecare din evenimentele
,
. Asadar,
fiind probabilitatea producerii unui eveniment
oarecare din evenimentele
,
, este egala cu probabilitatea evenimentului
, adica
.
In mod analog se deduce:
.
Tinand seama de aceste expresii in relatia
, se obtine :

Pentru
mai mult de doua variabile aleatoare, se procedeaza prin inductie. Fie

si se presupune teorema adevarata
pentru
. Atunci :
Aplicand proprietatea pentru doua
variabile aleatoare, se obtine :
PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare
este data de relatia :
.
Demonstratie. 
,
daca se tine
seama de proprietatea precedenta. Mai departe, aplicand de doua ori
proprietatea 1., se obtine :
. 
PROPRIETATEA 6 Fie
si
doua variabile aleatoare independente. Atunci
valoarea medie a produsului acestor variabile aleatoare este egala cu produsul
valorilor medii, adica :
Demonstratie. Se presupune ca variabila aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
, iar variabila aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
. De asemenea :
,
, 
si cum f si g sunt variabile independente:
Fie
; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea
cu probabilitatea
. Prin urmare:


PROPRIETATEA 7 Fie
variabile aleatoare
independente doua cate
cate doua. Atunci dispersia sumei
acestor variabile aleatoare este egala cu suma dispersiilor, adica:
Demonstratie. Din proprietatea 6 se deduce




Daca se tine seama de faptul ca
variabilele aleatoare
sunt independente,
atunci din proprietatea 6 rezulta ca cele doua sume duble de mai sus se reduc si
deci :

.
PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea
lui Cebisev) Fie
o variabila aleatoare si
un numar pozitiv
oarecare. Atunci
,
sau

Demonstratie Fie
o variabila aleatoare
care ia valorile
cu probabilitatile
. Dispersia variabilei aleatoare
este :
Fie
este un numar
oarecare; daca din suma de mai sus se elimina toti termenii pentru care
si raman
numai termenii pentru care
, suma poate numai sa se
micsoreze, adica
.
Aceasta suma se
va micsora si mai mult daca in fiecare termen al ei vom inlocui factorul
prin valoarea
inferioara
:
Suma din partea dreapta reprezinta suma
probabilitatilor tuturor acelor valori
ale variabilei aleatoare
care se abat de la valoarea medie
de o parte si de alta cu mai mult de
; conform proprietatii de
aditivitate a doua evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca
variabila aleatoare
sa ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte,
aceasta suma este
. Adica :
ceea ce permite aprecierea probabilitatii
abaterilor mai mari decat un numar
dat
dinainte, cu conditia numai sa fie cunoscuta dispersia
.
Cu
ajutorul proprietatilor 7 si 8 se poate demonstram urmatorul rezultat foarte
important, cunoscut sub numele de legea numerelor mari.
PROPRIETATEA
9 Fie
un sir de variabile
aleatoare independente care au aceeasi repartitie si deci, aceeasi valoare
medie
si aceeasi dispersie
. Atunci, pentru orice
si
arbitrari,
, exista un numar natural
astfel incat indata ce
, are loc :
Demonstratie. Din proprietatile 1 si 4, se deduce:

si deci, aplicand proprietatea
8, se obtine:
Dar:
,
de unde rezulta:
.
Fiind dati
, se poate determina un numar natural
, care depinde de
si
, astfel incat indata ce
, sa rezulte :
Prin urmare :
Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arata ca
daca variabilele aleatoare
sunt independente si daca au aceeasi medie
si aceeasi
dispersie
, atunci pentru un
suficient de mare, expresia
va diferi oricat de putin de
cu o probabilitate oricat de apropiata de
.
Studiul independentei a doua
variabile aleatoare se poate realiza si prin intermediul coeficientului de
corelatie.
DEFINITIE Se numeste
corelatie a doua variabile aleatoare, media produsului abaterilor
acestora:
.
PROPRIETATE
Demonstratie 







DEFINITIE Se numeste coeficient de
corelatie:
.
TEOREM{ Corelatia a doua variabile aleatoare
independente este nula.
Demonstratie Daca variabilele X, Y sunt
independente, atunci si
, respectiv
sunt independente.
PROPRIET{TI
1)
;
2)
daca si numai daca intre
variabilele X si Y exista o relatie de legatura liniara.
Demonstratie 1) Fie
,
.
, 
. Calculand media
variabilei aleatoare U, se obtine :






.
Calculand discriminantul si impunand conditia
ca acesta sa fie pozitiv, rezulta proprietatea data.
2) Fie
,
,
.



