Modelarea procesului de amestecare ideala

Modelarea procesului de amestecare ideala

1. Caracteristica modelului

Modelul amestecarii ideale prezinta un flux ideal. Conform acestui model, se admite ca fluxul ce alimenteaza amestecatorul se distribuie momentan in tot volumul obtinandu-se astfel o amestecare ideala a tuturor particulelor. Astfel, concentratia substantei se distribuie in toate punctele amestecatorului si fluxul la iesire va fi constant. Aceasta conditie a modelului ideal poate fi prezentata in modul urmator:

  (1)

2. Ecuatia diferentiala a modelului

Pentru a obtine modelul matematic ce ar descrie distribuirea concentratiei in timp, admitem urmatoarele semne:

C_int, C_ies, C - concentratia fluxului la intrare, la iesire si in orice punct al volumului, mol/m³;

V - volumul zonei de amestecare ideala, m³;

υ - viteza volumetrica a fluxului (debitul) la intrarea si la iesirea din volumul de amestecare (pentru sistemele in flux se admite ca υ este constant in orice punct al sistemului), m³/s;

T - timpul, sec;

I_int, I_ies, I - fluxul (cantitatea de substanta) la intrare, la iesire si in orice punct al volumului, mol/s.

Pentru cazul general cantitatea de substanta poate fi prezentata ca produsul dintre debit si concentratie

          (2)

Pentru obiectul studiat fluxurile la intrare si la iesire vor fi:

,     ( 3)

.               (4)

Pentru regimul stabil, cand C_int= const se admite egalitatea I_int=I_ies si acumularea substantei in aparat nu are loc, adica cantitatea de substanta ce a intrat in volum intr-o unitate de timp, este egala cu cantitatea de substanta ce a iesit din el in aceeasi unitate de timp. Dar, pe parcursul lucrului pot aparea si unele perturbatii. Admitem ca, concentratia la intrare la un moment dat s-a marit. Atunci stabilitatea regimului se deregleaza si egalitatea fluxurilor nu se mai respecta

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

In rezultatul acestei perturbari se acumuleaza o oarecare cantitate de substanta ΔM, care poate fi determinata prin integrare:

                                (5)

Modificam ecuatia (5). Pentru aceasta impartim partea stanga si partea dreapta la V si inlocuim I_int(t) si I_ies(t) prin valorile lor:

                         (6)

Partea stanga a ecuatiei (6) reprezinta variatia cantitatii de substanta raportata la o unitate de volum, adica variatia concentratiei ΔC, care poate fi prezentata ca:

         (7)

unde: C(t) - concentratia in orice moment de timp (variabila);

C(0)=const - concentratia la inceputul perturbatiei.

Atunci

             (8)

In urma diferentierii ecuatiei (8) obtinem variatia concentratiei in timp in volumul studiat sau descrierea matematica in forma diferentiala a modelului amestecarii ideale:

                   (9)

Raportul V/υ caracterizeaza durata de timp in care particula se afla in zona de amestecare ideala, de obicei acest raport se noteaza prin τ. Durata de timp τ este un parametru al modelului amestecarii ideale si se determina experimental sau prin calcul.

De obicei, ecuatia diferentiala a modelului ideal se prezinta cu evidentierea parametrului τ:

                    (10)

Forma modelului amestecarii ideale ne indica ca acest model poseda parametri concentrati, deoarece variabila de baza se schimba numai in functie de timp.

Ecuatia (10) in unele surse literare poate fi prezentata si in forma urmatoare:

      (11)

Aceasta ecuatie determina distributia substantei in volumul de structura hidrodinamica a amestecarii ideale.

Se pot  obtine ecuatii analogice dupa forma in cazul studiului variatiei altor parametri ai fluxului in procesul amestecarii ideale, cum ar fi distribuirea temperaturii T:

                             (12)

unde: c_T - capacitatea termica a substantei fluxului;

T - temperatura in orice punct al volumului de amestecare ideala (T=T_ies);

T_in - temperatura fluxului la intrarea in volumul de amestecare ideala.

Ecuatia (12) determina distributia temperaturii intr-un flux de structura hidrodinamica a amestecarii ideale.

Rezolvarea ecuatiei diferentiale a ecuatiei (10).

Pentru rezolvarea ecuatiei diferentiale (10) vom utiliza metoda transferarii Laplace pentru functia C(t) dependenta de timp. Luand in consideratie faptul ca C(t)=C_ies(t) si utilizand legitatile corespunzatoare, scriem ecuatia operationala:

                               (13)

sau

.         (14)

Expresia (14) poarta denumirea de ecuatie operationala a modelului amestecarii ideale (imaginea ecuatiei 10). Deoarece V/υ reprezinta constanta de timp T a obiectului, apoi ecuatia (14) poate fi prezentata ca:

                         (15)

Ecuatia (15) caracterizeaza modelul amestecarii ideale si este functie de trecere. Pentru a obtine rezolvarea definitiva a ecuatiei diferentiale, in domeniul variatiei reale t, este necesar de efectuat transferurile inverse Laplace. Acest transfer in forma generala se prezinta in modul urmator:

       (16)

Functia initiala C_ies(t) poate obtine orice valori pentru diferite marimi ale parametrului la intrare C_int(p), dar de obicei se determina doua cazuri caracteristice:

Pentru obiectul studiat rezolvarile mentionate sunt:

. in cazul semnalului la intrare standard in trepte

                           (17)

. in cazul semnalului la intrare standard impulsiva

                           (18)