Metoda iteratiilor pentru sisteme de ecuatii algebrice neliniare

Fie dat sistemul ecuatiilor cu doua necunoscute

(3.6)

Se cere determinarea solutiilor reale cu aproximatia data.

Rearanjam sistemul (3.6) in felul urmator :

(3.7)

Fie sunt aproximatii nule alese arbitrar pentru solutii cautate. Substituind x = x si y = y₀ in ecuatia echivalenta (3.7) se obtine prima aproximatia:

(3.8)

Obtinand x_1, y₁ si substituindu-le in ecuatia echivalenta (3.7) la fel se obtine a doua aproximatia:

(3.9)

Procedura se repeta pana la determinarea solutiilor x_n , y_n cu precizia data e

Pentru aproximatie n rezulta formula iterativa:

(3.10)

Daca functiile si sunt continue si seriile x₁,x₂, . x_n si y₁,y₂, . y_n sunt convergente, atunci limitele lor reprezinta solutii cautate si pentru sistemul (3.7) , respectiv - pentru sistemul (3.6).

Vom formula fara a demonstra teorema despre conditii de convergenta a procesului iterativ pentru cazul dat.

Teorema : Fie ca in vecinatatea inchisa R (a≤ x≤ A , b≤y≤B) exista una si numai una solutie si a sistemului din doua ecuatii neliniare si atunci, daca :

functii si sunt determinate si au derivate continui in R;

aproximatii initiale si toate cele ulterioare (n =1,2 . ) apartin lui R;

iar in vecinatatea R se indeplinesc inegalitati :

,

(3.11)

,

sau

,

(3.12)

atunci procesul iterativ se converge spre solutia cautata si .

Eroarea de aproximatie pentru iteratia n poate fi apreciata din inegalitatea :

(3.13)

unde: M este numarul maxim din valorile q₁ si q₂ din conditii (3.11) sau (3.12).

Convergenta metodei iteratiilor se considera buna daca sau cand .

Eseu: Sistemul periodic al elementelor Referat: Repartitia unei substante intre doi solventi nemiscibili (Legea de distributie a lui Nernst)

Aplicatia 3.1. Rezolvarea prin metoda iteratiilor a sistemului de ecuatii nelinare

Sa se rezolva cu precizia data ε =0,001, utilizand metoda iteratiilor sistemul din doua ecuatii nelinare:

Rezolvare

Rearanjam sistemul, eliminand partial x si y :

Din analiza ecuatiilor reiese ca domeniul variabilelor care corespunde ambelor ecuatii,sau in care sistemul poate avea o solutie este : si .

Sa verificam convergenta iteratiilor pentru sistemul dat:

;

;

;

.

Avem ca si inegalitatile: si .

Astfel conditia de convergenta se indeplineste.

Luam ca valori initiale ; . Iteratiile se efectueaza dupa formulele :

Rezultatele calculelor se aduna intr-un tabel:

Tabelul 3.1

Raspuns: x 0,1510 ; y