GEOMETRIE PLANA - unghiuri, triunghiul, patrulaterul

GEOMETRIE PLANA

I. Unghiuri:

Se numeste unghi figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine.

         

ascutit () drept

obtuz

alungit

I.1. Unghiuri congruente: doua unghiuri cu masurile egale

Notatie:congruente

I.2.

Unghiuri complementare: doua unghiuri cu suma masurilor lor egala cu

Unghiuri suplementare: doua unghiuri cu suma masurilor lor egala cu

Observatie: Doua unghiuri care au acelasi complement sau suplement sunt congruente.

I.3.

Unghiuri opuse la varf: doua unghiuri care au acelasi varf si laturile unuia sunt in prelungirea celuilalt. Ele sunt congruente.

Unghiurile formate in jurul unui punct au ca suma masurilor lor

Unghiurile adiacente sunt doua unghiuri proprii care au varful comun, o latura comuna, iar celelalte laturi sunt situate de o parte si de alta a dreptei care contine latura comuna.

I.4.

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul unghiului, astfel incat cele doua unghiuri formate de ea cu laturile unghiului initial sa fie congruente.

                   

Propozitii:

Doua unghiuri opuse la varf au bisectoarele in prelungire.

Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal departat de laturile unghiului.

Bisectoarele a doua unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare.

Daca bisectoarele a doua unghiuri adiacente sunt perpendiculare, atunci unghiurile sunt suplementare.

I.5.

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculara pe segment, in mijlocul segmentului.

Drepte perpendiculare sau ortogonale sunt doua drepte congruente care prin intersectia lor formeaza un unghi drept (rezultand patru unghiuri drepte).

Distanta de la un punct la o dreapta este perpendiculara dusa din acel punct pe dreapta.

 - este distanta de la un punct A la o dreapta A.

I.5. Drepte paralele

Definitie: Doua drepte distincte, a si b, continute in acelasi plan, care nu au nici un punct comun, se numesc drepte paralele. Decidaca .

a)     Axioma paralelelor sau axioma lui Euclid: printr-un punct dat, exterior unei drepte date, exista o singura paralela la dreapta data.

b)     Unghiurile formate de doua drepte paralele cu o secanta (sau transversala).

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

               

Teorema: Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sau respectiv perpendiculare sunt congruente, daca si numai daca sunt ambele ascutite sau ambele obtuze si sunt suplementare daca unul este ascutit iar celalalt obtuz.

                           

II. Triunghiul

Definitie: Triunghiul este figura geometrica formata dintr-o reuniune a trei segmente determinate de trei puncte necolineare.

Elemente: 3 laturi: sau trei unghiuri.

Conditii:

Teorema: Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este

Clasificare:

1.dupa laturi: a) echilateral - toate laturile congruente

b) isoscel - are doua laturi congruente

c) scalar - sau oarecare

2. dupa unghiuri a) ascutitunghic - are toate unghiurile ascutite

b) dreptunghic - are un unghi drept

c) obtuzunghic - are un unghi obtuz

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale, deci:

sau

Semiperimetrul:

sau

II.1. Linii importante in triunghi

Mediana este segmentul care uneste varful unui unghi al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Notatie:

Medianele sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste centrul de greutate al triunghiului.

Proprietate: G se afla la de varf sifata de baza.

Bisectoarea interioara este bisectoarea unui unghi dintr-un triunghi. Cele trei bisectoare se intersecteaza intr-un punct notat cu I, care este centrul cercului inscris in triunghi.

Orice punct al bisectoarei este egal departat de laturile unghiului respectiv.

Inaltimea este perpendiculara dusa din varful unui unghi pe latura opusa; se noteaza cu h ( corespunzator cu latura pe care este dusa).

Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentru si se noteaza cu H.

ascutitunghic, H interior                           dreptunghic, H in varful unghiului drept

obtuzunghic, H in exteriorul triunghiului.

Mediatoarea este perpendiculara construita pe latura unui triunghi, in mijlocul laturii.

Scriem ca xy este mediatoarea corespunzatoare laturii (BC) astfel:si

si si.

Mediatoarea si bisectoarea sunt formate din puncte care au toate aceeasi proprietate.

II.2. Proprietati in triunghi

: unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare nealaturate lui.

: Intr-un triunghi, unghiul format de bisectoarea unui unghi cu latura opusa are ca masura semidistanta masuilor unghiurilor triunghiului alaturate acestei laturi plus

: Unghiul format de doua bisectoare (interioare) intr-un triunghi este egal cu + din unghiul al treilea.

: Intr-un triunghi lungimea unei mediane este mai mica decat semisuma lungimilor laturilor adiacente ei.

: Lungimea inaltimii unui triunghi este mai mica decat semisuma lungimilor laturilor care pornesc din acelasi varf.

: Linia mijlocie a unui triunghi este paralela cu baza si are ca lungimedin aceasta.

: Unind mijloacele laturilor unui triunghi se obtin patru triunghiuri congruente.

            

II.3. Congruenta triunghiurilor oarecare:

Definitie: Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile (omoloage) congruente doua cate doua si unghiurile corespunzatoare congruente.

Deci: daca si

Cazuri de congruenta:

Cazul 1:

Cazul 2:

Cazul 3:

Congruenta triunghiurilor dreptunghice:

: Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au catetele respectiv congruente.

: Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si cate un unghi ascutit congruent.

: Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au ipotenuzele congruente si cate unul dintre unghiurile ascutite congruente.

: Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au ipotenuzele si catetele respectiv congruente.

III. Patrulaterul

Definitie: Patrulaterul este figura geometrica care indeplineste conditiile:

a)     oricare trei puncte sunt necolineare

b)     oricare doua din segmente nu au nici un punct interior comun

sau: figura geometrica formata din reuniunea a patru segmente determinate de patru puncte necolineare: din acelasi plan, considerate in ordinea scrisa.

Clasificare:           1. Convex 1. Concav

Segmentul care uneste doua varfuri se numeste diagonala:si  sunt diagonale.

Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este.

Paralelogramul este patrulaterul convex care are  laturile opuse paralele.

Proprietati:

1. Laturile opuse sunt congruente:
2. Unghiurile opuse sunt congruente (egale): A=C, B=D
3. Diagonalele se intersecteaza si formeaza segmente congruente:

4. Unghiurile alaturate aceleiasi laturi sunt suplementare:

Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept (toate unghiurile drepte).

Proprietati:

1.     Laturile opuse sunt congruente

2.     Unghiurile opuse sunt congruente

3.     Diagonalele se intersecteaza si formeaza segmente congruente

4.     Unghiurile alaturate aceleiasi laturi sunt suplementare

5.     Diagonalele sunt congruente

6.     Mediatoarele sunt axe de simetrie

Rombul este paralelogramul care are doua laturi consecutive congruente (toate laturile sale sunt congruente).

Proprietati:

Proprietatile 1,2,3,4 sunt comune cu cele ale dreptunghiului.

5. Diagonalele sunt perpendiculare si sunt bisectoarele unghiurilor lui.
6. Diagonalele sunt axe de simetrie

Patratul este un dreptunghi care are doua laturi consecutive congruente (toate laturile congruente)

Proprietati:

Proprietatile 1,2,3,4,5,6 sunt comune cu cele ale dreptunghiului.

7. Are diagonalele perpendiculare si congruente:si
8. Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor respective

Trapezul este un patrulater care are doua laturi paralele si celelalte doua laturi neparalele.

Inaltimea este distanta dintre cele doua baze.

inaltimea este comuna celor doua baze.

 (trapez oarecare)

Linia mijlocie in trapez este segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele.

      

trapezul cu laturile neparalele congruente se numeste trapez isoscel

Proprietati:

1. Unghiurile alaturate unei baze sunt congruente

2. Diagonalele sunt congruente:

3. Trapezul cu un unghi drept se numeste trapez dreptunghic.