![]()
Matematica
Factorizarea LUFactorizarea LU 1 Breviar teoretic Fie sistemul compatibil determinat Ax = b. (2.4) Factorizarea LU presupune descompunerea matricei A intr-un produs de matrice L · U , unde
Aceasta descompunere este posibila daca toti determinantii de colt ai matricei A sunt nenuli. Pentru a asigura unicitatea descompunerii, trebuie precizate n elemente ale matricei L sau U. In mod traditional, se specifica λii sau µii; daca λii = 1 atunci factorizarea LU se numeste factorizare Doolittle, iar daca µii = 1 se numeste factorizare Crout. Astfel, rezolvarea sistemului (2.4) se reduce la rezolvarea sistemelor triunghiulare Ly = b (2.6) cu solutia
si Ux = y (2.8) cu solutia
2 Problema rezolvata Exercitiul 1 Sa se determine solutia sistemului urmator, folosind factorizarea LU: Sistemul se scrie in forma matriceala: Ax = b, unde
Deoarece rezulta ca matricea A este nesingulara si are toti determinantii de colt nenuli, deci se poate folosi factorizarea LU pentru rezolvarea acestui sistem. REZOLVARE FOLOSIND FACTORIZAREA CROUT A. Factorizarea Crout Presupunem ca
si ne propunem sa determinam coeficientii lij , ujk. Pentru aceasta, folosim definitia inmultirii matricelor. Astfel, avem: a11 = λ11·
1
a12 = λ11·
µ12 a13 = λ11·
µ13 a21= λ21· 1 a22= λ21· µ12 + λ22 · 1 a23 = λ21 · µ13 + λ22
· µ23 a31 = λ31· 1 a32 = λ31 · µ12 + λ32
· 1 a33= λ31· µ13 + λ32
· µ23 + λ33 · 1
sau B. Rezolvarea sistemelor triunghiulare Pentru rezolvarea sistemului initial, avem de rezolvat doua sisteme triungiulare: a carui solutie este
si respectiv:
a carui solutie este
REZOLVARE FOLOSIND FACTORIZAREA DOOLITTLE A. Factorizarea Doolittle Presupunem ca
si ne propunem sa determinam coeficientii lij , µjk , la fel ca si in exemplul precedent. Astfel avem: a11= 1 · µ11 a12= 1 · µ12 a13= 1 · µ13 a21= λ21· µ11
a22= λ21· µ12 + 1 · µ22 a23 = λ21· µ13 + 1 · µ23 a31 = λ31· µ11 a32 = λ31· µ12 + λ32 · µ22 a33 = λ31· µ13 + λ32
· µ23 + 1 · µ33 sau
B. Rezolvarea sistemelor triunghiulare Pentru rezolvarea sistemului initial, avem de rezolvat doua sisteme triungiulare: a carui solutie este
si respectiv:
a carui solutie este
3 Implementare A. Algoritm Date de intrare: un sistem de ecuatii. Date de iesire: solutia sistemului Algoritmul consta din urmatoarele etape: 1. generarea matricei A a sistemului, si a vectorului coloana b . n = numarul de linii ale matricei A (numarul de ecuatii ale sistemului) 2. a) factorizarea Crout pentru
i = µii= 1 pentru i = pentru j = pentru j = b) factorizarea Doolittle pentru i = λii= 1 pentru i = pentru j = pentru j =
3. Rezolvarea celor doua sisteme triunghiulare pentru
i = pentru
i = B. Programe MAPLE si rezultate 2.3 Sisteme tridiagonale 2.4 Factorizarea Cholesky 2.5 Factorizarea Householder Factorizarea Householder este o metoda de rezolvare numerica a sistemelor de tip Cramer simetrice, si consta in determinarea unei matrice simetrice nesingulare U , astfel incat UAU = T sa fie o matrice tridiagonala 2.6 Metoda Jacobi Metoda Jacobi este o metoda iterativa de rezolvare a sistemelor liniare de forma Ax = b. 2.7 Metoda Gauss-Seidel Metoda Gauss-Seidel este o metoda de rezolvare numerica a sistemelor de tip Cramer, prin aproximatii succesive. 2.8. Metoda relaxarii succesive Metoda relaxarii succesive este o metoda de rezolvare numerica a sistemelor de tip Cramer, prin aproximatii succesive.
|