Evenimente - operatii cu evenimente

Evenimentul este o notiune fundamentala, primara a calculului probabilitatatilor.

Definitia 1.1.1 Experienta consta in realizarea unui sistem de conditii.

Definitia 1.1.2 Evenimentul este rezultatul unei experiente. Exista trei tipuri de evenimente relative la orice experienta fixata:

i)            evenimentul sigur este evenimentul,care se produce in mod obligatoriu la realizarea experientei;

ii)          evenimentul imposibil este evenimentul,care nu poate sa apara la realizarea experientei;

iii)        evenimentul aleator este evenimentul,care poate sau nu sa apara la realizare experientei.

Din punct de vedere al logicii formale daca conditiile care definesc experienta considerate sunt suficiente pentru aparitia unui eveniment, aceasta este cert. Daca conditiile sunt necesare fara a fi suficiente, pentru aparitia unui eveniment, atunci aceasta este aleator. Daca ele nu sunt necesare pentru aparitia evenimentului, aceasta este evenimentul imposibil.

In cadrul acestei carti vom nota cu evenimentul sigur, cu evenimentul imposibil, iar evenimentele aleatoare atasate unei experiente cu litere mari ale alfabetului: A,B,C, . , respectiv cu litere indexate . unde 0 este o multime de indici.

Operatii cu evenimente

Intre evenimente asociate unei experiente pot exista relatii.

Definitia 1.2.1 Vom spune ca evenimentul A este inclus (sau implica) evenimentul B daca aparitia evenimentului A atrage dupa sine si aparitia evenimentului B.

Implicarea evenimentelor se noteaza prin AB.

Proprietati:

i)            AA, adica reflexivitatea relatiei de includere;

ii)          din AB si BC rezulta ca AC, adica tranzitivitatea relatiei de includere;

iii)        pentru un eveniment aleator A avem A.

Definitia 1.2.2 Vom spune ca evenimentul aleator A este egal cu evenimentul aleator B, daca AB si BA.

Egalitatea evenimentelor se noteaza prin A=B.

Proprietati:

i)            A=A, adica reflexivitatea;

ii)          A=B si B=C implica A=C, adica tranzitivitatea;

iii)        A=B implica B=A, adica simetria.

Definitia 1.2.3 Se numeste reuniunea evenimentelor A si B un alt eveniment, care apare daca cel putin unul din evenimentele A sau B se realizeaza.

Evenimentul reuninune se noteaza prin AB.

Proprietati;

i)            (AB)C=A(BC), asociativitatea reuniunii;

ii)          AB=BA, comutativitatea reuniunii;

iii)        A=A=A, evenimentul imposibil este element neutru;

iv)        AA=A, idempotenta reuniunii;

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

v)          AAB si BAB;

vi)        A=A=.

Operatia de reuniune a evenimentelor se poate generaliza pentru o familie de evenimente , unde este o multime de indici. Prin reuniunea evenimentelor () se intelege un nou eveniment, notat cu A, care apare cand cel putin unul din evenimentele A, are loc.

Definitia 1.2.4 Se numeste intersectia evenimentelor A si B un alt eveniment, care apare atunci cand si evenimentul A si evenimentul B se realizeaza.

Evenimentul intersectie se noteaza prin AB.

Proprietati:

i)            (AB)C=A(BC), asociativitatea intersectiei;

ii)          AB=BA, comutativitatea intersectiei;

iii)        A=A=A, evenimentul sigur este elementul neutru;

iv)        AA=A , idempotenta intersectiei;

v)          ABA si ABB;

vi)        A=A=.

Operatia de intersectie a evenimentelor se poate generaliza pentru o familie de evenimente (), unde este o multime de indici. Prin intersectia evenimentelor () se intelege un nou eveniment, notat cu , care apare cand se realizeaza toate evenimentele , .

Cele doua operatii se leaga intre ele prin:

i)            A(AB)=A si A(AB)=A, absorbtia;

ii)          A(BC)=(AB)(AC) si A(BC)=(AB)(AC), distributivitatea.

Definitia 1.2.5 Evenimentele A si B se numesc incompatibile, daca AB=.

Definitia 1.2.6 Se numeste diferenta evenimentelor A si B un alt eveniment, care apare atunci cand se realizeaza evenimentul A si evenimentul B nu se realizeaza.

Evenimentul diferenta se noteaza prin AB.

Proprietati:

i)            AB=A(AB) si AB= (AB)B;

ii)          (AB)(BA)=

iii)        (AB) (AB)=A si (BA)(AB)=B;

iv)        AB=A(BA)=B(AB).

Definitia 1.2.7 Se numeste diferenta simetrica a evenimentelor A si B evenimentul notat cu AB si definit prin AB AB)(BA). Prin urmare AB se realizeaza daca dintre evenimentele A si B apare numai unul.

Proprietati

i)            AB=(AB)(AB);

ii)          (AB)C=A(BC), asociativitatea;

iii)        AB=BA, comutativitatea;

iv)        A=A=A, evenimentul imposibil este element neutru;

v)          AA=, daca orice eveniment admite pe el insusi ca element simetric;

vi)        A(BC)=(AB)(AC).

Definitia 1.2.8 Se numeste contrar evenimentului A un eveniment,notat cu , care are loc atunci si numai atunci cand A nu se realizeaza. Din definitie rezulta =-A.

Proprietati

i)            A= si A=;

ii)          == si =-=;

iii)        ()=A.

Teorema 1.2.1 (legile lui de Morgan).

Daca () este o familie de evenimente atunci au loc relatiile:

i) =;

ii) =.

Demonstratie. Conform definitiei 1.2.2 este de ajuns sa aratam dubla incluziune. Avem conform definitiei 1.2.8 =, deci se realizeaza atunci si numai atunci cand nu se realizeaza, adica daca si numai daca nici un eveniment nu se realizeaza, adica daca si numai daca se realizeaza pentru fiecare iI, adica are loc .

Definitia 1.2.9 Se numeste limita superioara a familiei de evenimente () evenimentul notat cu =limsup() si definit prin

=sup()=.

Se observa imediat ca se realizeaza daca si numai daca se realizeaza o infinitate dintre evenimentele ().

Definitia 1.2.10 Se numeste limita inferioara a familiei de evenimente () evenimentul notat cu = si definit prin

==.

Teorema 1.2.2 Pentru familia de evenimente au loc relatiile:

i) =,

ii) =.

Fie date evenimentul B si evenimentele .

Definitia 1.2.11 Vom spune ca evenimentele formeaza o descompunere a evenimentului B, daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

i)            B=;

ii)          = pentru orice , cu .

Teorema 1.2.3 Daca se alege multimea de indici  I= atunci familia de evenimente formeaza o descompunere a evenimentului B =.

Teorema 1.2.4 Daca se alege multimea de indici I=N*, atunci familia de evenimente formeaza o descompunere a evenimentului B=.

Definitia 1.2.12 Vom spune ca evenimentele formeaza un sistem complet de evenimente , daca formeaza o descompunere a evenimentului sigur .

Teorema 1.2.5 Daca evenimentele formeaza un sistem complet de evenimente atunci pentru orice eveniment B , evenimentele formeaza o descompunere a evenimentului B.

Demonstratie. Avem:

i) === si

ii) === pentru orice cu .