Derivate laterale, legatura intre derivata intr-un punct si derivatele laterale

Derivate laterale

Intoducere in studiul derivatelor , derivabilitatii , laterale :

- Fie o functie si un punct ;

- Daca sau atunci are sens sa studiem existenta derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei in

Definitia derivatei , derivabilitatii , la stanga :

- Se spune ca functia are derivata la stanga in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la stanga in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Definitia derivatei , derivabilitatii , la dreapta :

- Se spune ca functia are derivata la dreapta in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la dreapta in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .

Legatura intre derivata intr-un punct si derivatele laterale

Fie functia si , un interval sau reuniune de intervale , unde nu este extremitate de interval .

Se poate da o caracterizare a faptului ca are derivata ( este derivabila ) in cu ajutorul derivatelor laterale in , mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema :

1). Functia are derivata in are derivate laterale in si :

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

.

2). Functia este derivabila in este derivabila bilateral in si :

.

Exercitii

Exercitiul nr. 1 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor in punctele indicate :

a). ;

b). ;

c). ;

d). ;

e). ;

f). ;

g). ;

h). ;

i). ;

j). ;

k). ;

l). ;

m). ;

n). ;

o). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in punctele indicate :

a). , , ;

b). , ;

c). , ;

d). , ;

e). , ;

f). , ;

g). , .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( ) , in punctele indicate :

a). ;

b). ;

c). ;

d). ;

e). ;

f). ;

g). ;

h). .

Exercitiul nr. 4 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul ?

Exercitiul nr. 5 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul ?

Exercitiul nr. 6 :

Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele functii sunt derivabile in punctele

specificate . Sa se calculeze derivata in fiecare caz in parte :

a). , oricare ar fi , ;

b). , oricare ar fi , ;

c). , oricare ar fi , ;

d). , oricare ar fi ,

e). , oricare ar fi , ;

f). , ,

g). , , .

Exercitiul nr. 7 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .

Exercitiul nr. 8 :

Fie functia definita prin .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .

Exercitiul nr. 9 :

Fie functia definita prin .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .