Schimbul de caldura insotit de schimbul de masa - difuzia moleculara si difuzia convectiva

1. Difuzia moleculara si difuzia convectiva

1.1. Definitii si notiuni de baza pentru transferul de masa

Asa cum in cazul conductiei si convectiei apare un schimb de caldura intre zone de temperaturi diferite, tot asa apare un schimb de substanta a unui component masic al unui amestec, intre zone cu concentratii diferite. Ambele procese sunt spontane si ireversibile, transferul de caldura realizandu-se datorita unui gradient de temperatura, iar transferul de masa fiind rodul existentei unui gradient de concentratie. Acest transfer de masa apare in faza lichida sau gazoasa sau in cazul amestecurilor celor doua faze, putand fi insotit de un schimb important de caldura.

La mediile in miscare schimbul de substanta se face prin deplasarea maselor finite de fluid, transportul lor numindu-se convectiv, sau de difuziune turbulenta. Fenomenul este asemanator convectiei termice si parametri procesului depind de proprietatile de transport ale fluidului si de caracteristicile fluidodinamice ale procesului, la fel ca la convectia termica. La mediile stationare schimbul de substanta se face prin deplasarea unor mase infinit mici, transportul de substanta fiind un transport molecular (difuziune moleculara). Aceasta e analoga conductiei termice si are loc datorita tendintei de uniformizare a concentratiei prin miscarea dezordonata a particulelor. Pe langa difuzia produsa de diferenta de concentratie mai poate apare si difuzia termica (efectul Soret) care apare datorita tendintei care apare in amestecuri ca moleculele cu mase mai mari sa se deplaseze in zonele cu temperatura mai scazuta. In plus poate apare si o difuziune de presiune, cauzata de diferentele de presiune care apar in diferite zone ale unui amestec si care pot avea efecte diferite asupra diferitelor componente ale amestecului.

Cele mai importante marimi utilizate pentru a descrie procesele de transfer de masa sunt [2]:

Concentratia masica:

                                 [kg/m³] (1)

care nu trebuie confundata cu densitatea amestecului, deoarece m_i este masa componentei i, iar volumul V este volumul intregului amestec.

Concentratia molara:

                                  [kmol/m³] (2)

unde n_i reprezinta numarul de moli a componentei i. Legatura intre concentratia masica si cea molara e data de masa moleculara a elementului i, M_i:

Daca cunoastem concentratiile tuturor componentelor unui amestec atunci putem obtine densitatea amestecului, respectiv numarul de moli pe unitatea de volum a amestecului:

     ;

Presiunea partiala a componentei in amestec (la gaze):

[Pa] (3)

unde R = 8314 J/kmolK, este constanta universala a gazelor, iar R_i [kg/kmolK] este constanta caracteristica a gazului care are o valoare bine definita pentru fiecare gaz in parte.

Participatia (fractia) masica:

(4)

Participatia (fractia) molara:

(5)

Debitul masic (al curentului de difuziune) a unei componente:

                    [kg/s] (6.6)

unde τ este timpul in care este transportata cantitatea m_i din componenta i.

Fluxul masic (unitar):

                                 [kg/(s m²)]                                 (7)

unde A este aria suprafetei prin care trece curentul de difuziune, perpendiculara pe directia acestuia.

Fluxul molar (unitar):

                                [kmol/(s m²)]                             (8)

Viteza medie masica a amestecului multiconponent:

                         [m/s] (9)

Document online: Structura sistemelor vitroase Document online: Parasimpatomimeticele - medicamentele parasimpatomimetice si acetilcolina

Viteza molara a amestecului:

  [m/s] (10)

1.2. Legea lui Fick

Pentru difuzia moleculara (unidimensionala) legea fundamentala este legea lui Fick, care poate fi intalnita sub mai multe forme, toate exprimand aceeasi dependenta [3, 24]:

adica, pentru un amestec format din doua componente, A si B, pentru care deplasarea are loc pe o singura directie, z,  vom putea scrie:

(11)

sau:

(12)

Intre cele doua fluxuri exista relatia evidenta: j_A = J_A M_A iar intre marimile specifice celor doua componente si cele ale amestecului sunt legate de relatiile:

ρ = ρ_A + ρ_B ; C = C_A + C_B ; g_a = ρ_A /ρ ; x_A = C_A /C

Marimea D_AB se numeste coeficientul de difuziune (a componentei A prin componenta B), in [m²/s]. Se observa ca aceste relatii (11 si 12) sunt similare cu ecuatia conductiei (legea lui Fourier, relatia 2.3), deci coeficientul de difuziune e analog conductivitatii termice, λ, din legea lui Fourier. Conform relatiilor 11 si 12 pentru coeficientul de difuziune putem scrie:

                  [m²/s] (13)

acesta fiind o proprietate specifica a amestecului, care depinde de compozitia sa de temperatura si presiune. Pentru amestecuri bicomponente ale diferitelor gaze (NH₃, CO₂, H₂O, O₂, etc.) cu aerul, sau pentru solutii apoase, in literatura de specialitate [2] se dau valorile coeficientului de difuziune la diferite temperaturi.

Pentru amestec se poate scrie ca si pentru substanta omogena o relatie care sa exprime continuitatea curgerii respectivului amestec. Desi se pleaca de la premise diferite si se studiaza miscarea tuturor componentelor din amestec, in final se ajunge la o relatie identica cu 3.8:

Se poate demonstra [2, 3] ca daca amestecul nu se deplaseaza, deci w = 0, si daca densitatea si difuzivitatea sunt constante, putem obtine urmatoarea relatie, cunoscuta ca a doua lege a lui Fick:

                                                                  (14)

Relatia 14 nu se poate aplica in orice situatie la transferul de masa; ea e valabila doar pentru corpuri solide, lichide stationare si amestecuri binare de lichide sau gaze pentru care avem w_A = -w_B. Totusi, a doua lege a lui Fick e importanta deoarece e analoga cu ecuatia generala a conductiei, 2.16, scrisa fara surse interne de caldura sub forma:

Acest lucru inseamna ca pentru transferul de masa prin mediile care indeplinesc conditiile impuse de legea a doua a lui Fick se pot scrie relatii analoage, pornind de la ecuatiile stabilite pentru conductie pentru pereti plani, respectiv cilindrici.

1.3. Difuzia masica prin medii cu geometrii simple

a)      mediu plan

Daca se considera un mediu in repaus, cu grosimea δ prin care difuzeaza o componenta A prin componenta B, in regim stationar, fara surse interne de masa datorate unor reactii chimice (v. fig. 1) se porneste de la ecuatia 14, care pentru concentratia masica, respectiv molara va avea formele:

                           (15)

In continuare vom deduce relatiile pentru concentratiile molare, cele pentru concentratiile masice scriindu-se similar. Integram relatia corespunzatoare 15 si obtinem succesiv:

                                                                (16)

                                                                 (17)

unde P si R sunt constante de integrare. Punand conditiile la limita vom determina aceste constante. Pentru suprafata din stanga, S₁, vom avea z = 0, x_A = x_A,S1, de unde rezulta valoarea lui P:

Pentru suprafata din dreapta, S₂, vom avea z = δ, x_A = x_A,S2, de unde rezulta valoarea lui R:

Daca inlocuim expresiile obtinute pentru constantele P si R in relatia 17 vom obtine distributia de concentratie molara a substantei A prin stratul plan de amestec A + B:

(18)

iar pentru fluxul molar unitar vom avea:

[kmol/(m²s)] (19)

iar debitul molar se obtine prin inmultirea cu aria A.

[kmol/s] (20)

care pentru debitul masic devine:

          [kg/s] (20')

care sunt similare relatiei de calcul a fluxului de caldura prin pereti plani, relatia 2.23, daca o inmultim cu aria A si o rearanjam:

b). mediu cilindric

Situatia mediului cilindric este schitata in figura 2. Fara a mai face demonstratia putem scrie relatiile de calcul pentru distributia de concentratie, fluxul molar si masic pe unitatea de lungime:

pentru distributia de concentratie pe raza, vom avea o relatie similara ecuatiei 2.40:

(21)

- pentru fluxul molar pe unitatea de lungime, vom avea o relatie similara relatiei 2.37:

                      (22)

iar daca dorim sa scriem relatia debitului molar, relatia 22 trebuie inmultita cu lungimea L. Fluxul masic, respectiv debitul masic se obtin inlocuind marimile omoloage pentru cele doua moduri de masurare a concentratiei.

2. Studiul transferului convectiv de substanta cu ajutorul teoriei similitudinii

2.1. Stabilirea triplei analogii

Transferul de masa convectiv reprezinta transportul de substanta intre un fluid in miscare si o interfata, care poate fi suprafata unui solid sau a unui lichid, dar si o suprafata conventionala intre o zona de fluid stationara si un curent de fluid care trece pe langa aceasta. Fenomenul este analog convectiei termice, si asa cum la convectia termica am avut conductie in stratul limita si convectie propriuzisa in masa fluidului, asa vom avea si in acest caz difuziune moleculara intr-un asa numit strat limita masic, respectiv o miscare de amestec in afara acestui strat. De cele mai multe ori transferul convectiv de masa este insotit si de un transfer de caldura.

Pornind de la a doua lege a lui Fick, la care adaugam conditia ca fluidul sa fie in miscare se poate obtine o relatie de forma:

Pe de alta parte, in capitolul 2 am scris relatiile de baza ale convectiei, iar ecuatia de miscare, 3.18, scrisa pentru un mediu incompresibil, fara cadere de presiune si fara forte exterioare, va avea forma:

In fine, ecuatia transmiterii caldurii pentru medii in miscare in regim stationar (fara comprimare) se poate scrie conform 3.23:

Cele trei ecuatii sunt analoage si contin trei marimi fizice diferite, D, ν si a, dar care toate se masoara in aceeasi unitate de masura [m²/s] si care sunt determinante pentru schimbul de substanta, impulsuri si caldura. Rezolvarea celor trei ecuatii analoage ar conduce la determinarea campurilor de concentratii, de viteze si de temperaturi. La fel cum pentru convectie nu am putut rezolva ecuatiile diferentiale obtinute, nici in cazul schimbului de masa nu putem rezolva ecuatiile obtinute, decat in cateva situatii foarte simple. In cazurile reale, care apar in practica inginereasca, trebuie sa facem apel la teoria similitudinii, la fel ca la convectia termica. Astfel, pentru transferul de masa, , putem scrie o ecuatie analoaga legii lui Newton de la convectie, care in cazul difuziei turbulente va avea forma:

[kg/(m²s)] (23)

unde j_A este fluxul masic unitar al componentei A, k_C este coeficientul de transfer de masa  in [m/s], iar ρ_Ai, respectiv ρ_A sunt concentratiile masice ale substantei A la interfata considerata, respectiv la distanta de aceasta interfata. Dupa cum se poate observa coeficientul de transfer de masa, k_C, joaca rolul lui coeficientului de convectie de la schimbul de caldura, iar la determinarea lui vom folosi, la fel ca si in cazul lui α, ecuatii criteriale corespunzatoare fiecarui caz de transfer de masa in parte. In aceste ecuatii criteriale, pe langa criteriile de similitudine cunoscute de la convectie (Re, Pr, Nu, Gr) mai intalnim si criterii specifice, cum ar fi:

Criteriul Schmidt (Sc) similar criteriului Prandtl, este raportul intre difuzivitatea impulsului (vascozitatea cinematica) si difuzivitatea masei.

                                                                (24)

2. Criteriul Lewis (Le), este raportul dintre difuzivitatea termica si cea a masei:

(25)

3. Criteriul Grashoff pentru transferul de masa (Gr*):

(26)

4. Criteriul Sherwood (Sh) care este analog criteriului Nussert de la convectie, este raportul dintre rezistenta la transferul de masa prin difuziune moleculara si rezistenta la transferul de masa prin difuziune turbulenta, l fiind lungimea caracteristica, in [m]:

(27)

Ecuatiile criteriale de la transferul de masa convectiv sunt de forma:

- transfer de masa fortat (28)

- transfer de masa liber, natural (29)

Relatiile exacte se gasesc in literatura de specialitate.

2.2. Limitele triplei analogii

Tripla analogie ne permite ca in unele cazuri in care si conditiile de contur sunt analoage, sa putem folosi pentru difuziune aceleasi ecuatii criteriale ca si pentru convectie, punand in loc de Nu criteriul Sh, iar in loc de Pr, criteriul Sc. In realitate constantele a, ν si D, care apar in cele trei ecuatii analoage, difera mult cu temperatura, dar si cu alti factori, iar variatiile lor nu mai sunt analoage. De aceea, daca dorim sa preluam pentru difuziune ecuatiile criteriale obtinute la convectie, trebuie sp facem mici corectii ale coeficientilor si exponentilor. De exemplu, una dintre cele mai utilizate ecuatii criteriale de la convectia turbulenta in tevi circulare este relatia lui Miheev:

iar pentru transferul de masa convectiv la curgerea turbulenta in conducte se poate utiliza relatia:

Se observa ca cele doua relatii se aseamana, dar coeficientii si exponentii difera usor, ceea ce ne indica limitele triplei analogii.