Puncte de optim (puncte de extrem)

Puncte de optim (puncte de extrem)

1.Extreme de functii nesupuse la legaturi

3.1.1. Puncte de optim pentru functii de o singura variabila

Fie interval din , de n ori derivabila. O conditie necesara ca sa fie punct de extrem este . Mai general avem urmatorul rezultat [36]:

daca

atunci:

1. Daca n este par si atunci a este punct de minim.

2. Daca n este impar si atunci a este punct de maxim.

3. Daca n este impar atunci a nu este punct de extrem pentru functia ; el se numeste punct de inflexiune.

Observatia 1.9. Convenim sa numim puncte de extrem ale unei functii, punctele de maxim sau de minim ale acestei functii.

Daca dintre aceste puncte reusim sa separam punctele care dau valoarea cea mai mare, respectiv cea mai mica a functiei, acestea le vom numi puncte de maxim respectiv de minim absolut.

In cazul in care functia admite un singur maxim si (sau) un singur minim acestea vor fi considerate totdeauna puncte de extrem absolute.

Exemplu: Sa se determine punctele de optim pentru

Avem:                

       

In concluzie:       punct de minim

1.2. Puncte de extrem pentru functii de doua variabile

Se considera functia de 2 variabile si punctele .

Definitia 1.2. Spunem ca punctul de minim al functiei daca exista vecinatatea V a punctului asa incat .

In mod uzual un astfel de punct se numeste punct de minim relativ sau punct de minim local.

Daca are loc inegalitatea: punctul il numim punct de minim absolut.

Definitia Punctul se numeste punct de maxim pentru functia daca exista o vecinatate V a punctului asa incat

Uzual un astfel de punct il numim punct de maxim relativ sau punct de maxim local.

Daca acest punct il numim punct de maxim absolut al functiei .

In cele ce urmeaza vom caracteriza analitic proprietatile punctelor de extrem x si vom da o metodologie de determinare a acestora.

Teorema 1.2.[36], [38]:

Daca sunt indeplinite conditiile:

1) este punct de extrem (maxim sau minim) al functiei .

2) Functia este derivabila partial in raport cu ambele variabile (deci exista derivatele partiale de ordinul intai). Atunci au loc egalitatile:

Observatia 1.10. Din aceasta teorema rezulta ca o conditie necesara (dar nu si suficienta) a unui punct sa fie punct de extrem pentru functia este indeplinirea egalitatilor:

sau, ceea ce este echivalent, punctul este solutie a sistemului:

                           (1.3)

Un punct care este solutie a sistemului (1.3) se numeste stationar a functiei , de aici putem trage concluzia ca punctele de extrem ale functiei se gasesc prin punctele stationare ale functiei .

Teorema

Analiza: Importanta turismului pentru economia romaneasca - potential Analiza: Desfasurarea licitatiei pentru reabilitarea tamplariei exterioare a liceului teoretic "ion mihalache" topoloveni

Presupunem ca functia admite derivate partiale pana la ordinul 3 inclusiv si ca punctul este punct stationar al functiei .

Au loc proprietatile urmatoare:

1)     Daca:

atunci punctul este punct de minim pentru functia .

2)     Daca:

atunci punctul este punct de maxim pentru functia .

3)     Daca:

punctul nu este punct de extrem pentru functia .

Observatia 1.4. Daca:

,

atunci despre punctul nu se poate preciza nimic in legatura cu posibilitatea de a fi punct de extrem.

Exemplu   Sa se determine punctele de extrem pentru functia data de .

Determinam punctele stationare ale acestei functii rezolvand sistemul urmator:

Calculam derivatele partiale de ordinal II:

Cazul I. Consideram punctul stationar .

nu este punct de extrem.

Cazul II.

Deci (1, 1) este punct de minim.

2. Extreme cu legaturi

2.1. Formularea problemei

Problemele punctelor de extrem pentru functii supuse la restrictii (legaturi) reprezinta problema centrala in teoria punctelor de extrem. Acest rol central nu deriva din faptul ca extremele cu legaturi si-ar gasi o mare aplicabilitate in practica, ci faptul ca studiind acest capitol, in afara rezultatelor specifice sunt prezentate o serie de rezultate teoretice utile in studiul problemei de exterior in general.

Formularea corecta a unei probleme de extreme cu restrictii este urmatoarea:

Fie functia de eficienta careia dorim sa-i gasim punctele de maxim sau de minim.

Consideram de asemenea functiile cu ajutorul carora se definesc restrictiile problemei analizate. Astfel de restrictii apar uzual in forma urmatoare:

unde sunt marimi cunoscute.

O problema de extrem cu restrictii in forma ei cea mai generala apare in felul urmator:

      (1.4)

Daca se noteaza cu D multimea solutiilor sistemului de restrictii (1.4), atunci problema determinarii punctelor de extrem ale functiei supuse la restrictiile (1.4) se reduce de fapt la determinarea punctelor de extrem ale lui pe domeniul D.

Deoarece rezolvarea sistemului (1.4) este in general extrem de dificila s-au incercat metode de determinare a punctelor de extrem pentru functia supusa la restrictiile (1.4), care nu apeleaza la rezolvarea sistemului (1.4).

Cazul cel mai simplu este acela in care restrictiile sistemului (1.4) sunt de tip egalitate. O astfel de problema se numeste uzual problema de extrem cu legaturi si face obiectul celor prezentate in continuare. Rezolvarea ei se face relativ comod utilizand rezultate cunoscute ale calcului diferential (indeosebi notiunea de derivabilitate partiala).

In cazul in care in (1.4) apare cel putin o inegalitate punctele de extrem ale functiei se gasesc in mod obisnuit pe frontiera domeniului D (adica acolo unde practic nu se pune problema derivabilitatii partiale) si prin urmare metodele bazate pe rezultate ale calcului diferential nu mai sunt valabile. De aceea rezolvarea unor astfel de probleme (care sunt cele mai des intalnite in practica) a fost realizata abia in ultimii ani. Prima metoda se datoreaza matematicianului Dantzig si a aparut in 1947 in legatura cu rezolvarea unei probleme de optimizare liniara (adica a unei probleme de optimizare in care functiile sunt liniare - adica variabilele apar la puterea 1).

Ulterior au fost elaborate si alte metode pentru rezolvarea unei probleme de optimizare cu restrictii mai generale. Este bine de stiut insa ca o problema oarecare de optimizare cu restrictii la acest moment nu se poate rezolva in general.

2.2. Rezolvarea problemei si interpretarea rezultatelor

Consideram o prima problema de extrem in forma generala:

      (1.5)

Putem considera membrul drept egal cu 0 deoarece prin trecerea constantelor in membrul stang si prin notarea , suntem condusi la o problema echivalenta cu cea data anterior.

Pentru rezolvarea problemei (3.3) consideram functia lui Lagrange L, definita prin egalitatea:

Scalarii notati ce apar in constructia functiei L se numesc multiplicatorii lui Lagrange si din punct de vedere economic reprezinta asa-numitele preturi - umbra.

Se calculeaza punctele stationare ale functiei lui Lagrange, adica se rezolva sistemul:

        (1.6)

Deoarece .

Sistemul (1.6) se poate scrie in urmatoarea reprezentare:

               (1.7)

Fie o solutie a sistemului (3.5) aceasta inseamna ca acest punct este stationar pentru functia lui Lagrange L. Se poate demonstra usor ca daca este punct stationar pentru L atunci este punct stationar pentru f supus restrictiilor .

Adica:

             (1.8)

Deoarece punctele de extrem ale unei functii de mai multe variabile se gasesc printre punctele ei stationare in baza celor spuse mai inainte, punctele de extrem ale lui f supuse la legaturile se vor gasi printre punctele stationare ale functiei lui Lagrange.

Fieun punct stationar pentru f supus la restrictiile . Calculam diferenta pentru toate punctele supuse restrictiilor .

In baza egalitatilor (3.6) rezulta imediat egalitatea:

Deci pentru a determina daca punctul stationar este punct de extrem, vom evalua diferenta urmatoare:

Presupunem ca functiile sunt derivabile partial pana la ordinul 3 inclusiv. Aplicand formula lui Taylor pentru functiile de mai multe variabile pana la ordinul 2 (se mai spune de ordinul 2) avem egalitatea:

(1.9)

Derivatele partiale de ordinul 1 si 2 care apar in egalitatea (1.9) sunt calculate in punctul .

Deoarece punctul este stationar pentru L avem:

- restul R₂ se poate demonstra ca este neglijabil;

- diferentele reprezinta cresterile argumentelor, le vom nota ( reprezinta de fapt diferentiala functiei ).

Egalitatea (1.9) va deveni:

Se observa ca membrul stang din egalitatea anterioara de fapt cresterea functiei L in punctul este tinand seama de forma membrul drept o forma patratica in variabilele .

Notam aceasta forma patratica prin .

Avem prin urmare egalitatile:

(1.10)

Deoarece punctul verifica restrictiile problemei avem egalitatea:

     (1.11)

Diferentiem egalitatile (1.11):

                         (1.12)

Egalitatile (1.12) pot fi interpretate ca ecuatiile unui sistem de m ecuatii si n necunoscute, aceste necunoscute fiind . Se poate demonstra ca determinantul urmator:

este nenul si atunci sistemul (3.10) se poate rezolva in baza teoremei lui Cramer. Vom explicita m din cele n variabile . Aceasta inseamna ca vom ramane doar cu variabile independente. Pentru comoditate vom presupune ca aceste variabile independente sunt .

Introducand variabilele gasite (in sensul de a fi variabile gasite in urma rezolvarii sistemului) in egalitatile (3.8) obtinem:

Unde coeficientii sunt obtinuti in urma inlocuirii in (3.8) regruparii si renumerotarii. Practic am obtinut o forma patratica in variabilele .

Daca aceasta forma patratica pastreaza semn constant atunci punctul este punct de extrem. Mai presus, daca forma patratica este pozitiv definita vom avea punct de minim, iar daca forma patratica este negativ definita vom avea punct de maxim.

Observatia 1.12. Conditia ca forma patratica sa fie pozitiv definita este echivalenta cu conditia:

   (1.13)

unde:

Concentrat conditia (1.13) se scrie sub forma:

Observatia 1.13. Conditia ca forma patratica sa fie negativa definita este echivalenta cu faptul ca:

Determinantii sunt cei dati anterior.