Lucrare de laborator la econometrie - modelul heteroscedastic

Se cunosc urmatoarele date privind cheltuielile guvernamentale pentru educatie (y) si produsul intern brut (X) in milioane u.m. pentru o perioada de timp analizata de 34 ani:

Tabelul 1

Se cere:

1.  Sa se specifice modelul;

2.  Sa se detecteze eteroscedasticitatea modelului cu ajutorul testului Goldfeld-Quandt

3.  Sa se aplice testul Gleisjer.

Heteroscedasticitate – dispersia valorilor reziduale este variabila in raport cu observatiile succesive.

Rezolvare:

1. Sa se specifice modelul

Pentru specificarea modelului :

a) vom utiliza graficul de corelatie dintre Y si X (Corelograma);

Fig.1 Corelatia dintre cheltuielile pentru educatie si PIB

Concluzie: Din grafic observam ca ditributia punctelor empirice sunt aproximativ aranjate pe o dreapta, deci modelul econometric se transforma intr-un model liniar unifactorial: y= a+bx+u,

Unde:

a si b reprezinta parametrii modelului;

b reprezinta panta dreptei

u – variabila aleatoare, eroarea care apare din cauza diferitor factori neinclusi in model.

b) Estimam modelul de regresie

Vom estima valorile parametrilor modelului in baza M.C.M.M.P

= min

M.C.M.M.P. presupune ca suma patratelor abaterilor valorilor reale de la valorile estimate sa fie minima.

Conditia de minim a acestei functii rezulta din

; ;

In urma calculelor obtinem

Nota: Pentru a introduce valorile necesare in sistem avem nevoie de anumite calcule pe care le vom introduce in tabelul 2.

Utilizand sistemul egalitatilor de mai sus estimam parametrii astfel:

Modelul estimat este:

Avand calculate estimatiile parametrilor a si b, putem calcula valorile teoretice ale variabilei endogene dupa relatia de mai sus, iar valorile variabilei reziduale u_i cu ajutorul formulei:

Tabelul 2.

Estimarea modelului de regresie – datele din ewiews:

c) de verificat semnificatia estimatorilor

Estimatorii sunt semnificativ diferiti de 0, cu un prag de semnificatie α , daca se verifica urmatoarele relatii:

unde: α –nivel de semnificatie

n-k-1 – grade de libertate (k –var.independente)

Testam estimatorul a:

Ipotezele statistice:

H₀: a=0

H₁: a≠0

Deoarece t_calc >  t_tab → ipoteza H₀ se respinge, ca urmare, estimatorul a este semnificativ, venitul are o influenta importanta asupra variatiei consumului unei familii.

Testam estimatorul b:

H₀: b=0

H₁: b≠0

t_b = 

t_calc >  t_tab → ipoteza H₀ se respinge, ca urmare, estimatorul b este semnificativ si el, venitul are o influenta importanta asupra variatiei consumului unei familii.

d) De verificat ipoteza de liniaritate a modelului, calculand coeficientul liniar de corelatie si raportul de corelatie; de calculat coeficientul de determinatie

Pentru verificarea ipotezei de liniaritate vom calcula coeficientul liniar de corelatie r_y/x si raportul de corelatie R_y/x :

Lucrare: Motivatia si satisfctia in munca –premisele reusitei si succesului profesional Lucrare: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

Concluzie: Egalitatea dintre coeficientul liniar de corelatie si raportul de corelatie ne confirma ipoteza ca legatura dintre cele 2 variabile este liniara si ca intre ele este o puternica corelatie.

Tabelul 3:

e) testarea validitatii modelului. Concluzii adecvate

Validarea prin testul F-Fisher presupune efectuarea tabelului ANOVA

Cu ajutorul testului Fisher-Snedecor efectuam verificarea raportului de corelatie si implicit, a coeficientului de corelatie:

R fiind semnificativ daca F_calc>F^0,05_1,32

Concluzie: Deoarece F_calc>F_tab rezulta ca modelul liniar unifactorial este un model valid la un prag de semnificatie de 5%. V_T=V_E+V_R → 100=V_E/V_T*100+V_R/V_T*100; V_E/V_T=0,9754 → acest model descrie dependenta dintre variabile, explicand 97,54% din variatia variabilei dependente, adica variatia cheltuielilor guvernamentale pentru invatamant se datoreaza in proportie de 97,54% marimii PIB-ului.

2. Coeficientul de corelatie a rangurilor Spearman se calculeaza astfel:

a) se ordoneaza datele variabilei reziduale explicative in mod crescator

b)se stabilesc rangurile pentru caracteristica X si pentru rezidiul U (care se ia dupa modul: │u_i│-R_xR_ui

c) se calculeaza diferentele dintre ranguri: d₁=R_x-R_ui,

d) se calculeaza coeficientul de corelatie conform relatiei: r_x/u=1-6∑d_i²/ n³-n

r_{x,y €}[-1;1]. Cu cat coeficientul se apropie de extremele intervalului, cu atat legatura este mai puternica.

Ipotezele statistice care permit detectarea heteroscedasticitatii:

H₀: modelul este omoscedastic(nu exista dependenta dintre var.explicativa si cea reziduala)

H₁: modelul este heteroscedastic

Pentru a se admite una din ipoteze, se compara valorile:

si t_tab(α,n-k), k=2(estimatori)

avem o legatura directa medie intre variabilele x si │u│

se accepta H₁,modelul este

heteroscedastic.

Tabelul 4.

3. Algoritmul testului Goldfeld-Quandt este valabil in cazul in care una din variabile este cauza heteroscedasticitatiisi numarul de observatii este important. Acest test poate fi aplicat numai in cazul dependentei liniare, si anume, cand dispersia variabilei aleatoare de perturbatie este proportionala patratului uneia din variabilele explicative. Algoritmul testului include 3 pasi:

a) Se ordoneaza observatiile in crestere pentru variabila explicativa x_i, care se considera cauza heteroscedasticitatii(apoi acestor observatii li se atribuie valorile corespunzatoare variabilei dependente);

b) Se exclude C observatii centrate din datele ordonate, C=[n/4]=34/4=8,5(se va lua C=8)

c) Se stabilesc regresiile pentru ambele subesantioane (cu n₁=n₂=13), se calculeaza suma patratelor reziduurilor celor 2 regresii SPR₁ si SPR₂ si se verifica testul Fisher

Ipotezele statistice care permit detectarea heteroscedasticitatii :

H₀: modelul este omoscedastic(nu exista dependenta dintre var.explicativa si cea reziduala)

H₁: modelul este heteroscedastic

Pentru a se admite una din ipoteze, se compara valorile:

Si F_{tab(n1-2;n-n/4-2)}. Daca F_calc>F_tab, atunci ipoteza H₀ este

respinsa si modelul este heteroscedastic.

Tab.5 Tab.6

Calculam regresiile pentru ambele subesantioane si verificam testul F si sumele patratelor reziduurilor celor 2 regresii SPR₁ si SPR₂.

Pentru primele 13 observatii avem:

Tabelul 7.

Estimarea parametrului b:

Estimarea parametrului a:

Verificam rezultatele cu ajutorul pachetului Eviews:

Pentru ultimele 13 observatii avem:

Estimarea parametrului b:

Estimarea parametrului a:

Verificam rezultatele cu ajutorul pachetului Ewiews:

Modelul estimat va avea forma: y=-6,195096+0,070564x

In cazul homoscedasticitatii si a distributiei normale a erorilor, raportul sumelor patratelor reziduurilor pentru fiecare din cele 2 regresii trebuie sa verifice repartitia Fisher:

Deoarece F_{α,n1-2,n-n/4-2}=F_0,05;11;24=2,61 < F_calc→ ipoteza H₀ este respinsa si modelul este heteroscedastic.

4. Testul Gleisjer permite nu numai descoperirea unei eventuale eteroscedasticitati, dar si identificarea formei pe care o imbraca aceasta.Acest test este fondat pe relatia intre reziduu si estimatorul MCMMP efectuate asupra modelului de baza si variabilei explicative presupuse a fi cauza eteroscedasticitatii.

Algoritmul testului contine 4 pasi:

1) Regresionam cu ajutorul MCMMP y_i in dependenta de x_i si se determina vectorul reziduu u_i

2) Se regresioneaza valorile absolute │u_i│in raport cu x_i dupa relatia: │u_i│=α₀ + α₁x_i + ν_i, cu eteroscedasticitatea de tipul

De determinat valorile ajustate: dupa care reziduu

Obtinem │u_i│= 3,274620+0,004423x_t

Ipoteza omoscedasticitatii este respinsa daca coeficientul α₁ este semnificativ diferit de 0, adica daca se verifica  urmatoarea relatie:

Verificam aceasta relatie:

α₀ este semnificativ diferit de 0 la pragul de semnificatie de 5%, rezulta ca heteroscedasticitatea este detectata.

3) Corectarea heteroscedasticitatii: avand in vedere ca testul Gleisjer a pus in evidenta o relatie de tipul                           pentru a inlatura heteroscedasticitatea vom aplica regresia ponderata asupra datelor brute divizandu-le la √x_i :

Pentru facilitarea calculelor vom face urmatoarele notatii:

Astfel vom obtine urmatorul model: z_i= α₀x_1i + α₁x_2i + u_i , care il vom estima:

Obtinem urmatoarele rezultate:

Z_i=-0,122371X_1i + 0,058720X_2i

Observam ca coeficientul lui X_1i nu este semnificativ diferit de 0 si deci putem sa-l eliminam din model. Vom obtine modelul: Z_i= a₀ + a₁X_2i + u_i

Respectiv, rezultatele din eviews sunt:

Z_i=-0,078431 + 0,062093X_2i

Acesta si va fi modelul obtinut in urma inlaturarii heteroscedasticitatii.