Transformata Laplace

Transformata Laplace

Se vor rezuma cateva dintre principalele proprietati ale transformatei Laplace, indispensabile rezolvarii catorva aplicatii la acest capitol.

O functie reala f(t), numita functie original, admite transformata Laplace, daca satisface conditiile:

a) este nula in intervalul ;

b) e neteda pe portiuni: marginita, contine cel mult discontinuitati finite si e integrabila in origine;

c) exista pentru care:

pentru

Imaginea sau transformata Laplace a acestei functii original este o functie de variabila complexa definita astfel:

(8.17)

Functia F(s) este analitica in tot semiplanul

Cateva proprietati ale transformatei Laplace

a) Liniaritatea deriva din proprietatile integrarii:

(8.18)

b)Transformata derivatei unei functii:

  (8.19)

este demonstrabila aplicand integrarea prin parti in relatia (8.17).

c) Transformata Laplace a integralei:

(8.20)

d) Teorema translatiei variabilei complexe (sau a deplasarii):

(8.21)

rezulta din insasi definitia (8.17).

e)Teorema intarzierii (sau a retardarii):

(8.22)

unde este functia treapta unitate, iar demonstrarea teoremei decurge din schimbarea de variabila

f)Teorema schimbarii scalei (sau a asemanarii):

(8.23)

rezulta direct din definitia (8.17).

Transformate Laplace ale unor functii uzuale

a) Functia treapta unitate este definita astfel, (fig.8.8):

(8.24) Fig. 8.8

b) Functia impuls dreptunghiular (fig.  8.9) este :

REFERAT: Instructiuni de montaj al usilor cu toc reversibil REFERAT: Sarcinile si calificarea personalului care deserveste statia de betoane

iar din relatiile (8.18), (8.22) si (8.24) rezulta:

Fig. 8.9

(8.25)

c) Functia impuls unitate (Dirac sau delta) poate fi definita la limita ca derivata a functiei treapta unitate:

Fig. 8.10

Desigur ca functia nu e derivabila dar, la limita, in figura 8.10a se poate considera ca saltul are loc de la 0 la 1 in timpul . Derivata acestei functii e impulsul dreptunghiular din figura 8.10b, cu valoarea , iar

Transformata Laplace a impulsului unitate e data de relatiile (8.19) si (8.24):

(8.26)

d) Functia exponentiala are imaginea:

(8.27)

iar in cazul particular se obtine relatia (8.24). Alta functie uzuala:

(8.28)

e) Functii trigonometrice. In electrotehnica, marimile sinusoidale apar sub forma canonica, asa ca intereseaza expresia:

(8.29)

dar cazurile particulare si dau relatiile:

f) Functii hiperbolice. Date fiind definitiile lor:

transformatele Laplace se afla cu relatiile (8.18) si (8.27):

Fig. 8.11

(8.30)

Utilizarea transformatei Laplace la studiul regimurilor tranzitorii ale circuitelor evita (fig. 8.12) rezolvarea dificila a unor sisteme de ecuatii integro-diferentiale. Datorita proprietatilor (8.19) si (8.20), derivatele si integralele unor functii de timp sunt inlocuite in domeniul s cu inmultiri, respectiv impartiri cu s.

Sistemele devin algebrice si sunt mai accesibile. Ramane problema revenirii in domeniul timp, deci aflarea transformatei Laplace inverse a unor functii.

Fig. 8.12

Metode de inversiune. Fiind data transformata Laplace, se cere functia original. Formula Mellin-Fourier:

prezinta mai mult interes teoretic.

Practic, aflarea functiei original:

are la baza teoremele dezvoltarii, ale lui Heaviside. Functia F(s) fiind de obicei un raport de polinoame cu coeficienti reali (desi variabila s este complexa), se poate descompune in fractii simple. Pe urma, o fractie simpla poate avea numitor de gradul I, cand are ca inversa o exponentiala data de relatia 8.27), sau de gradul II, cind numitorul are radacini imaginare si inversa Laplace a functiei e, conform relatiei (8.29), o functie trigonometrica.

Tabel cu principalele transformate Laplace

Sunt utile tabelele cu transformate Laplace, iar pentru a aduce fractia simpla la forma exacta din tabel, sunt necesare deseori proprietatile (8.18)-(8.23).

Exemplu

Se cere inversiunea Laplace:

Radacinile numitorului fiind complexe, se aduce functia la forma din relatia (8.29), dar numaratorul avand si termen de gradul intai, se face apel la teorema translatiei sau deplasarii (8.21):

Evident ca, in expresia fortata la numarator, a si b nu sunt, in general, sinus respectiv cosinus ale aceluiasi unghi , decat daca  De aceea, s-a scos in fata fractiei factorul

Graficul functiei e al unei sinusoide amortizate (fug. 8.13), cu extremele pe exponentialele . Se acorda atentie corelarii constantei de timp cu perioada sinusoidei .

Fig. 8.13