Circuitul R, L, C serie in curent alternativ sinusoidal

Circuitul R, L, C serie in curent alternativ sinusoidal

Se considera circuitul serie din figura 13.1, format din rezistenta R, inductanta L si capacitatea C alimentat cu o tensiune sinusoidala u(t). Curentul in circuit va fi de asemenea variabil sinusoidal si va produce tensiunile u_R, u_L, si u_C la bornele celor trei elemente de circuit. Consideram cunoscute valorile rezistentei R, a inductantei L , a condensatorului C precum si intensitatea curentului electric din circuit:

i(t) = I_m sin ωt

Am considerat faza initiala a curentului nula. Aplicand teorema a doua a lui Kirchhoff rezulta:

u = u_R + u_L + u_C

sau tinand seama de expresiile tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit:

care reprezinta ecuatia integro-diferentiala a circuitul R, L, C serie.

Pentru rezolvarea circuitului si determinarea expresiei tensiunii u(t) si a tensiunilor u_R, u_L si u_C la bornele rezistorului, bobinei si condensatorului vom utiliza reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale. Transcriem in complex ecuatia integrodiferentiala a circuitului:

Aceasta este ecuatia circuitului R, L, C serie in complex. Ea ne da legatura dintre fazorul tensiunii U la bornele circuitului si expresiile fazorilor tensiunilor la bornele rezistentei, bobinei si condensatorului:

, ,

adica:                           

In fond, relatia obtinuta este chiar forma in complex a teoremei a II-a a lui Kirkhhoff pentru circuitul R, L, C serie si ea ne spune ca suma fazorilor tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit este egala cu fazorul tensiunii la bornele circuitului. Aceasta relatie este reprezentata in diagrama fazoriala din Fig. 13.2. Spre deosebire de forma integrodiferentiala a ecuatiei circuitului forma in complex nu mai contine operatii de derivare sau de integrare astfel ca se poate scrie mai departe:

Fig. 13.3 Graficele de variatie in timp ale i(t), u(t), u_R(t), u_L(t), u_C(t) pentru circuitul R, L, C serie

Relatia obtinuta permite calculul uneia dintre marimile U sau I cand este cunoscuta cealalta marime si cand sunt cunoscute valorile parametrilor R, L C ale circuitului.

De exemplu sa presupunem ca este cunoscuta valoarea intensitatii curentului electric:

i(t) = sin ωt, adica un curent sinusoidal avand:

I = 1 A φ = 0⁰ I_m = A = 1.414 A

Presupunem ca valorile parametrilor circuitului sunt:

o rezistenta R = 1 Ω, o inductanta L = 6.612 10^-3 H si o capacitate C = 2.122 10^-3 F

adica R = 1 Ω X_L = 2.077 Ω X_C = 1.5 Ω

rezulta

Fazorul U poate fi scris sub forma exponentiala:

, respectiv

REFERAT: Materiale auxiliare REFERAT: Cauzele si efectele incendiilor

Tensiunea la borne u se poate acum scrie in forma sinusoidala:

Graficele curentului i(t) si tensiunii u(t) sunt prezentate in figura 13.3.

Se observa faptul ca diagrama fazoriala a circuitului ne da o reprezentare mai simpla si mai sugestiva decat graficele de variatie in timp a marimilor din circuit.

Unghiul de defazaj dintre tensiune si curent este :

In cazul cand X_L > X_C, avem φ > 0 iar circuitul are caracter inductiv, iar cand X_L < X_C, φ < 0, curentul este defazat inaintea tensiunii, iar circuitul are caracter capacitiv.

Marimea: X = X_L – X_C poarta numele de reactanta circuitului R, L, C serie

Marimea :Z = R + j X = R + j (X_L – X_C) se numeste impedanta complexa a circuitului R, L, C serie

Relatia dintre fazorii U si I pentru circuitul R, L, C serie se poate scrie:

U = Z I

cunoscuta si sub denumirea de legea lui Ohm in complex.

Valoarea absoluta (modulul) a impedantei complexe se poate scrie:

Relatia dintre valorile efective ale tensiunii si curentului este:

U = Z I

Valorile efective ale tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit sunt:

U_R = R I, U_L = X_L I, U_C = X_C I

3.8 Circuitul R, L, C paralel in curent alternativ sinusoidal

Se considera circuitul paralel din figura 13.4, format din rezistenta R, inductanta L si capacitatea C alimentat cu o tensiune sinusoidala u(t):

u(t) = U_m sin ωt

Valorile curentilor din circuit vor fi:

Conform teoremei I a lui Kirchhoff:

i = i_R + i_L + i_C

respectiv

Aceasta este ecuatia integrodiferentiala a circuitului R, L, C paralel, care reprezinta dependenta dintre valorile instantanee ale curentului si tensiunii pentru un circuit R, L, C paralel. Pentru rezolvarea acestei ecuatii se poate aplica reprezentarea in complex a marimilor alternative sinusoidale. Transcriind in complex simplificat ecuatia se obtine:

Relatia de dependenta dintre fazorii I si U, care este ecuatia fazoriala a circuitului se poate reprezenta in planul complex, rezultand diagrama fazoriala a circuitului R, L, C paralel din Fig.13.5. In aceasta diagrama apar fazorii:

U = U, cu faza initiala nula,

, curentul prin rezistenta in faza cu tensiunea,

, curentul prin bobina defazat cu 90⁰ in urma tensiunii,

, curentul prin condensator defazat cu 90⁰ inaintea tensiunii. Insumand fazorii curentilor rezulta fazorul I al curentului total al circuitului defazat cu unghiul φ in urma tensiunii in cazul nostru cand I_L > I_C. Valorile efective ale curentilor prin R, L, si C sunt:

, ,

Ecuatia fazoriala a circuitului ne permite sa calculam valoarea fazoriala I a curentului din circuit atunci cand este cunoscuta valoarea tensiunii si valorile parametrilor R, L, C din circuit. Valoarea efectiva a curentului I este modulul fazorului I, adica:

sau, altfel scrisa:                     

Defazajul dintre curent si tensiune este:

Se observa ca atunci cand 1/ωL>ωC, adica X_L<X_C, sau I_L>I_C curentul I este defazat in urma tensiunii, φ<0.

In acest caz se spune ca circuitul are caracter inductiv. In cazul cand φ>0, deci I_L<I_C curentul este defazat inaintea tensiunii cu unghiul φ iar circuitul are caracter capacitiv.

Se introduc notatiile:

, [Ω]     numita susceptanta inductiva a bobinei

, [Ω]     numita susceptanta capacitiva a condensatorului,

numita susceptanta a circuitului R, L, C paralel

Se numeste admitanta valoarea inversa a impedantei sau raportul dintre I si U pentru orice circuit

Cu aceste notatii se observa ca putem scrie ecuatia fazoriala a circuitului R, L, C paralel astfel:

Prin urmare valoarea admitantei complexe a unui circuit este:

Numai pentru circuitul R, L, C paralel valoarea admitantei complexe se poate scrie:

Aplicatie.

Vom considera un circuit R, L, C paralel cu parametrii avand valorile:

R = 0.5 Ω, X_L = 0.377 Ω, X_C = 0.667 Ω

Alimentat cu o tensiune sinusoidala de valoare efectiva U = 1 V si faza initiala nula:

u(t) = sin ωt

Valorile efective ale curentilor prin rezistenta, bobina si condensator vor fi:

,              ,

Valorile momentane ale curentilor vor fi:

i_R = 2 sin ωt, i_L = 2.655 sin (ωt – 90⁰), i_C = 1.5 sin (ωt + 90⁰)

Valoarea efectiva a curentului din circuit va fi:

Defazajul curentului I fata de tensiune este:

Prin urmare valoarea instantanee a curentului din circuit este:

i = 2.309 sin (ωt – 30⁰)

Variatia in timp a marimilor din acest circuit este prezentata in diagramele din Fig. 13.6.