Metoda curentilor ciclici

In cadrul acestei metode se lucreaza cu un numar de b necunoscute, curenti fictivi, numiti “de contur”, asociati cate unul pentru fiecare bucla. Cu alte cuvinte numarul de ecuatii este egal cu numarul de ochiuri (bucle) independente. In ecuatiile date de teorema a doua a lui Kirchhoff, se inlocuiesc curentii din laturi cu curentii de contur (curentul dintr-o latura reprezinta suma algebrica a curentilor de contur respectivi) si se obtine un sistem cu b ecuatii si b necunoscute, de forma:

R₁₁ I_c1 + R₁₂ I_c2 + . + R_1b I_cb = aE_c1

(1) R₂₁ I_c1 + R₂₂ I_c2 + . + R_2b I_cb = aE_c2

: : : : : : :

R_b1 I_c1 + R_b2 I_c2 + . + R_bb I_cb = aE_cb

Metoda curentilor ciclici consta in scrierea ecuatiilor curentilor de contur, in rezolvarea acestui sistem de ecuatii (a carui numar de ecuatii este egal cu numarul de necunoscute si egal cu numarul de bucle independente) si in calculul curentilor din laturi in functie de curentii de contur, astfel:

a) se stabilesc curentii de contur si sensurile lor de referinta, care coincid cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective : I_c1, I_c2, I_c3, . , I_cb.

b) se formeaza sistemul de ecuatii in care: R_kk este rezistenta proprie a buclei k, adica suma rezistentelor aflate pe laturile buclei respective; R_kv este rezistenta aflata pe latura comuna buclei k si v. Daca sensurile pozitive ale curentilor ciclici I_ck si I_cv coincid in ramura comuna atunci in sistem R_kv are semnul plus, in caz contrar are semnul minus.

aE_ck este suma tensiunilor electromotoare din bucla independenta k, exprimata fata de sensul de referinta al curentului de contur I_ck al buclei k.

c) se rezolva sistemul de ecuatii (1), in care necunoscutele sunt curentii de contur (ciclici) I_ck.

d) se suprapun in fiecare latura curentii de contur pentru a obtine curentul real al laturii respective.

Ca si aplicatie se considera problema prezentata la sectiunea pecedenta, a carei date ni le reamintim:

Sa se afle curentii din laturile circuitului reprezentat in figura 2.9, in care :

E₁ = 80 V, E₂ = 160 V, E₃ = 50 V, E₄ = 110 V, E₅ = 65 V, R₁ = 20 W, R₂ = 15 W, R₃ = 30 W R₄ = 5 W, R₅ = 5 W, R₆ = 20 W, R₇ = 30 W, R₈ = 10 W

Rezolvare:      

Deoarece circuitul are 8 laturi si 5 noduri, rezulta ca numarul buclelor independente este de 4, conform relatiei lui Euller, deci vom avea 4 curenti ciclici I_c1, I_c2, I_c3, I_c4, cate unul pentru fiecare bucla independenta, pe care ii notam pe figura, ei parcurgand bucla corespunzatoare in sensul arbitrar, stabilit pe figura, astfel:

I_c1 strabate pe E₁, R₁, R₈, R₇

I_c2 strabate pe E₄, R₄, R₇, R₆

I_c3 strabate pe E₂, R₂, R₅, E₅, R₈

I_c4 strabate pe E₅, R₅, R₃, E₃, R₆

Urmatoarea etapa consta in scrierea sistemului de ecuatii pentru determinarea curentilor ciclici pentru circuitul de fata, fiind format din patru ecuatii cu patru necunoscute:

R₁₁ I_c1 + R₁₂ I_c2 + R₁₃ I_c3 + R₁₄ I_c4 = aE_c1

R₂₁ I_c1 + R₂₂ I_c2 + R₂₃ I_c3 + R₂₄ I_c4 = aE_c2

R₃₁ I_c1 + R₃₂ I_c2 + R₃₃ I_c3 + R₃₄ I_c4 = aE_c3

R₄₁ I_c1 + R₄₂ I_c2 + R₄₃ I_c3 + R₄₄ I_c4 = aE_c4

Unde coeficientii sunt:

R₁₁ = R₁ + R₇ + R₈ = 60 W - reprezinta suma rezistentelor ochiului 1

R₂₂ = R₄ + R₆ + R₇ = 55 W - reprezinta suma rezistentelor ochiului 2

R₃₃ = R₂ + R₅ + R₈ = 30 W - reprezinta suma rezistentelor ochiului 3

R₄₄ = R₃ + R₅ + R₆ = 55 W - reprezinta suma rezistentelor ochiului 4

R₁₂ = R₂₁ = - R₇ = -30 W, s-a luat cu minus deoarece prin R₇ curentii I_c1 si I_c2 au sensuri contrare

R₁₃ = R₃₁ = - R₈ = -10 W; R₂₄ = R₄₂ = R₆ = 20 W; R₃₄ = R₄₃ = R₅ = 5 W

R₁₄ = R₄₁ = R₂₃ = R₃₂ = 0 deoarece ohiurile 1 si 4, respectiv 2 si 3 nu au laturi comune.

aE_c1 = E₁ = 80 V; aE_c2 = E₄ = 110 V; aE_c3 = - E₂ + E₅ = - 95 V; aE_c4 = E₅ – E₃ = 15 V;

Inlocuind valorile obtinute se obtine:

60 I_c1 - 30 I_c2 - 10 I_c3 = 80

-30 I_c1 + 55 I_c2 + 20 I_c4 = 110

-10 I_c1 + 30 I_c3 + 5 I_c4 = - 95

20 I_c2 + 5 I_c3 + 55 I_c4 =  15

In urma rezolvarii sistemului se obtin solutiile: I_c1 = 3 A; I_c2 = 4 A; I_c3 = -2 A; I_c4 = -1 A.; dupa care se deduc curentii reali prin aplicarea teoremei supranunerii efectelor, otinandu-se:

I₁ = I_c1 = 3A; I₂ = -I_c3 = 2A; I₃ = -I_c4 = 1A; I₄ = I_c2 = 4A; I₅ = I_c3 + I_c4 = -3A; I₆ = I_c2 + I_c4 = 3A;           I₇ = I_c2 – I_c1 = 1A; I₈ = I_c3 – I_c1 = -5A.