Instrumente topografice - teodolitul

INSTRUMENTE TOPOGRAFICE

I. TEODOLITUL

Este instrumentul care permite masurarea directiilor la doua sau mai multe puncte din teren, precum si inclinarea acestor directii. Determinarile se raporteaza la un plan orizontal care trece prin punctul in care se stationeaza cu teodolitul, numit punct de statie.

Clasificarea teodolitelor se face dupa :

modul de citire a directiilor

precizia determinarilor

gradele de libertate ale miscarilor cercului orizontal

Dupa modul de citire a directiilor, se cunosc doua categorii de teodolite:

clasice, la care cercurile sunt gravate pe metal, citirile facandu-se cu ajutorul vernierului, microscopul cu scarita sau microscop cu tambur. Acest ultim tip de aparat nu se mai construieste.

moderne, la care cercurile sunt gravate pe sticla, iar lecturile se fac centralizat pentru ambele cercuri, intr-un singur microscop, fixat pe luneta.

electronice, la care cercurile sunt digitale, valoarea indicatiei fata de un reper de pe cercul gradat fiind afisata pe un ecran cu cristale lichide.

Clasificarea dupa precizia de determinare a unghiurilor conduce la urmatoarele categorii:

teodolite de mare precizie, sau astronomice, la care lecturile se fac pana la zecime de secunda de arc(Theo 002,Wild T4,Kern DKM 3);

teodolite propriu-zise, la care determinarile se fac pana la o secunda de arc (Theo 010,Wild T2,Kern DKM2) ;

teodolitele tahimetrice la care determinarile se fac la minut de arc (Theo 020, Theo 030, Wild T1A, Wild T16, Kern DKM 1) precum si teodolite tahimetrice de santier, la care determinarile se fac la 10 minute de arc.

Clasificarea dupa gradele de libertate ale miscarii cercului orizontal gradat se face in:

teodolite simple, la care numai cercul alidad se poate misca in jurul axei verticale;

teodolitele repetitoare, la care atat cercul alidad cat si limbul au posibilitatea misca in jurul axei verticale;

teodolitele reiteratoare, la care miscarea limbului in jurul axei verticale se face prin intermediul unui surub exterior, numit reiterator.

I.1. Schema generala a teodolitului clasic.

Intregul aparat se compune din infrastructura si suprastructura. Infrastructura este cuprinsa intre ambaza teodolitului si limb inclusiv, iar suprastructura este compusa din restul partilor componente, toate putandu-se misca in jurul axei verticale V-V).

Partile componente, asa cum sunt prezentate in figura 1. sunt:

1 - luneta teodolitului; 2 - cercul vertical; 3 - axa de rotatie a lunetei; 4 - furcile lunetei; 5 - cercul alidad; 6 - cercul gradat orizontal (limbul); 7 - axul teodolitului; 8 - coloana tubulara a axului teodolitului; 9 - ambaza teodolitului; 10 - suruburi de calare; 11 - placa de tensiune a ambazei; 12 - placa ambazei; 13 - surub de prindere (surub pompa); 14 - dispozitiv de prindere a firului cu plumb; 15 - nivela torica a cercului orizontal; 16 - nivela sferica a cercului orizontal; 17 - dispozitiv de citire a cercului orizontal; 18 - surub de blocare a cercului alidad; 19 - surub de blocare a limbului; 20 - surub de blocare a miscarii lunetei; 21 - ambaza trepiedului; VV - axa principala a teodolitului (verticala); OO - axa secundara a lunetei; NN - directricea nivelei torice; VsVs - axa nivelei sferice; Cv - centrul de vizare al teodolitului.

La vizarea unui obiect indepartat, teodolitul are posibilitate de miscare in jurul axei principale de rotatie, V-V si posibilitate de miscare a lunetei si cercului vertical intr-un plan vertical in jurul axei orizontale secundare O-O.

Axele teodolitului.

Din punct de vedere constructiv teodolitul are trei axe si anume:

axa V-V, numita si principala, care este axa de rotatie a suprastructurii aparatului. In timpul masuratorilor, aceasta trebuie sa fie verticala;

axa O-O, numita si secundara, care este axa in jurul careia se roteste luneta impreuna cu cercul vertical;

axa r-O (reticul-obiectiv) numita si de vizare, care este linia materializand directia spre care se efectueaza masuratoarea.

Toate cele trei axe trebuie sa se intalneasca in acelasi punct, Cv, numit centrul de vizare al teodolitului.

1.2. Parti componente ale teodolitului.

Luneta topografica

Lunetele instrumentelor topografice sunt constituite ca un dispozitiv optic ce serveste la vizarea, la distanta, a obiectelor numite si semnale topografice, a caror imagine obtinuta prin luneta este clara si marita, imposibil de obtinut cu ochiul liber. In afara de aceasta, luneta poate servi si la determinarea distantelor (masurare) pe cale optica, procedeul numindu-se determinarea stadimetrica a distantelor.

Dupa modul de alcatuire, se disting lunete:

cu focusare exterioara, la care planul imaginii este fix iar planul reticulului este mobil. Au fost folosite la aparatele vechi, iar acum nu se mai construiesc.

cu focusare interioara, la care planul imaginii este mobil iar cel al reticulului este fix.

Luneta cu focusare exterioara (figura 1.1) se compune din:

1- tub obiectiv; 2 - tub ocular; 3 - obiectiv; 4 - ocular; 5 - reticul; 6 - lentila divergenta de focusare; 7 - surub de focusare; 8 - surub cremaliera; 9 - suruburi de rectificare a firelor reticulare; 10 - locul de formare al imaginii in absenta lentilei de focusare; O₁ - centrul optic al obiectivului; O₂ - centrul optic al ocularului; r - centrul reticulului; xx - axa geometrica a lunetei; O₁O₂ - axa optica a lunetei; a - distanta variabila intre lentila de focusare si obiectivul fix ; p' - distanta variabila intre obiectiv si imagine.

Figura 1.1 - Luneta topografica

Spre deosebire de luneta cu focusare exterioara, la cea cu focusare interioara, planul firelor reticulare este fix, iar claritatea imaginii se realizeaza prin deplasarea unei lentile numita de focusare. Lungimea lunetelor este variabila la cele cu focusare exterioara si constanta la cele cu focusare interioara.

Pentru a nu se pierde timp cu cautarea obiectului ce se doreste a se viza, pe luneta se amplaseaza un dispozitiv, tip cui - catare sau mai nou un colimator, care odata suprapus peste obiectul vizat asigura existenta in campul vizual al lunetei a obiectului vizat.

Axele lunetei, care trebuie sa coincida intre ele, sunt materializate de:

axa optica, determinata de centrele optice ale obiectivului si ocularului si nu este materializata;

axa geometrica, sau de simetrie, este determinata de centrele celor doua sau trei tuburi concentrice si deasemeni nu este materializata;

axa de vizare, determinata de centrul r al firelor reticulare si centrul optic al obiectivului, fiind singura axa materializata

Reticulul lunetei este format dintr-o placa de sticla pe care sunt gravate foarte fin trasaturi numite fire reticulare. In cazul in care se constata descentrarea centrului firelor reticulare de la axa geometrica a lunetei, aceasta este prevazuta cu suruburi de rectificare in plan orizontal, respectiv vertical, care prin actionare permit readucerea centrului pe axa geometrica. La lunetele moderne reticulul este fix si se afla in planul focal anterior al ocularului.

Punerea la punct a lunetei se executa in doua faze si anume:

a).punerea la punct a imaginii firelor reticulare se realizeaza prin indreptarea lunetei spre o suprafata de culoare deschisa, iar prin rotirea ocularului se tinde la obtinerea unei imagini clare a firelor. Operatiunea se executa la inceputul unei zile de masuratori si ramane valabila atat timp cat nu se schimba operatorul la aparat.

b).punerea la punct a imaginii obiectului vizat urmareste sa realizeze o claritate maxima a imaginii prin actionarea surubului de focusare. Acest lucru se realizeaza cand planul imagine se suprapune cu cel al firelor reticulare. Operatiunea se numeste focusare si se executa la fiecare vizare cu luneta, deoarece depinde de distanta de la obiect la aparat.

Ordinea operatiilor este strict obligatorie in succesiunea in care este prezentata mai sus; inversarea ordinii conduce la alterarea claritatii imaginii obiectului vizat cand se realizeaza claritatea firelor.

Punctarea obiectelor vizate este operatiunea prin care se aduce centrul firelor reticulare pe punctul matematic al obiectului vizat. Operatiunea se realizeaza in etape succesive:

se suprapune dispozitivul de vizare aproximativa (cui-catare sau colimator) peste imaginea obiectului vizat.In acest moment in campul vizual al lunetei apare imaginea neclara a obiectului. Se focuseaza imaginea cu ajutorul surubului de focusare.

se deplaseaza luneta in plan vertical pana ce firul reticular orizontal se suprapune peste punctul vizat, actionand din surubul de fina miscare in plan vertical.

se deplaseaza firul reticular vertical pana ce se ajunge pe punctul vizat, prin actionarea surubului de fina miscare in plan orizontal.

1.2.Nivelele teodolitului.

Sunt dispozitivele care servesc la orizontalizarea sau verticalizarea unor drepte, precum si la masurarea unor unghiuri mici de panta. Se disting urmatoarele tipuri de nivele:

sferica, (figura 1.2) formata dintr-o fiola de forma cilindrica, avand la partea superioara forma unei calote sferice. Interiorul este umplut cu eter sau alcool, lasandu-se un mic spatiu ce formeaza o bula de vapori saturati de lichid. Partea centrala a calotei reprezinta punctul central al nivelei prin care trece axa verticala V_s -V_s a acesteia. Pe calota fiolei se graveaza cercuri concentrice cu diametrul marit cu 2 mm. Intregul ansamblu se fixeaza intr-o montura protectoare din material plastic dur sau metal.

Figura.1.2 - Nivela sferica.

torica, (figura 1.3) formata dintr-o fiola in forma de tor (cilindru curbat dupa un arc de cerc), umpluta cu aceleasi lichide ca si nivela sferica. La partea superioara a fiolei se graveaza trasaturi simetrice fata de mijlocul ei, la interval de 2 mm una de cealalta. Atunci cand centrul bulei coincide cu centrul fiolei, tangenta la centrul fiolei devine orizontala. Tangenta poarta denumirea de directrice a nivelei.

Figura.1.3 - Nivela torica.

Marimea ce caracterizeaza o nivela se numeste sensibilitate si reprezinta unghiul la centru de inclinare a fiolei pentru o deplasare a bulei de 2 mm. Cu cat unghiul este mai mic cu atat sensibilitatea este mai mare si invers. Acest lucru se obtine la nivelele cu raza de curbura cat mai mare.

Un caz particular al acestui tip de nivelaa este nivela cu coincidenta, (figura 1.4),la care semiimaginile capetelor bulei nivelei sunt aduse, printr-un sistem de prisme, intr-un ocular sectionat in doua jumatati pe verticala. Cand capetele sunt in prelungire, centrul bulei coincide cu centrul nivelei. Procedeul prin coincidenta este de pana la 10 ori mai precis decat cel cu repere gravate.

Figura.1.4 - Nivela cu coincidenta

Daca vom realiza o nivela compusa din doua toruri dispuse cu curburile opuse una fata de cealalta, deci ambele fete vor fi convexe, realizam o nivela butoias, care atasata unui dispozitiv ce-i va permite rotirea convenabila, va putea sa lucreze prin rasucire fie pe o fata fie pe cealalta.

I.2 Metode de masurare a unghiurilor.

Operatiunile necesare masurarii unghiurilor constau din urmatoarea succesiune:

verificarea si eventual rectificarea teodolitului;

asezarea in statie a teodolitului;

vizarea punctului, facuta pentru determinari azimutale la baza semnalului, prin suprapunerea peste acesta sau bisectare a firului reticular vertical, iar pentru determinarea unghiului zenital prin suprapunerea firului reticular orizontal peste semnal, fie la inaltimea (I) a instrumentului, fie la inaltimea (S) a semnalului. Anterior insa este necesara vizarea aproximativa cu ajutorul colimatorului, punerea la punct a imaginii firelor reticulare si apoi a imaginii obiectului vizat (semnal geodezic).

efectuarea determinarilor propriuzise.

Masurarea unghiurilor orizontale.

Functie de numarul punctelor spre care se vor face determinarile, metodele de masurare se refera la masurarea unghiurilor izolate, daca este vorba de unghiul format de doua puncte vizate, sau de unghiuri dispuse in tur de orizont daca este vorba de mai mult de 2 puncte vizate.

metoda diferentei citirilor sau simpla - se foloseste la determinarea unghiului format de directiile catre doua puncte, fara o precizie deosebita. Pentru aceasta (figura 2) se procedeaza astfel: se elibereaza miscarea inregistratoare a cercului orizontal gradat, se vizeaza punctul A in pozitia I a lunetei (cerc vertical stanga) si se efectueaza citirea c₁; se deblocheaza miscarile generale ale aparatului si se vizeaza punctul B, cu luneta tot in pozitia I; se efectueaza citirea c₂. Valoarea unghiului format de directiile catre punctele A si B va fi data de diferenta citirilor :

[1]

Daca operatiunile descrise mai sus se completeaza cu vizarea in pozitia a doua a lunetei, se va obtine o valoare mai precisa a valorii unghiului dintre cele doua directii. Pentru aceasta a doua faza se rotesc aparatul si luneta cu cate 200^g, cercul vertical fiind acum in dreapta lunetei (pozitia a II-a), dupa care se vizeaza punctul B si se efectueaza citirea c₂'; se vizeaza punctul A, prin rotirea aparatului in sens antiorar si se efectueaza citirea c₁'. Unghiul masurat in pozitia I va fi:

[2]

iar in pozitia a II-a va fi :

[3]

Daca diferenta celor doua determinari se incadreaza in toleranta admisa, atunci valoarea cea mai probabila a unghiului va fi media aritmetica a celor doua determinari.

[4]

Un caz particular al acestei metode este cel in care pe directia initiala, in pozitia I se aduce valoarea zero a cercului orizontal gradat.In acest caz, citirea initiala devenind 0,rezulta ca citirea facuta pe punctul B este chiar marimea unghiului ce se doreste a se masura, in pozitia I a lunetei. Prin aducerea aparatului in pozitia a II-a a lunetei, valoarea unghiului va fi data de diferenta intre c₂' si 200^g. Cu cele doua valori obtinute, daca acestea se inscriu in tolerante, se calculeaza media ca fiind valoarea cea mai probabila a unghiului ?.

metoda repetitiei - se foloseste la determinarea cu precizie sporita a unghiurilor izolate, atunci cand pentru masuratori este folosit un instrument repetitor ( figura 2.1). Ne propunem sa determinam unghiul sub care se vad din punctul de statie punctele A si B prin trei repetitii.Principial, metoda foloseste de fiecare data drept origine a citirilor, valoarea directiei determinata in masuratoarea anterioara. Pentru determinarea unghiului intre doua directii concurente in punctul de statie, cu instrumentul in pozitia I a lunetei se vizeaza punctul A si se efectueaza citirea c₁; se vizeaza punctul B caruia i-ar corespunde citirea c₂ care insa nu se efectueaza; in schimb dupa vizarea punctului B se blocheaza miscarea inregistratoare, se deblocheaza miscarea generala in plan orizontal si se vizeaza punctul A. Se deblocheaza miscarea inregistratoare si se revizeaza punctul B; citirea corespunzatoare ar fi c₃, care la fel ca si c₂ nu se efectueaza. Dupa aceasta secventa am efectuat doua 'repetitii' pentru masurarea unghiului intre directiile spre punctele A si B. In sfarsit, dupa vizarea punctului B se blocheaza miscarea inregistratoare, se deblocheaza miscarea generala in plan orizontal, se vizeaza A, se deblocheaza miscarea inregistratoare si cea generala in plan orizontal si se vizeaza B. Numai acum se poate face citirea la dispozitivul de citire a cercului orizontal. Valoarea cea mai probabila a unghiului masurat prin cele trei repetitii va fi obtinuta cu relatia :

Metoda se aplica in cazul masurarii unghiurilor izolate, in ambele pozitii ale lunetei, in situatia in care se dispune de un aparat cu o precizie de citire mai mica decat precizia ceruta pentru determinarea unghiului.

metoda seriilor (sau reiteratiilor) se foloseste de fiecare data cand se urmareste determinarea marimii unghiurilor dintr-un punct de statie in care converg mai multe vize (figura 2.2). Din totalitatea vizelor, se alege ca directie de referinta (initiala) viza cea mai lunga, de la care se vizeaza toate celelalte puncte,in ordine, in sens orar, incheindu-se turul de orizont tot pe viza initiala. Pentru acest tur de orizont, luneta aparatului este in pozitia I (cerc vertical stanga). Se aduce aparatul in pozitia a doua, se vizeaza aceeasi directie initiala, dupa care vizarea se desfasoara in sens antiorar pana la inchiderea pe aceeasi viza initiala. Valorile masurate se prelucreaza, procedandu-se la calculul mediilor intre cele doua pozitii, a neinchiderii si a corectiei totale si unitare si prin aplicarea celei din urma la obtinerea valorilor compensate pentru directiile masurate. Pentru exemplificare se prezinta mai jos (tabelul 1) un exemplu de prelucrare.

Prin efectuarea diferentei intre directia initiala (considerata valoare justa) catre punctul A sI directia finala (considerata viza afectata de erori) tot catre punctul A, se obtine valoarea corectiei totale:

c = 10,1263^g - 10,1375^g = - 1^c12^cc

Acesta valoare se va repartiza proportional fiecarei vize, cu o cantitate c_u adica :

c_u =

Viza initiala fiind neafectata de erpri nu va primi nici o corectie, viza catre punctul B va primi c_u, viza catre punctul C va primi 2.c_u sI asa mai departe pana la viza de inchidere care va primi 4.c_u. Se observa ca prin aplicarea coretiei corespunzatoare la valoarea masurata, viza finala devine egala cu viza initiala.

Daca se doreste o crestere a preciziei determinarilor se pot executa mai multe serii, insa cu origini diferite ale directiei initiale. Intervalul intre serii se stabileste cu relatia:

[6]

unde I reprezinta intervalul intre serii; m - numarul dispozitivelor de citire (in general 2); n - numarul de serii ce se executa.

Daca observatiile se fac numai intr-o singura pozitie a lunetei, de obicei in sens orar, metoda se numeste a turului de orizont.

2.2 Masurarea unghiurilor verticale.

Pentru masurarea unghiurilor verticale se procedeaza in felul urmator:

se instaleaza aparatul in punctul de statie, se centreaza si se caleaza;

se masoara inaltimea aparatului (notata cu i);

se vizeaza semnalul din punctul B, fie la inaltimea aparatului fie la inaltimea s a semnalului, prin aducerea firului reticular orizontal la unul din cele doua repere mentionate mai sus; se citeste unghiul vertical la dispozitivul de citire.

Dupa pozitia originii diviziunilor cercului vertical, se pot determina, fie unghiuri zenitale, cand originea este indreptata spre zenit (in sus, pe verticala) fie unghiuri de panta, daca originea este pe directia orizontalei ce trece prin centrul de vizare al aparatului.

DOCUMENT ONLINE: Caiet de sarcini - fundatie din balast DOCUMENT ONLINE: Referat gestionarea apelor intr-un santier

Masurarea unghiurilor de panta se face cu luneta in ambele pozitii, calculandu-se media:

pozitia I ?_??= c₁ pozitia a II-a ?₂ = 200^g - c₂

de unde rezulta:

[9]

ca valoarea cea mai probabila a determinarilor.

In cazul masurarii unghiurilor zenitale relatiile de calcul devin:

pozitia I Z_??= c₁ pozitia a II-a Z₂ = 400^g - c₂

de unde rezulta:

Pentru calculul unghiului de panta prin masurarea unghiului zenital se foloseste relatia:

??= 100^g - Z

din care se poate constata ca unghiul de panta este o marime algebrica; acesta este pozitiv pentru toate punctele situate deasupra liniei orizontului si negativ pentru toate punctele situate sub linia orizontului ce trece prin centrul de vizare al unui teodolit instalat intr-un punct de statie. Pornind de la relatia [13], se poate scrie ca:

?_??= 100^g - Z₁ ; ?_??= Z₂ - 300^g

iar controlul citirilor se face cu relatia :

Z₁ + Z₂ = 400^g

Precizia masurarii unghiurilor cu teodolitul.

Daca urmarim succesiunea operatiunilor efectuate intr-o statie pentru masurarea unui unghi, indiferent de metoda, vom constata ca la toate metodele a trebuit sa :

centram aparatul pe punctul de statie, operatiune care atrage dupa sine comiterea unei erori m_{c =} eroare de centrare a aparatului in statie;

vizam un semnal instalat in punctul vizat, deci sacomitem eroarea m_r = eroarea de centrare a semnalului vizat (de reductie)

efectuam masuratoarea propriuzisa, citind valorile directiilor la dispozitivele de citire, ocazie cu care am comis eroarea m_m = eroarea de masurare propriuzisa;

am utilizat un instrument care oricat de precis ar fi are totusi erori constructive, sau erori instrumentale m_i;

efectuam masuratorile in conditii meteo mai mult sau mai putin favorabile, dar in nici un caz ideale, motiv pentru care observatiile sunt influentate de m_CE = eroarea datorita conditiilor exterioare.

Orice directie masurata intr-o pozitie a lunetei este influentata de erorile mentionate mai sus cu o cantitate:

Deoarece unghiul este compus din doua directii, rezulta ca eroarea unui unghi va fi dublul erorii unei directii, si deci:

Pentru unghiurile masurate in ambele pozitii ale lunetei, eroarea unghiului va fi egala cu eroarea directiei .

II. Instrumente de nivelment

Aparatele folosite in nivelmentul geometric poarta denumirea de nivele, iar principala lor caracteristica este aceea ca realizeaza orizontalizarea precisa a axei de vizare. Acest lucru este de o importanta deosebita deoarece la nivelul axei de vizare se fac citirile pe mira

Dupa modul de orizontalizare a axei de vizare, instrumentele de nivelment se clasifica in :

nivel rigid simplu;

nivel rigid cu surub de basculare;

nivel cu orizontalizare automata a axei de vizare.

II.1.1. Nivelul rigid.

Schema unui astfel de instrument este prezentata in figura 1.1 El se compune din luneta topografica, nivela torica si sferica, ambaza, suruburi de calare si placa de tensiune. Poate fi dotat obtional cu cerc orizontal gradat. Pentru a se efectua masuratori cu un astfel de aparat trebuieca dupa efectuarea unei calari aproxomative cu nivela sferica inainte de efectuarea unei citiri pe mira trebuie sa se procedeze la orizontalizarea axei de vizare cu ajutorul suruburilor de calare convenabil amplasate, orizontalizare ce se constata cu ajutorul nivelei torice a aparatului. Aceasta operatiune se repeta inainte de fiecare citire efctuata pe mira

II.1.2. Nivelul rigid cu surub de basculare.

Din punct de vedere al partilor componente are aceleasi componente la care se adauga surubul de basculare cu rolul de a inclina fin luneta astfel ca aceasta sa capete o pozitie orizontala. Acest dispozitiv este situat intre luneta si pivotul instrumentului. La fel ca si la nivela rigida, calarea se face aproximativ, cu suruburile de calare si dupa vizarea mirei dar inainte de efectuarea citirilor se procedeaza la aducerea bulei nivelei torice intre repere. Pentru o cat mai buna orizontalizare, nivela torica folosita este una cu coincidenta.

Exemple de astfel de nivele sunt Ni 030 si Ni 004 fabricate de Karl Zeiss Jena.

Acestor nivele li se poate atasa un dispozitiv cu placi plan paralele care permite sporirea considerabila a preciziei masuratorilor pana la sutime de milimetru. Pentru aceasta insa este nevoie sa se foloseasca mire de invar.

II.1.3.Nivele cu orizontalizare automata a axei de vizare.

Acest tip de instrument foloseste pentru orizontalizarea axei de vizare fenomene fizice cum ar fi pozitia verticala a unui pendul. Dar se pot folosi si alte fenomene ca de exemplu nivelul orizontal al unui lichid intr-un vas indiferent de pozitia vasului. Spre exemplificare se prezinta in figura 7.3 schema de constructie a nivelului automat Ni 02

Aparatul poate asigura o precizie de 2,5 mm pe kilometrul de dublu nivelment. La acest tip de aparat o raza orizontala ce vine de la mira, trece prin obiectiv, este clarificata de lentila de focusare si ajunge la compensator. Acesta se compune dintr-o prisma fixata pe corpul aparatului si doua prisme fixate pe pendul. La inclinari mici ale axei de vizare, tija pendulului are tendinta sa se aseze pe directia verticalei sub actiunea fortei gravitationale. Pentru a amortiza rapid oscilatiile tijei, aceasta este introdusa intr-un piston in care se formeaza vid ce duce la amortizarea oscilatiilor. O raza inclinata cu unghiul ???ce intra prin obiectiv, este deviata de prima prisma pendul cu un unghi 2? catre prisma fixa (pentaprisma), care la randul ei deviaza raza cu inca 2? spre a doua prisma pendul. Compensatorul intra in functiune numai dupa ce s-a procedat la calarea apriximativa dupa nivela sferica

Aceste tipuri de aparate conduc la un randament sporit in lucrarile de teren, dar trebuie avut in vedere faptul ca un compensator nu poate lucra in medii cu vibratii (hale industriale, cai de comunicatie cu trafic intens greu, etc.), situatie in care se vor folosi numai aparate rigide.

Nivelmentul geometric.

Este cunoscut si sub denumirea de nivelmentul vizelor orizontale. Functie de pozitia instrumentului de nivelment fata de mirele de nivelment, se disting nivelmentul geometric de mijloc si nivelmentul geometric de capat. Indiferent de tip, nivelmentul geometric se executa cu instrumentele de nivelment numite nivele si cu mire centimetrice sau de invar ( pentru determinari precise).

Nivelmentul geometric de mijloc.

Pentru determinarea diferentei de nivel intre doua puncte sau pentru determinarea cotei unui punct cand se cunoaste cota unui alt punct aflat in apropiere se poate amplasa pe fiecare din cele doua puncte cate o mira, iar aproximativ (in limita a 2-3m diferenta) la mijlocul distantei, fara a fi obligatoriu sa fie si pe aliniamentul format de cele doua puncte, se amplaseaza o nivela. Prin citirile efectuate pe cele doua mire se pot determina marimile descrise mai sus. Distanta intre aparat si una din mire se numeste portee, in timp ce distanta intre mire se numeste niveleu. Din figura 7.4 se vede ca H_A si H_B sunt cotele celor doua puncte, dintre ele numai prima fiind cunoscuta. Pe mire se fac citirile a si b. Daca notam cu ?h_AB diferenta de nivel intre A si B, rezulta ca:

?h_AB = a-b

Spunem ca diferenta de nivel este totdeauna diferenta intre citirea inapoi si cea inainte.Intr-adevar, daca terenul ar avea panta inversa decat cea din figura 2.1, datele problemei fiind aceleasi, diferenta de nivel ar fi negativa, lucru ce se abtine facand diferenta “ a-b” a citirilor pe mira

Considerand acum cunoscuta cota punctului A, cota H_B a punctului B va fi :

H_B = H_A + ?h_AB = H_A + a - b

in care definim altitudinea planului de vizare ca fiind distanta pe verticala intre suprafata de nivel zero si axa de vizare a instrumentului de nivelment:

H_V = H_A + a

de unde rezulta ca

H_B = H_V - b

Relatia [7.3] devine utila atunci cand dintr-o statie se impune calculul cotelor mai multor puncte.

Nivelmentul geometric de capat.

Pozitia instrumentului in acest caz este pe un capat al niveleului, sau la o distanta foarte mica de acesta.

Principiul este aratat in figura 2.2. Se accepta a se categorisi tot ca nivelment de capat si nivelmentul in care instrumentul nu este asezat deasupra punctului A ci foarte aproape de acesta ( circa 2-3 m).

Dupa cum se observa, aparatul este asezat deasupra punctului A. Inaltimea “i” a instrumentului se masoara cu o ruleta.Relatiile de calcul devin :

?h_AB = i-b [7.5]

H_B = H_A + ?h_AB = H_A + i - b [7.6]

H_V = H_A + i [7.7]

H_B = H_V - b [7.8]

Precizia nivelmentului geometric de capat este net inferioara celei obtinute prin nivelmentul geometric de mijloc datorita impreciziei masurarii inaltimii ”i” a instrumentului (± 5 mm) precum si erorilor de sfericitate si refractie atmosferica

Nivelmentul trigonometric.

Deoarece se efectueaza cu ajutorul unui teodolit, se mai numeste si nivelment cu vize inclinate. Dupa directia vizei, se disting nivelmentul trigonometric cu vize ascendente, cand punctul ce se va determina este situat deasupra liniei orizontului si nivelmentul trigonometric cu vize descendente, cand punctul este situat sub linia orizontului. Principial, diferenta de nivel se calculeaza functie de unghiul de panta sau unghiul zenital si distanta orizontala

Nivelmentul trigonometric cu vize ascendente.

Pentru determinarea diferentei de nivel si a cotei unui punct, se instaleaza un teodolit in punctul A. Instrumentul are inaltimea “i” si vizeaza un semnal instalat in punctul B cu inaltimea “s”. Considerand cunoscuta distanta D_AB, se poate calcula cota punctului B din figura 2.3 observand ca

H_A + i + D.tg? = H_B + s [7.9]

de unde rezulta

H_B = H_A + D.tg??+ i - s [7.10]

dar mai rezulta din figura si expresia diferentei de nivel:

?h_AB + s = i + D.tg? [7.11]

?h_AB = D.tg? + i - s [7.12]

Daca se tine cont ca relatia intre unghiul de panta si unghiul zenital z este :

? + z = 100^g [7.13]

putem sa exprimam relatiilr [7.10] si [7.12] functie de unghiul zenital z :

H_B = H_A + D.ctg z?+ i - s [7.14]

respectiv:                                ?h_AB = D.ctg z + i - s [7.15]

Nivelmentul trigonometric cu vize descendente.

Daca punctul B este situat sub linia orizontului ce trece prin punctul A, problema se rezolva, conform figurii 2.4, astfel:

H_A + i = H_B + s + D.tg? [7.16]

si rezulta expresia pentru H_B :

H_B = H_A - D.tg??+ i - s [7.17]

Diferenta de nivel se determina din la egalitatea:

?h_AB = H_B - H_A [7.18]

unde valoarea lui H_B se inlocuieste cu relatia [7.17]:

?h_AB = -D.tg? + i - s [7.19]

Relatiile de calcul pentru diferenta de nivel si a cota punctului, asa cum sunt prezentate mai sus, sunt valabile numai in cazul in care distanta orizontala D este mai mica de 500m. Daca aceasta valoare este mai mare, atunci intervine o corectie datorata sfericitatii si refractiei atmosferice, ce are expresia :

[7.20]

in care: k este coeficientul de refractie atmosferica (k=0,13 pentru teritoriul Romaniei),

R este raza medie a pamantului (R = 6379 km)

Aceasta corectie este totdeauna pozitiva si se adauga la diferenta de nivel.

Nivelmentul hidrostatic.

Principiul de lucru este cel al vaselor comunicante, iar cel mai cunoscut si folosit mod de lucru cu nivelul hidrostatic este cel al furtunului cu apa folosit pe santiere pentru transmiterea unei cote in mai multe puncte. Din figura 2.5 se observa de pe zidul pe care se afla punctul A se transmite pe zidul punctului B cota lui A. Pentru determinarea diferentei de nivel intre punctele A si B, se vor masura cu o rigla sau ruleta segmentele a si b, rezultand :

?h_AB = b-a [7.21]

si cota punctului B cu relatia:

H_B = H_A + ?h_AB = H_A -a + b [7.22]

Pentru determinarile efectuate cu furtunul cu apa, precizia determinarilor se inscrie in limita a ± 0,..1cm pentru distante de sub 50m.

Drumuirea de nivelment geometric.

Prin aceasta metoda se urmareste determinarea cotelor unor puncte intermediare situate intre doua puncte de cota cunoscuta. Daca masuratorile se efectueaza cu determinarea numai o singura data a diferentelor de nivel, drumuirea va fi una simpla de nivelment; daca diferentele de nivel se determina de doua ori ( fie prin schimbarea altitudinii planului de vizare fie prin efectuarea masuratorilor 'dus-intors'. Pentru a se putea vedea modul de calcul al unei drumuiri se vor analiza datele prezentate in figura 2.6.

Operatiile de teren la o astfel de lucrare constau din alegerea pozitiei si marcarea punctelor intermediare 1,2, 3, instalarea de mipe punctele A si 1 si alegerea si asezarea in statie a instrumentului de nivelment in statia S₁. Din aceasta statie se fac citirile a₁ si b₁ pe cele doua mire. Se muta apoi mira din A in punctul 2, aparatul se instaleaza in statia S₂, iar mira din punctul 1 se orienteaza cu fata catre aparatul din statia S₂. Se vor efectua citirile a₂ si b₂. Operatiunile se repeta pana la terminarea traseului pe punctul B. Ca date initiale cunoscute se considera cotele punctelor A si B, respectiv H_A si H_B. Pe teren se vor efectua citirile pe mirele amplasate pe punctele A, 1, 2, 3, B, notate cu a_i respectiv b_i.

Calculul diferentelor de nivel functie de citirile pe mira se face cu relatiile:

?h₁ = a₁ - b₁

?h₂ = a₂ - b₂

. . . . . . . . . . . [7.23]? ?h_n = a_n - b_n

In acelasi timp insa se poate calcula diferenta de nivel intre A si B din cotele punctelor care sunt valori cunoscute:

?h_AB^coord. = H_B - H_A [7.24]

Din punct de vedere matematic, daca masuratorile nu ar fi insotite de erorile de masurare, intre relatiile [7.23] si [7.24] s-ar putea pune semnul egalitatii. Din punct de vedere topografic insa, aparitia erorilor de masurare conduce la nerespectarea conditiei matematice. Pentru calculul erorii vom folosi valoarea obtinuta prin relatia [7.23] ca valoare afectata de erori, fiind rezultata din valorile citite pe mire si valoarea obtinuta din relatia [7.24] ca valoare justa, obtinuta din valori considerate neafectate de erori. In aceasta situatie, eroarea drumuirii va fi data de relatia:

e_h = valoarea eronata - valoarea justa = ???h -?h_AB^coord.                              [7.25] Daca valoarea este mai mica cel mult egala cu toleranta T= e_km , unde :

e_km - eroarea pe kilometru conform cartii tehnice a aparatului,

D_km - lungimea in kilometrii a traseului de nivelment,se calculeaza corectia totala

c_h = - e_h = [7.26]

respectiv corectia unitara c_u = . Pentru un niveleu cu lungimea d_i corectia ce se va aplica diferentei de nivel va fi data de relatia :

c_i = c_u . d_i [7.27]

iar pentru o diferenta de nivel compensata,??h_i^comp. , relatia de calcul va fi:

?h_i^comp. = ?h_i + c_i [7.28]

Cu valorile astfel calculate se vor obtine cotele definitive (compensate) ale punctelor drumuirii de nivelment:

H₁^comp = H_A + ?h₁^comp

H₂^comp = H₁ + ?h₂^comp

. . . . . . . . . . . . . . . [7.29]

H_B^comp = H_n + ?h_n^comp = H_B^dat ( control)

Compensarea se poate face insa si pe cote, nu numai pe diferente de nivel; in acest caz:

H₁^comp = H_A + ?h₁ + c₁

H₂^comp = H₁^comp + ?h₂ + c₂

. . . . . . . . . . . . . . . [7.30]

H_B^comp = H_n^comp + ?h_n + c_n = H_B^dat ( control)

Drumuirea de nivelment inchisa pe punctul de plecare.

Daca vom considera ca intr-o drumuire de nivelment geometric punctul initial coincide cu punctul final, intre ele determinandu-se cotele unor puncte intermediare, atunci drumuirea este inchisa pe punctul de plecare. In acest caz, conditia matematica este ca suma diferentelor de nivel sa fie nula. Acest fapt conduce la determinarea valorii juste a diferentei de nivel care trebuie sa fie nula in timp ce suma diferentelor de nivel calculata conform relatiilor [7.23] reprezinta valoarea eronata. Putem scrie asadar ca

e_h = valoarea eronata - valoarea justa = ???h            [7.31]

iar expresia corectiei totale va fi de forma:

c_h = - e_h = - ???h [7.32]

Toate celelalte calcule se desfasoara dupa modelul celor de la drumuirea de nivelment geometric sprijinita la capete.

Drumuirea cu punct nodal.

Considerand situatia in care se dau trei puncte de cota cunoscuta intre care se efectueaza drumuiri, iar acestea se intalnesc intr-un punct, acest punct este considerat un nod al celor trei drumuiri efectuate. Cota sa va putea fi determinata cu o precizie mai mare datorita faptului ca pentru el este posibil sa se determine cota din fiecare drumuire. Considerand ca cele trei valori sunt apropiate intre ele, incadrandu-se in toleranta, atunci valoarea cea mai probabila a cotei punctului nodal va fi de forma :

[7.33]

in care p_i reprezinta ponderile sau gradul de incredere ce se acorda masuratorilor din fiecare drumuire. Aceste ponderi sunt invers proportionale cu lungimile drumuirilor, astfel :

[7.34]

Dupa ce a fost calculata cota punctului nodal, drumuirile intre punctele de cota cunoscuta si punctul nodal se calculeaza si se compenseaza ca drumuiri sprijinite la capete.

Ridicarea detaliilor altimetrice.

Procedeele care permit determinarea pozitiei pe inatime a detaliilor din teren sunt : radierea de nivelment, profile si combinatii de drumuire cu profile.Aceste metode sunt folosite functie de configuratia suprafetei de teren ce se va masura si functie de destinatia lucrarii. Astel, radierile de nivelment se vor folosi pentru suprafete mari, in timp ce metoda profilelor se preteaza foarte bine cerintelor proiectarii cailor de comunicatie terestra (drumuri sau cai ferate), in general acelor lucrari care necesita ridicari sub forma unor benzi.

Radieri de nivelment.

Prin aplicarea acestei metode este posibila determinarea cotelor mai multor puncte din aceeasi statie de nivelment. Se considera date cunoscute cota punctelor 101 si 102 (figura 2.7). Acestea provin fie dintr-o drumuire de nivelment ce se executa simultan cu radierile dar se prelucreaza fiecare separat, fie sunt puncte de nivelment de cota cunoscuta

Dupa asezarea pe punctele cunoscute a mirelor si efectuarea citirilor a_i si b_i din statia de nivelment, se executa si citirile c_i catre punctele 1001, 1002, 1003, etc. Deoarece cota punctului 101, H₁₀₁ este cunoscuta, se poate calcula altitudinea planului de vizare H_v cu relatia:

H_v = H₁₀₁ + a_i [7.35]

Fata de aceasta valoare se vor putea calcula cotele punctelor radiate nivelitic cu relatii de tipul :

H₁₀₀₁ = H_v - c₁

H₁₀₀₂ = H_v - c₂ [7.36]

Daca instrumentul de nivelment are si cerc orizontal, prin efectuarea lecturii la cerc si calculand distanta de la aparat la punct pe cale stadimetrica, se poate proceda la raportarea in coordonate rectangulare sau polare a punctelor radiate nivelitic.

Metoda profilelor.

Se foloseste la lucrarile in vederea proiectarii de drumuri sau cai ferate. Dupa felul lor, profilele pot fi longitudinale sau transversale. In proiectare, primele se folosesc la stabilirea profilului in lung al caii de comunicatie, in timp ce profilele transversale permit stabilirea amprizei (latimea totala) caii. Din punct de vedere al executarii lucrarilor topografice, aceasta metoda este o combinatie de drumuire de nivelment, care urmareste sa determine cotele punctelor situate in axul caii, simultan cu radierile de nivelment executate asupra unor puncte ce se situeaza pe un aliniament perpendicular pe axul caii. Atat punctele de drumuire cat si cele situate pe profilele transversale se aleg la schimbarile de panta ale terenului. Cotele punctelor de pe profilele transversale se calculeaza cu ajutorul altitudinii planului de vizare din statia corespunzatoare.

Nivelmentul suprafetelor.

Daca metodele descrise pana acum se pot aplica in terenuri cu o accidentatie mare la fel de bine ca si in terenuri aproximativ plane, in cele ce urmeaza se vor prezenta posibilitati de executare a nivelmentului pe suprafete cu a accidentare nesemnificativa, pe care urmeaza sa se amplaseze constructii industriale, civile sau agricole ce necesita o sistematizare verticala. Functie de precizia ceruta, marimea suprafetei sau de relief, nivelmetul suprafetelor se poate executa pe patrate mici sau mari.

Nivelmentul suprafetelor prin patrate mici.

Acest procedeu se foloseste la suprafete relativ mici ( sub 5 ha), cand terenul nu are o panta mai mare de 5° si fara o acoperire mare.

Metoda presupune realizarea unei retele de patrate cu latura pana la 50m (figura 2.9), colturile patratelor urmand a se folosi drept puncte carora li se va determina cota. In zona de lucru se presupune ca exista un punct RN, de cota cunoscuta H_RN, sau in lipsa lui se va efectua o drumuire de nivelment de la un reper la unul din punctele retelei de patrate (de exemplu la punctul 1). Daca lungimea vizelor (maxim 200m) permite, se va instala aparatul in statia S₁ din care se vor efectua citirile pe mirele amplasate pe punctele 1, 2, etc. Se vor obtine lecturile c₁, c₂, , c_n.

Se muta aparatul pe un nou amplasament,S₂, din care se fac citirile c₁’, c₂’, , c_n’. Daca diferentele c_i - c_i’ sunt constante in limita a maximum 4 mm, atunci se poate trece la calculul cotelor punctelor. Pentru aceasta se va calcula pentru fiecare punct media celor doua citiri c_i si c_i’, valoarea cu care se vor calcula cotele punctelor din reteaua de patrate.

H_V = H₁ + c_m1 [7.37]

unde c_m1 reprezinta media citirilor pe punctul 1. Cotele punctelor se calculeaza, functie de altitudinea planului de vizare, cu formula:

H_i = H_v - c_mi [7.38]

Daca suprafata este la limita superioara sau acoperirea terenului este mare, cotele punctelor se vor determina printr-o drumuire de nivelment cu puncte radiate.

Nivelmentul suprafetelor prin patrate mari.

Calculul cotelor punctelor este functie de metoda aleasa pentru efectuarea lucrarilor de teren: fie se determina citirile pe mirele amplasate in colturile fiecarui patrat, fie se executa o drumuire de nivelment inchisa pe punctul de plecare.

Patratele vor avea laturile de pana la 200 de metri, iar constructia se va realiza cu ajutorul uni teodolit sau a unui tahimetru.

Ridicarea altimetrica in patrate izolate se efectueaza instaland instrumentul de nivelment la intersectia diagonalelor patratului (cu abatere de 2-3m). Din aceasta statie se radiaza toate cele patru colturi ale patratului. Din figura 2.10 se observa ca nu este necesara stationarea in toate patratele ci numai in cele care asigura determinarea cotei colturilor. Punctul 8 este determinat din statiile S₂ sI S₃, astfel ca nu mai este necesara stationarea in patratul delimitat de punctele 8, 9, 12 sI 13.

Controlul citirilor se face pe diagonala fata de o latura si anume :

c₂ + c_9' = c_2' + c₉ [7.38]

Aceasta egalitate daca este satisfacuta cu o toleranta de ± 3mm, masuratorile se considera bune sI se pot folosi la calculul cotelor. Cotele se determina prin drumuire inchisa pe punctul de plecare pentru punctele situate pe conturul suprafetei sI prin drumuire sprijinita la capete pentru punctele situate in interiorul suprafetei.

Un alt mod de efectuarea masuratorilor este sI cel in care pe colturile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16,17, 18, 19, 20, 11 sI 10 se executa o drumuire inchisa, iar cotele punctelor 7,8,9,12,13,14 se determina ca puncte radiate.

Nivelmentul in conditii speciale.

O serie de lucrari de nivelment urmaresc fie sa transmita o cota peste un curs de apa, sa se efectueze lucrari de nivelment prin terenuri mlastinoase sau cu pante mari. Fiecare din lucrarile enumerate mai sus au un specific al lor, fapt ce conduce la tratarea diferita a fiecarui caz in parte.

Nivelmentul peste cursuri de apa

Aceasta operatiune se impune cand latimea luciului de apa este sub 300m. Se poate apela pentru rezolvarea problemei fie la metodele clasice, constand din efectuarea unor drumuiri de nivelment geometric ce traverseaza apa pe podurile existente, sau sunt efectuate iarna cand apa este inghetata, dar se pot rezolva sI cu ajutorul nivelului luciului de apa sau prin efectuarea de masuratori de pe un mal pe altul.

In primul caz se vor amenaja pe maluri mici incinte protejate in care nivelul apei nu este afectat de curenti sau valuri, iar in acesta incinta se materializeaza cu cate un tarus nivelul apei la un anumit moment. Pe ambele maluri, nivelul apei fiind acelasi, daca se cunoaste cota pe un mal, pe celalalt mal cota va fi aceeasi.

Pentru cazul in care cursul de apa are latime mai mare de 300 m, pe mira se monteaza un panou glisant negru (figura 2.11) ce are la mijlocul lui o fanta cu latime de 25 cm. Datorita conului creat de grosimea firului reticular orizontal, acesta practic se suprapune peste mai multe diviziuni centimetrice. Inconvenientul este rezolvat prin vizarea fantei din panoul glisant, fanta ce este adusa prin deplasarea panoului, pe firul reticular orizontal. Citirea se considera a fi media citirilor de la partea superioara respectiv inferioara a fantei suprapusa pe mira

Aceeasi problema se poate rezolva prin alegerea pe fiecare mal a cate unei statii, S₁ sI S₂, iar la distanta de sub 30m de fiecare statie se aleg puncte care se materializeaza prin tarusi (figura 2.12). Din fiecare statie se efectueaza lecturi pe mirele instalate pe punctele bornate, A sI B, lecturi ce se folosesc la determinarea diferentei de nivel. Daca valorile obtinute difera cu mai putin de 10mm intre ele, atunci diferenta de nivel intre cei doi tarusi se considera media aritmetica a determinarilor.

Astfel :

Δh_AB' = a₁ - b₁ [7.39]

pentru statia S₁, respectiv din statia S₂ diferenta de nivel va fi :

Δh_AB' = a₂ - b₂ [7.40]

iar diferenta de nivel definitiva este :

[7.41]

Pentru diminuarea influentei conditiilor de mediu in determinarea diferentelor de nivel, se vor efectua masuratori dimineata in zori si dupa amiaza in jurul orei 16.

Nivelmentul in terenuri mlastinoase.

Deoarece stabilitatea operatorului, a instrumentului de nivelment sI a mirelor este practic inexistenta, se impune ga sirea de solutii pentru a asigura stabilitatea instrumentului, mirelor sI operatorilor. Acest lucru conduce la gasirea unei solutii pentru a crea posibilitatea ca sI in astfel de zone sa se poata executa lucrari. Solutia o reprezinta

instalarea instrumentului de nivelment pe pari de lemn, batuti oblic,

instalarea mirelor deasemeni pe pari de lemn,

construirea de podine de lucru, pentru operatori,independente de parii pe care se instaleaza nivela,

efectuarea lecturilor se va face de doi operatori, unul pentru sensul inainte sI altul pentru sensul inapoi.

Instrumentele de nivelment folosite se recomanda sa fie din categoria instrumentelor cu orizontalizare automata a axei de vizare.

Nivelmentul terenurilor cu panta mare.

Daca dorim sa determinam diferenta de nivel intre doua puncte situate pe un versant cu panta mare, in conditiile in care precizia determinarii nu trebuie sa fie mare, se poate folosi o metoda expeditiva. Aceasta necesita doua mire aI un boloboc (figura 2.14). Una din mire se aseaza orizontal pe punctul A, orizontalitate care se realizeaza cu ajutorul bolobocului, iar pe a doua mira, asezata vertical cu ajutorul unui fir cu plumb, se citeste diferenta de nivel ?h_i. Operatiunea se repeta pana la punctul B. Diferenta de nivel intre A sI B se determina ca suma a diferntelor de nivel pe fiecare tronson in parte.

?h_AB = ?h₁ + ?h₂ + ?h₃ + ?h₄ [7.42]

Metoda descrisa mai sus permite sI determinarea distantei orizontale intre A si B, simultan cu determinarea diferentei de nivel.

Precizia nivelmentului geometric.

Pornind de la relatia [7.23], pentru calculul diferentei de nivel functie de citirile pe mira, putem scrie ca

?h_AB = a₁ - b₁ + a₂ - b₂ + . . . . + a_n - b_n [7.43]

sI daca vom considera ca citirile pe mira sunt afectate de erorile e₁, e₁', e₂, e₂', . . . e_n, e_n', diferenta de nivel ?h_AB va fi afectata de aceste erori astfel:

?h_AB + e_?h = (a₁ + e₁) - (b₁ + e₁') + (a₂ + e₂) - (b₂ + e₂') + . . . . + (a_n + e_n) - (b_n + e_n') [7.44]

Prin scaderea relatiilor [7.43] si [7.44], se ajunge la :

e_?h = e₁ - e₁' + e₂ - e₂' + . . . . + e_n - e_n' [7.45]

Deoarece masuratorile sunt efectuate cu acelasi aparat, de catre un singur operator, in conditii exterioare aproximativ identice, putem considera ca erorile sunt egale intre ele, adica

e₁ = e₁' = e₂ = e₂' = . . . . = e_n = e_n' = e [7.46]

Eroarea totala va fi suma erorilor componente, sau :

E = ± e ± e + . . . . ± e [7.47]

care prin ridicare la patrat sI neglijarea produselor partiale ca capata forma:

E = [7.48]

Dar lungimea drumuirii D = 2.n.d unde n este numarul de statii sI d reprezinta lungimea unei portei. In acest fel relatia [7.48] devine :

E = [7.49]

in care e’ reprezinta influenta preciziei aparatului.

Obtinerea curbelor de nivel pe plan.

Principiul de obtinere a curbelor de nivel a fost stabil in capitolul referitor la probleme ce se pot rezolva pe harti sI planuri. Cum insa nu dispunem de mulajul care sa reprezinte la scara terenul, pe care sa-l putem sectiona cu planuri paralele situate la distante egale cu echidistanta curbelor de nivel, vom rezolva problema pornind de la cotele unor puncte situate in teren.

Pornind de la conditia ca punctele de cota cunoscuta sunt astfel alese incat sa reprezinte schimbarile de panta, vom accepta ca intre doua puncte de cota cunoscuta terenul creste uniform. Pentru interpolare se va desena pe un suport transparent (calc sau folie) o retea de 1..20 de linii paralele la distanta de 35 mm una de alta (figura 2.15). Numarul de linii precum sI distanta dintre ele este functie de accidentatia terenului pentru care dorim sa interpolam curbe. La un teren cu accidentatie pronuntata distanta intre linii va fi mai mica in timp ce la un teren cu relief plan liniile vor fi la distanta mai mare una de alta. Liniile paralele se vor inscriptiona cu cotele corespunzatoare echidistantei curbelor de nivel ce se vor desena. Aceasta folie se suprapune peste desenul ce contine punctele cotate astfel ca punctul A de cota 109,83m de pe desenul cu puncte sa se pozitioneze corespunzator pe izograf. Acesta se roteste pana ce punctul B de cota 113.15m de pe desenul cu puncte se pozitioneaza pe izograf. Cu un ac se inteapa punctele de intersectie intre aliniamentul AB si paralele izografului. Repetand operatiunea pentru toate perechile vecine de puncte si unind punctele intepate, de aceeasi valoare, se obtin curbele de nivel.