Teoria ajutajului supersonic Laval

Teoria ajutajului supersonic Laval

Din punct de vedere constructiv ajutajul convergent - divergent reprezinta un dispozitiv format dintr-un confuzor urmat de un difuzor. Prima data ajutajul de acest tip a fost propus in anul 1889 de inginerul suedez Carl de Laval pentru obtinerea unor viteze supersonice a aburului la intrarea in turbina cu actiune de constructie proprie.

In gazodinamica ajutajelor se intalnesc doua tipuri de probleme:

a) problema directa - dimensionarea ajutajului, care v-a asigura debitul masic necesar, cu conditii impuse de starea franata a gazului (P₀,T₀, r ) si de presiunea mediului exterior (P_e );

b) problema inversa - verificarea parametrilor ajutajului existent in anumite conditii, diferite de regimul nominal la care a fost calculat ajutajul.

1. Dimensionarea ajutajului Laval

Pentru obtinerea dependentei dintre viteza de curgere w si aria sectiunii transversale S curente a ajutajului Laval (fig. ) vom aplica ecuatia de continuitate pentru un tub de curent.

Fig. Schema ajutajului Laval

In continuare se scrie ecuatia de continuitate pentru sectiunea minima cu aria S in care parametrii sunt critici r P T si W si pentru o alta sectiune oarecare S cu parametrii P,r, T si W:

(3.7) Exprimand vitezele de curgere prin numarul Mach W= M a, W_*=M a_*=a

si prin vitezele sunetului , din ecuatia (3.7) rezulta:

,

sau

(3.8)

Considerand procesul de curgere a gazului prin ajutaj izentropic, din ecuatia procesului adiabatic avem ca . Inlocuin aceasta relatie in formula (3.8) se obtine:

Pentru determinarea raportului se aplica functia gazodinamica de temperatura si relatia pentru temperatura critica . Vom avea ca

,

sau

(3.9)

Astfel rezulta

(3.10)

Din graficul functiei , prezentat in fig. 3.5, se observa ca pentru obtinerea, in sectiunea de iesire a ajutajului Laval, a unei curgeri cu numarul Mach necesar, aria sectiunii de iesire trebuie sa fie mai mare decat aria sectiunii critice cu un anumit numar de ori.

Fig. 3.5. Raportul ariilor sectiunilor ajutajului in functie de numarul Mach

De exemplu, pentru atingere vitezei cu numarul M=2 (punctul n₁) aria sectiunii de iesire a ajutajului trebuie sa fie aproximativ in 1,8 ori mai mare decat aria sectiunii critice, iar pentru M=3 (punctul n₂) - cam de 4,2 ori.

In afara de aceasta, gazul trebuie sa aiba presiunea totala (P₀) suficient de mare pentru obtinerea regimului critic in sectiunea minima a ajutajului, ceea ce rezulta din raportul .

Graficul are doua curbe: una de stanga (zona M<1, fig. 3.5), care corespunde vitezelor subsonice din portiunea convergenta si cea de dreapta (zona M >1) corespunzatoare vitezelor supersonice din portiunea divergenta a ajutajului.

Trasand liniile m₂-n₂ si m₁-n₁ putem aprecia influenta geometriei portiunii convergente asupra variatiei vitezei de curgere a gazului pentru aceste doua cazuri. Se poate observa ca aria maxima a sectiunii transversale a portiunii convergente trebuie sa fie mai mare decat cea de la portiunea divergenta.

Nota: Conditia de cresterii ariei sectiunii transversale a ajutajului Laval cu un anumit numar de ori in este obligatorie, dar nu este suficienta pentru obtinerea vitezelor supersonice. Pentru obtinerea curgerii supersonice presiunea totala (P₀) a gazului trebuie sa fie de ori mai mare decat presiunea statica in sectiunea critica a ajutajului, care in calucule se ea drept egala cu presiunea (P_e) a mediului exterior in care are loc curgerea .

Dimesionarea ajutajului.

Calculul incepe cu determinarea ariei sectiunii critice S reiesind din debitul masic care trebuie sa fie trecut prin ajutaj

unde r si a sunt parametrii critici determinati (vezi cap.2) de parametrii initiali (P₀, r T₀) si de exponentul adiabatic (k) al gazului .

Totodata, presiunea (sau entalpia) gazului se alege din conditia

,

unde P_e este presiunea mediului in care are loc scurgerea.

Aria sectiunii de iesire se calculeaza reiesind din numarul Mach necesar in sectiunea de iesire a ajutajului M_a :

2. Regimuri de functionare a ajutajului Laval

Fie ajutajul Laval definit dimensional cu sectiunile S si S_a , avand presiunea calculata in sectiunea de iesire P_a.nom . Se va analiza functionarea ajutajului in cazul in care presiunea in exterior P_e se reduce (fig. 3.6)

Fig.3.6. Distributia presiunii statice si numarul Mach in ajutajul Laval

la modificarea presiunii din exterior

Initial, cand presiunea in exterior P_e =P₀ curgerea gazului nu are loc. Daca se produce o scadere mica a presiunii din exterior P_e1 < P_e , gazul incepe sa curga, accelerandu-se numai in portiunea convergenta, dar fara a atinge regimul critic in sectiunea minima S_* (fig. 3.6, curba P₀ P_e1). De aceea pe sectorul divergent al ajutajului va avea loc o comprimare a gazului pana la presiunea in sectiunea de iesire P_a = P_e1 , si o reducere corespunzatoare a vitezei de curgere in comparatie cu viteza din sectiunea minima S_*.

La scaderea in continuare a presiunii in exterior pana la o anumita valoare P_e2, in sectiunea minima a ajutajului se instaleaza regimul critic (P_C = P , M = 1). Curgerea in avalul sectiunii critice poate sa se produca dupa ramura ascendenta a regimurilor subsonice (fig. 3.6, C P_e2), sau dupa cea descendenta a regimurilor supersonice (C P_a.nom). Elementul decisiv il constituie valoarea presiunii exterioare, astfel, in cazul cand P_e2 >> P_a.nom. ( unde P_a.nom este valoarea nominala a presiunii in sectiunea de iesire la care a fost calculat ajutajul) rezulta ramura ascendenta.

Daca in rezultatul reducerii presiunea esterioara scade pana la valoarea P_e3 < P_e2, fiind mai mare decat P , curgerea mai ramane supersonica doar pana la punctul B (fig. 3.6 ), desi difuzorul a inceput sa destinga curentul supersonic. Restabilirea presiunii P_a pana la P_e3 se face cu un salt de presiune de la punctul B pana la punctul D. Saltul de presiune este insotit de printr-o unda de soc normala (fig. 3.6, curba C B D P_e3 )..

NOTA. Numai in cazul cand P_ex P_a.nom gazul se destinde complet in interiorul ajutajului, asigurand accelerarea continua a curentului. Daca P_ex < P_a.nom , destinderea gazului este partiala si are loc in afara ajutajului in jetul suprersonic.

Eseu: Reguli privind depozitarea materialelor si substantelor combustibile Referat: Caiet de sarcini pentru demolare

3. Rezistenta gazodinamica a ajutajului Laval

Anterior analiza proceselor gazodinamice din ajutaje s-a efectuat pentru gazul perfect, lipsit de frecare, deci in ipoteza unei transformari izentropice. Aceasta a permis stabilirea relatiilor de calcul simple bazate pe curgerea adiabatica a gazelor .

Curgerea reala a gazelor este insotita de-o frecare interna intre straturi, si de cea externa a gazului de peretii ajutajului. Lucrul mecanic de frecare se transforma integral in caldura. In conformitate cu principiul al doilea al termodinamicii, are loc cresterea entropiei gazului. Curgerea fiind adiabatica a gazului devine ireversibila, adica neizentropica .

Procesele reale de curgere a gazului presupun un model de studiu mult mai complex. De aceea, pentru calculul ajutajului prin aproximarea gazului real cu cel perfect, se introduce coeficientul de viteza j , care arata cu cat viteza reala de curgere (numarul M^/) este mai mica decat cea teoretica (numarul M) determinata prin aproximare izentropica:

, (3.11)

unde: j 0,99 pentru ajutaje convergente si j 0,99 pentru ajutaje Laval

Introducand coeficientul de rezistenta s_aj , care include pierderea presiunii totale a gazului la curgerea prin ajutaj:

(3.12)

la care P₀ este presiunea totala reala si P₀ - presiunea totala izentropica , vom avea pentru functia gazodinamica de presiune p (M^/):

sau

Totodata, pentru curgerea izentropica, functia gazodinamica de presiune p (M) este egala cu raportul dintre presiunea statica si presiunea totala

,

Astfel rezulta

(3.13)

Relatia (3.13) arata, ca la viteze de curgere mari si mai ales la viteze supersonice cu numarul M > 1,5, pierderile totale de presiune se fac impunatoare.

Pierderile de viteza din ajutaj includ: pierderi de frecare, caracterizate prin coeficientul j_f ; pierderi de viteza, cauzate de neuniformitatea supersonica a fluxului in sectiunea critica a ajutajului (apar zonele supersonice locale), caracterizate prin coeficientul j_r si pierderi de viteza, datorate devierii fluxului de gaz de la directia axiala in sectiunea de iesire a portiunii divergente a ajutajului, caracterizate prin coeficientul j_a

Astfel, coeficientul de viteza j va fi

(3.14)

Coeficientul de frecare j_f se determina cu ajutorul metodelor teoriei a stratului limita unidimensional.         

Coeficientul de neunifomitate a curgerii se determina dupa formula emperica lui Rao :

, (3.15)

unde: R este raza sectiunii critice a ajutajului, r - raza de racordare a portiunii convergente cu cea divergenta.

Coeficientul de deviere a fluxului de la directia axiala in sectiunea de iesire a ajutajului se determina din geometria curgerii:

, (3.16)

unde q este semiunghiul de deschidere a portiunii divergente a ajutajului.

Daca rezistenta ajutajului se reduce numai la pierderi de frecare in stratul limita (j j_f ) atunci conturul existent al ajutajului se poate inlocui cu un contur fictiv deplasat spre interior cu o distanta egala cu grosimea stratului limita d (fig. 3.7):

Fig. 3.7. Conturul fictiv al ajutajului Laval :

q - semiunghiul confuzorului; q - semiunghiul difuzorului;

R^* - raza sectiunii critice; R - raza curenta ;

d - grosimea curenta a stratului limita

Grosimea curenta a stratului limita se poate aprecia cu formula semiempirica al stratului limita turbulent

(3.17)

unde:

este numarul Reynolds;

C₁ = 0,37 coeficient de frecare;

L_d lungimea portiunii divrgente a ajutajului;

W_a viteza gazului in sectiunea de iesire a ajutajului;

n viscozitatea cinematica a gazului .

NOTA. De obicei grosimea stratului limita se afla in limitele d R_a , unde R_a este raza sectiunii de iesire a ajutajului.

Curgerea in conturul fictiv al ajutajului poate fi calculata cu formulele curgerii izentropice a gazului perfect. Astfel, pentru ajutajul axial-simetric, aria sectiunii transversale curente poate fi determinata din formula:

(3.18)

in care:

S - sectiunea curenta transversala a ajutajului;

R este raza sectiunii curente.

Calculul valorii d pentru sectiunea critica arata ca grosimea stratului limita in aceasta zona a ajutajului poate fi considerata nula (d

Aplicand relatia (3.10) si functia gazodinamica geometrica q(M)

,

din raportul:

(3.19)

se poate determina valoarea numarului Mach () corespunzator sectiunii de iesire a ajutajului fictiv.

Reiesind din conturul real se determina valoarea numarului Mach M_a corespunzator cazului ideal:

(3.20)

Coeficientul de viteza rezulta din raportul  

, (3.21)

iar coeficientul de rezistenta din formula

(3.22)

4. Profilarea ajutajului Laval

Pentru obtinerea unor viteze supersonice M_a 3 se utilizeaza ajutajul Laval, alcatuit din doua conuri (fig. 3.8) racordate prin raza r R_* , R_* fiind raza sectiunii critice a ajutajului.

Fig. 3.8. Conturul ajutajul supersonic din doua conuri (dupa Bartz D.R.)

Semiunghiul optim al confuzorului este q = (15 ÷30)⁰, iar cel al difuzorului q = (8 ÷15)⁰.

In comparatie cu ajutajul cu un contur curbiliniu special (profilul Vitosinski acest ajutaj se caracetrizeaza prin reducerea impulsului datorita pierderilor nu mai mari de 2 In cazul ajutajelor cu numarul Mach la iesire M_a>>1 pentru obtinerea conturului curbiliniu optim se utilizeaza metoda caracteristicilor [3.5].

In cele din urma vom prezenta o metoda simpla pentru obtinerea conturului ajutajului Laval cu parametrii optimi. Racordarea sectorului convergent se efectueaza cu raza r₁=1,5 ·R_*, iar al celui supersonice cu raza r₂ = 0,4· R_* (fig. 3.9).

Fig. 3.9. Construirea conturului ajutajului supersonic cu numarul Mach M_a >>

Construirea se porneste dupa trasarea unghiurilor difuzorului q = (8 ÷10 )⁰ . In punctul N se traseaza o tangenta la r₂ = 0,4· R_* cu unghiul q_N = (30÷ 34)⁰ cu axa de simetrie x , iar in punctul a tangenta cu unghiul egal cu q . Acele drepte se intersecteaza in punctul Q . Segmentele NQ si QA se impart uniform in parti egale. Punctele 0,1,2.. .N se unesc cu punctele 0,1,2, a prin drepte, iar punctele de intersectie lor si constituie conturul cautat. Lungimea portiunii divergente L= (10 ÷18) R_* se alege constructiv in functie de raportul razelor R_a /R_* [3.1].

3.5. Probleme rezolvate

Problema 3-1.Determinati debitul masic de aer care se scurge dintr-un rezervor (fig. 3.2) cu presiunea P_o = 3 bar si temperatura t_o=20 ^oC, printr-un orificiu cu sectiunea S=30 mm² in atmosfera cu presiunea P_atm=1 bar si aceeasi temperatura t_o. Constanta de gaz pentru aer R=287 J/ (kg K). Comparati rezultatul obtinut cu cel bazat pe relatia fluidului incompresibil (r r_o=const

Rezolvare.

Densitatea aerului din rezervor se determina din ecuatia de stare:

Densitatea aerului atmosferic:

Deoareace raportul presiunilor

rezulta ca la iesirea din orificiu se realizeaza regimul critic de curgre si toti parametrii din sectiunea S au valori critice.

Viteza critica se determina cu formula:

Densitatea critica a aerului este

Debitul masic de aer este:

Considerand aerul drept un fluid incompresibil, viteza rezulta din ecuatia Bernoulli pentru lichide:

, sau

sau      

Prin urmare debitul masic de aer va fi

Comaratia arata ca debitul masic de aer determinat in conformitate cu modelul fluidului incompresibil este mai mare cu ~36% decat in cazul real, evaluat dupa modelul fluidului compresibil cu consideratia regimului de curgere.

Problema 3-2. Determinati debitul masic de aer care se scurge dintr-un rezervor cu presiunea P_o = 3 bar si temperatura t_o = 20 ^oC, printr-un ajutaj convergent (fig. 3.2) cu sectiunea de iesire S=30 mm² in atmosfera cu presiunea P_atm=1 bar si aceeasi temperatura t_o. Constanta de gaz pentru aer R = 287 J/ (kg K). Comparati rezultatul cu calculul debitului masic efectuat dupa formula Saint-Venant.

Rezolvare.

Calculul debitului se face reiesind din modelul fluidului compresibil considerand regimul de curgere (vezi problema

Viteza de scurgere a gazuliu aplicand formula Saint-Venant va fi:

Debitul masic aer evaluat utlizand formula Saint-Venan , destinata curgerilor subsonice a gazului prin orificii si ajutaje, va fi:

Comparatia arata ca debitul calculat dupa formula Saint-Venant pe baza modelului fluidului compresibil fara considerarea regimului de curgere este de 1,9 ori mai mare decat in cazul real.

Problema 3-3. In interiorul rezervorului care alimenteaza un ajutaj Laval (fig. 3.4), presiunea aerului este P_o= 0,7 MPa. Determinati aria sectiunii critice S , daca numarul Mach in sectiunea de iesire M_a = 2,2 , iar aria acesteia S_a= 6 cm². Determinati valoarea presiunii exterioare P_ex la care nu apare unda de soc pe traseul ajutajului. Rezolvati problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare.

Utilizand functia geometrica q (M), unde M este numarul Mach, din ecuatia continuitatii reiese ca pentru fiecare sectiunea i a ajutajului S_i q(M_i) = const , sau S_i q(M_i) = S_* q(M_*) . Avand in vedere ca in sectiunea critica (M_* = 1) functia geometrica q (M_* ) = 1, avem ca: , sau

Afland din tabelele gazodinamice valoarea functiei q(M_a) pentru M_a = 2,2 , putem determina aria sectiunii critice:

S_* = S_a q(M_a) 0,4965 = 2 cm² ,

si presiunea gazului in sectiunea de iesire a ajutajului P_a utilizand functia gazodinamica de presiune π(M) . Pentru sectiunea de iesire a ajutajului avem , de unde rezulta ca

In continuare se noteaza cu presiunea dupa unda de soc, daca aceasta va avea loc in sectiunea de iesiresi se face apel la relatia pentru adiabata de soc Hugoniont -Rankine

Dar cum ca si    w₁ w₂ = a ² rezulta ca , unde M₁ este numarul Mach in amonte de unda de soc.

Substituind in relatia adiabatei Hugoniot-Rankine M = M_a = 2,2 rezulta :

Deci, 5,477 = 0,36 MPa .

Astfel, daca P_ex , atunci unda de soc apare pe tot traseul ajutajului.

Problema 3-4. Un ajutaj Laval (fig. 3.6) se alimenteaza cu aer comprimat care are presiunea totala P_o=0,7 MPa. Determinati aria sectiunii S , daca numarul Mach in sectiunea de iesire M_a=2,2, iar aria acesteia S_a=6 cm². Determinati valoarea presiunii exterioare P_ex la care unda de soc apare in sectiunea de iesire ajutajului. Rezolvati problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare.

Ideea rezolvarii este la fel ca in problema 3-3.

Valoarea presiunii mediului exterior la care in sectiunea de iesire ajutajului apare o unda de soc se determina dupa conditia: P_ex P_a unde P_a este presiunea gazului in sectiunea de iesire a ajutajului dupa unda de soc.

Problema 3-5. In interiorul unui rezervor, care alimenteaza ajutajul Laval (fig. 3.4), presiunea aerului este P_o=0,7 MPa iar temperatura lui t_o =20 C. Determinati aria S_a, presiunea P_a si temperatura T_a corespunzatoare sectiunii de iesirea ajutajului, daca aria sectiunii critice S =3 cm², iar numarul Mach in sectiunea de iesire M_a=1,5. Apreciati efectul de racire a aerului DT = T_o - T_a

Rezolvare.

Utilizand relatia pentru sectiunea de iesire si cea critica ( vezi problema 3-3), unde q(M_a = 1,5) = 0,846, aflam aria sectiunii de iesire a ajutajului

cm²

Reiesind din numarul M _a = 1,5, se determina din tabele gazodinamice, valorile functiilor de presiune si temperatura:

,

Presiunea si temperatura aerului in sectiunea de iesire a ajutajului vor fi:

Efectul termic de racire a aerului la curgerea prin ajutajul Laval va fi:

Bibliografie

3.1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика, часть 1, «Наука», Москва, 1991, 592 с

3.2. Сarafoli E., Constntinescu V. N. Dinamica fluidelor compresibile, Ed. Acad. Romane, Bucuresti, 1984, 886 pag.

3.3. Constantinescu V.N.,Galetuse St. Mecanica fluidelor si elemente de aerodinamica, E.D.P. ,Bucuresti, 1983, 506 pag.

Энергоатомиздат, Москва, 1984, 485 c.

3.8. Todicescu Al. Mecanica fluidelor si masini pneumatice, E.D.P., Bucuresti, 1974, 480 pag.