Aparitia undelor de soc, conditia de existenta a undelor de soc normale

Aparitia undelor de soc, conditia de existenta a undelor de soc normale

Unda de soc stationara normala apare in fata unui obstacol obtuz sau plat. La interactiunea fluxului supersonic cu o suprafata rigida se formeaza un strat puternic comprimat de gaz, care se indeparteaza de ea la o distanta, repetand in mod normal forma acestei suprafete (fig. 4.1). Acest strat comprimat, la care parametrii curgerii sufera o discontinuitate, si este de fapt unda de soc normala stationra.

Fig.4.1. Curgere cu o unda de soc normala in fata a unui

obstacol plat ( fotografia Schlieren

Fie cunoscuti parametrii fluxului in fata de unda de soc normala (presiune P₁, densitatea r , temperatura T₁ sau entalpia h₁ si viteza υ₁). Sa vor nota cu P₂, r , T₂, h₂, υ₂ parametrii curentului dupa unda de soc. Se cere stabilirea relatiei intre parametrii curgerii inainte si dupa unda de soc normala.

Pentru aceasta aplicam legile de conservare a masei, energiei si a impulsului pentru un volum de gaz cuprins intre sectiunile I-I si II-II ale tubului imaginar, considerand aria suprafetei sectiunii normale egala cu unitatea , iar lungimea volumului cu Dx (fig. 4.2).

Fig.4.2. Variatia parametrilor de stare si a vitezei la trecerea curentului de gaz printr-o unda de soc normala

(4.1)

unde: a este ecuatia de continuitate; b - ecuatia impulsului; c - ecuatia Bernoulli pentru curgerea adiabatica.

Pentru simplificarea ecuatiilor luam raportul caldurilor specifice (exponentul adiabatic ) k₁=k₂=k, avand in vedere ca valoarea lui se schimba nesemnificativ in cazul studiat.

Asadar, pentru determinarea P₂, r , υ₂ se dispune de 3 ecuatii. Rezolvarea acestui sistem incepe cu determinarea vitezei υ₂. Pentru aceasta se include viteza critica: (4.2)

Ecuatia Bernoulli se prezinta in felul urmator:

                          (4.3)

sau                     (4.4)

Eliminand r , P₂ din ( 4.1 a,b) se obtine

care substituite in (4.4) dau:

(4.5)

Inlocuind in ecuatia (4.5) raportul cu valoarea sa echivalenta din (4.3) si aplicand ecuatiile (4.1 a,b) rezulta relatia pentru calculul vitezei de curgere υ₂ dupa unda de soc:

Solutia acestei ecuatii    este (4.6)

Introducand coeficientii de viteza l u / a²_* si l u / a²   rezulta ca:

l l (4.7)

Relatia (4.7) reprezinta expresia matematica a conditiei de existenta a undei de soc normale care este valabila daca:

a)     l > 1 si l < 1 ceea (ce corespunde curgerii supersonice in fata undei de soc si cele subsonice dupa unda de soc);

b)     l < 1 si l > 1 ceea (ce corespunde curgerii subsonice in fata undei de soc si cele supersonice dupa unda de soc);

c)      l 1 si l 1 ceea (ce corespunde curgerii transonice in fata si dupa unda de soc).

Ultimele doua conditii nu sunt reale din punctul de vedere al fizicii, deoarece la viteze mai mici decat viteza sunetului l < u < a_*) , conform legii conservarii energiei (Principiul Intii al Termodinamicii), viteza de curgere a gazului dupa unda de soc (u ) nu poate depasi viteza initiala (u ). Deci conditia: l > u > a_*) nu este reala

Din aceasi considirente nici conditia "c" nu este valabila, avand in vedere ca pentru u = a_* viteza dupa unda de soc difera de cea initiala (u u

Inlocuind valoarea lui υ₂, conform relatiei (4.6), in ecuatiile (4.1 a) si (4.1 b) se obtine:

            (4.8)

(4.9)

NOTA. Unda de soc normala (dreapta) poate exista numai daca viteza gazului in amonte este mai mare decat viteza critica, iar in aval - mai mica. Asadar, trecerea de la viteza supersonica la cea subsonica se produce printr-o unda de soc normala. Daca υ₁> a_* si l >1, atunci din relatiile (4.8) si (4.9) rezulta ca r > r si prin urmare P₂ > P₁, ceea ce inseamna ca densitatea si presiunea gazului, evident si temperatura, cresc printr-un salt, imediat dupa unda de soc.