Procesul de esantionare ideala

Procesul de esantionare ideala

Fie f(t) o functie de timp ce este esantionata cu un esantionator ideal. Fie T perioada de esantionare. Iesirea esantionatorului ideal, f*(t), este un tren de impulsuri cu amplitudinea egala cu cea a semnalului de intrare la momentele de esantionare. Notam cu

un tren de impulsuri unitare, unde

Esantionatorul ideal este un contact care se inchide la fiecare T secunde pentru o durata de timp 0. Iesirea esantionatorului ideal este

unde esantionarea a inceput la momentul t = 0. Transformata Laplace a functiei este 1, iar Tansformata Laplace a functiei este e^-kTs. Transformata Laplace a functiei f*(t) este

Semanlele de intrare, trenul de impulsuri unitare si de iesire ale esantionatorului ideal sunt cele din Figura 12, Figura 13 si Figura 14.

Figura 12 . Semnalul de intrare in esantionatorul ideal.

Figura 13 . Trenul de impulsuri unitare.

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

Figura 14 . Semnalul de iesire al esantionatorului ideal.

Fie F(s) transformata Laplace a functiei f(t) si P(s) transformata Laplace a functiei .

pentru .

Deoarece f*(t) este produsul a doua functii de timp

transformata Laplace a functiei f*(t) se poate calcula ca

unde c este abscisa de convergenta a integralei. Integrala se poate calcula cu teorema reziduurilor. Pentru aceasta trebuie sa calculam polii functiilor si .

Figura 15 . Integralele de contur pentru calculul functiei F*(s).

Polii functiei sunt situati in semiplanul stang. Polii functiei sunt simplii, in numar infinit, si au valorile

,      

unde T este perioada de esantionare, iar este pulsatia de esantionare in rad/s. Distributiile tipice ale acestor poli sunt cele din Figura 15.

Vom calcula integrala separat pe contururile si . Daca

atunci integralele pe semicercurile cu raze infinite din contururile si dispar. Integrala pe conturul se calculeaza astfel.

Termenul are urmatoarea explicatie. Daca functia f(t) este discontinua, transformata Laplace inversa are ca rezultat in punctele de discontinuitate media valorilor laterale ale functiei in acele puncte. In definitia functiei f*(t), daca functia f(t) este discontinua in punctele de esantionare, functia f*(t) are ca valoare limita din dreapta a functiei f(t) ce se esantioneaza. In formula s-a pus in evidenta termenul deoarece sunt cazuri cand functia f(t) este discontinua in origine.

Integrala pe conturul se calculeaza astfel. Fie

Presupunem pentru simplitate ca polii functiei sunt simpli. Fie

unde este un pol al functiei , n = 1, 2, ., k.

Exemple. Fie functia treapta unitara f(t) = 1(t) esantionata la intervale egale cu T. Iesirea esantionatorului ideal este

Transformata Laplace a functiei, F*(s) este

, pentru

Sa calculam F*(s) pe conturul . deci N(s) = 1, D'(s) = 1, deci