Numar irațional

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catete egale cu 1 este un numar irațional, .

In matematica, un numar irațional este un numar real care nu se poate exprima ca raportul (sau rația) a doua numere intregi. Prin contrast, numerele reale care se pot exprima ca raportul dintre doi intregi se numesc numere raționale.

Exemple

Iata cateva exemple de numere iraționale, de naturi total diferite intre ele:

• radacina patrata a lui 2, notata , cu valoarea aproximativa de 1,4142135.
• numarul π (pi), cu valoarea aproximativa de 3,1415926.
• numarul e, baza logaritmilor naturali, cu valoarea aproximativa 2,7182818.
• cosinus de 41°.
• logaritmul zecimal al numarului 17.
• soluția ecuației algebrice x⁵-3x+3=0. Aceasta soluție este un numar real, irațional, deci care nu se poate exprima ca raport de doi intregi, și care insa, altfel decat s-ar putea crede, nu se poate exprima nici prin radacini (radicali), de nici un ordin.

Proprietați

Exista și numere reale despre care nu se știe (inca?) daca sunt raționale sau iraționale, spre exemplu suma π + e și multe altele.

Numerele iraționale pot fi transcendente, spre deosebire de numerele raționale care sunt intotdeauna algebrice. Un numar este numit algebric daca este soluția unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali, de genul x⁵-3x+3=0. Numarul irațional , de exemplu, este algebric, in timp ce numerele π și e s-a demonstrat ca sunt transcendente.

Numerele iraționale sunt intotdeauna fracții zecimale cu un numar nesfarșit de zecimale, neperiodice. In scris, zecimalele cele mai puțin semnificative se reprezinta simbolic cu 3 puncte ''; de exemplu π = 3,1415926 , sau e = 2,7182818 .

Daca un numar oarecare are un numar infinit de zecimale, care se repeta insa periodic, atunci el se poate exprima intotdeauna ca raportul a doua numere intregi, iar numarul zecimal in discuție este deci un numar rațional. Spre exemplificare, numarul 4,37295295295 , notat și 4,37(295), este egal cu 4 + 37/100 + 295/99.900 = 436.858/99.900.