Modelarea procesului de inlocuire ideala

Modelarea procesului de inlocuire ideala

1. Caracteristica modelului

Modelul inlocuirii ideale prezinta un model teoretic cu o structura idealizata a fluxului. Conform acestui model se admite o curgere de tipul deplasarii pistonului in directia curgerii fluxului fara amestecare, cand concentratia in directia perpendiculara deplasarii este distribuita uniform. Totodata, admitem ca durata aflarii particulei in zona de inlocuire este aceeasi pentru toate particulele mediului si este egala cu raportul volumului zonei de inlocuire catre debitul volumetric al fluxului τ=V/υ.

2. Ecuatia diferentiala a modelului

Pentru descrierea matematica a modelului inlocuirii ideale evidentiem din zona inlocuirii ideale o celula elementara j de volumul ΔV, lungimea Δz si aria sectiunii transversale s₁, egala cu unu (s₁=1∙).

Admitem urmatoarele semne:

 - viteza lineara medie a fluxului (pentru sistemele de scurgere se admite ca u isi pastreaza valoarea sa medie si in zona de inlocuire), m/s;

s - aria sectiunii transversale a zonei de inlocuire, m²;

C(z,t) - concentratia in orice punct a zonei de inlocuire, mol/m³;

C_j-1, C_j - concentratia la intrarea si iesirea din celula elementara j, adica in sectiunile j-1 si j, mol/m³;

I_int=I_j-1 si I_ies=I_j - fluxul (cantitatea de substanta) la intrarea si iesirea din celula elementara j, mol/sec.

Fluxul la intrarea si iesirea din celula elementara j va fi:

;                    (1)

                          (2)

Analogic cazului precedent, reprezentam cantitatea de substanta  ΔM care se va acumula in volumul elementar ΔC in caz de dereglare a regimului stationar, cand I_j-1(t)=I_j(t) prin relatia:

     (3)

Daca impartim cantitatea de substanta ΔM acumulata in celula elementara la volumul ei ΔV, atunci obtinem variatia concentratiei in aceasta celula ΔC_j:

     (4)

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

unde: Δ₁C=C_j(t)-C_j-1(t) - diferenta de concentratii din celule adiacente;

ΔC_j=C_j(t)-C_j(0) - variatia concentratiei in celula j;

C_j(0) - valoarea concentratiei in celula j inainte de perturbare;

C_j(t) - concentratia in celula j in orice moment de timp (variabila);

ΔV=s₁Δz=Δz (deoarece am admis ca s₁=1∙).

Deoarece Δz nu este dependent de t, ecuatia (4) poate fi prezentata in felul urmator:

                            (5)

In urma diferentei partii drepte si stangi si in urma trecerii la limita cand Δz→0 obtinem:

     (6)

sau

             (7)

Ecuatia (7) descrie variatia concentratiei C(z,t) in volumul elementar ΔV al zonei de inlocuire, dar fiindca regimul de curgere este de tipul pistonului, ecuatia este adevarata pentru tot fluxul. De aceea ecuatia diferentiala a modelului inlocuirii ideale pentru cazul general va fi:

                         (8)

Modelul matematic al inlocuirii ideale este prezentat printr-o ecuatie diferentiala in derivate partiale, deoarece variabila de baza a procesului - concentratia C(z,t) se schimba in timp si spatiu. Astfel de modele se numesc modele cu parametrii distribuiti.

Daca inlocuim viteza lineara u prin valoarea ei, atunci ecuatia (8) se va scrie astfel:

          (9)

Ecuatia (9) arata distribuirea substantei (concentratiei) in fluxul de structura hidrodinamica a inlocuirii ideale. Analogic se poate obtine si ecuatia distribuirii altor parametri ai fluxului la inlocuirea ideala, cum ar fi, de pilda, temperatura T. Atunci temperatura T(z,t) in baza hidrodinamicii va fi:

          (10)

unde: c_T - capacitatea termica a fluxului;

T - temperatura in orice punct al zonei inlocuirii ideale.

3. Rezolvarea ecuatiei diferentiale (10) a modelului

Luand in consideratie ca C=f(z,t) si pentru o utilizare mai eficienta a transferatei Laplace transcriem ecuatia (8) in forma urmatoare:

.       (11)

Ecuatia operationala, obtinuta in urma transferarii dupa Laplace, conform regulilor bine cunoscute, va reprezenta o ecuatie diferentiala de gradul I:

                           (12)

Rezolvarea ecuatiei (12) va obtine forma urmatoare:

                                 (13)

unde: Φ(z,p) - imaginea rezolvarii ecuatiei diferentiale initiale;

λ - constanta integrarii.

La utilizarea ecuatiei (13) in probleme concrete este necesar de determinat conditiile initiale si de frontiera. Pentru cazul dat parametrii initiali sunt egali cu "zero", iar cei de frontiera sunt corespunzator z=0 si z=. Constanta integrarii poate fi determinata usor la utilizarea primei conditii de frontiera, cand z=0, atunci:

Φ(0,p)= λ.                      (14)

In acest caz:

Φ(z,p)= Φ(0,p)e.                         (15)

Ecuatia (15) ne permite sa determinam imaginea functiei concentratiei C(z,t) in orice loc pe lungimea zonei de inlocuire, in particular, la iesirea din aceasta zona cand z= (a doua conditie limita):

Φ(,p)= Φ(0,p)e     (16)

Deoarece apoi inlocuim in ecuatia (16) raportul /u prin τ si o transcriem in forma de functie de transmisie:

                                 (17)

unde: Φ(,p) - imaginea parametrului la iesire - concentratia la iesire C_ies(p);

F(0,p) - imaginea parametrului la intrare - concentratia la intrare C_int(p).

Rezolvarea ecuatiei initiale (8) in limitele variabilei reale t are loc la transferarea inversa dupa Laplase a ecuatiei (17).

In acest caz originalul rezolvarii va fi urmatorul:

         (18)

unde: e^-pτ=W(p) - functia de transmisie a modelului inlocuirii reale;

C_int(p) - perturbatia la intrare.

Semnul L^-1 reprezinta imaginea functiei de intarziere C_int(t-τ). Inseamna ca rezolvarea ecuatiei diferentiale a modelului inlocuirii ideale poate fi exprimata ca:

C_ies(t)=C_int(t-τ).   (19)