Functii reale de mai multe variabile reale

Functii reale de mai multe variabile reale

Structura topologica a spatiului Rⁿ

Fie X . Se numeste distanta (metrica) pe X, o functie d:X X R, cu proprietatile:

1. x,yIX     d(x,y) 0 si d(x,y)=0 x=y ;

2. x,yIX     d(x,y) = d(y,x) ;

3. x,y,zIX     d(x,z)d(x,y) + d(y,z).

Perechea (X,d), cu X si d metrica pe X se numeste spatiu metric.

Pe aceeasi multimea X se pot defini diverse metrice, deci mai multe structuri de spatiu metric.

Fie (X,d) un spatiu metric, x₀IX si numarul real, oarecare, r>0. Multimea

B_r(x₀)=

se numeste bila deschisa cu centrul x₀ si raza r.

Se numeste bila inchisa cu centrul in x₀ si raza r, multimea notata B_r[x₀] si definita prin:               

B_r[x₀] = .

In Rⁿ distanta dintre doua puncte x=(x₁,x₂,.,x_n) si y=(y₁,y₂,..,y_n) se poate defini ca fiind numarul real d(x,y) = . Aceasta se numeste distanta euclidiana dintre cele doua puncte. Se poate verifica usor ca d este o metrica pe Rⁿ. Pentru n=1 distanta euclidiana este d(x,y)=, iar pentru n=2, d(x,y)=

Fie (X,d) spatiu metric si x₀IX.Se numeste vecinatate a lui x₀, orice submultime V X, pentru care exista r >0, astfel incat B_r(x₀) V.

Definitia 1.6. O submultime D X se numeste deschisa daca x₀ID, r > 0 astfel incat B_r(x₀) D ( D este vecinatate pentru fiecare punct al sau).

Pentru Rⁿ, cu n=1, o bila deschisa cu centrul in x₀IR este un interval deschis simetric fata de x₀, de forma (x₀-r, x₀+r) ; o bila inchisa este intervalul inchis [x₀-r, x₀+r].

Pentru n=2, bila deschisa este un disc circular cu centrul in x₀ si raza r, iar bila inchisa contine si circumferinta impreuna cu discul.

Pentru n=3, bila deschisa cu centrul in x₀IR si raza r este interiorul sferei cu centrul in x₀ si raza r, bila inchisa este formata din sfera si interiorul ei.

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIA se numeste punct interior multimii A, daca r >0 astfel incat B_r(x) A.

Toate punctele interioare multimii A formeaza interiorul lui A , care se noteaza .

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIX se numeste punct aderent multimii A, daca r >0 B_r(x) A

Toate punctele aderente multimii A formeaza inchiderea lui A, notata .

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

Multimea notata    se numeste frontiera ( bordul) lui A.

Un punct xIX, aderent multimii A, cu proprietatea

r >0        B_r(x) A

se numeste punct de acumulare al lui A.

Multimea punctelor de acumulare pentru A se noteaza A' si se numeste multimea derivata a lui A.

O submultime A a spatiului metric (X,d) se numeste marginita daca r >0 si x₀IX, astfel incat A B_r(x₀).

O clasa importanta de spatii metrice sunt spatiile vectoriale normate.

Fie X/K spatiu vectorial. Functia :X R, cu proprietatile:

1.     , xIX si x q_V

2.        lIK, xIX ;

3.     , x,yIX.

se numeste norma pe X.

Un spatiu vectorial X impreuna cu o norma definita pe X se numeste spatiu normat.

Un spatiu vectorial normat este un spatiu metric cu distanta indusa de norma sa astfel: d(x,y)= , x,yIX.

Daca X= Rⁿ, n 1, , x=(x₁,x₂,.,x_n)IRⁿ ; iar pentru n=1, , xIR; astfel Rⁿ este un spatiu vectorial normat.

Exemple.

1.f:Rⁿ R , f(x₁,x₂,.,x_n)=a₁x₁+a₂x₂+.+a_nx_n, cu a₁,a₂,.., a_nIR se numeste functie liniara de n variabile reale sau functionala liniara.

2.f:A R² R , f(x,y)= este o functie reala de doua variabile reale. Multimea maxima de definitie este A= R² .

3.Functia Cobb-Douglas f:D R² R,f(x,y)=Ax^by^1-b definita pe D= cu constantele A>0, bI(0,1).Ea reprezinta legatura dintre doi factori de productie x si y si volumul eficientei productiei f(x,y) pentru diferite valori ale acestor factori. De obicei, x reprezinta suma de bani cheltuita pentru forta de munca, iar y este suma de bani cheltuita pentru mijloace fixe cladiri, utilaje si mijloace de productie). Functia f masoara produsul final si de aceea se numeste functie de productie.

Limite si continuitate pentru functiile reale

Fie functia reala de n variabile reale f:A Rⁿ R si fie a un punct de acumulare pentru A.

Fie functia f:A Rⁿ R, aIA un punct de acumulare pentru A si lIR. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1.     Numarul l este limita functiei f in punctul a

2.     Pentru e>0 , d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) - l < e

3.     Pentru orice sir (x_n)_nIN de puncte din A, x_n a cu T .

Consecinta. Daca exista doua siruri (x_n) si (x_n') cu aceeasi limita a, astfel incat sirurile de valori ale functiei f, (f(x_n))_n si (f(x_n'))_n au limite distincte sau cel putin unul dintre aceste siruri nu este convergent, atunci functia f nu are limita in punctul a.

Exemple.1. Fie functia f :R² R prin f(x,y) =3x-2y. Punctul a=(-1,2) este punct de acumulare pentru R². Vom considera un sir x_n= (x_n¹, x_n²) R² convergent catre a. El este format din sirurile de numere (x_n¹) -1 si (x_n²) 2. Calculam limita sirului = = -7, folosind operatiile cu siruri de numere reale. .

Continuitatea functiilor reale

Functia f:A Rⁿ R se numeste continua pe multimea A daca este continua in orice punct al multimii A.

Un punct xIA, in care functia f nu este continua se numeste punct de discontinuitate al functiei f.

Fie functia f:A Rⁿ R si a IA.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente

1. Functia f este continua in a IA

2. Pentru e>0, d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) - f(a) < e

3.Pentru orice sir (x_n)_nIN de puncte din A, x_n a cu , sirul de valori (f(x_n))_n este convergent si are .

Daca aIA, este in plus si punct de acumulare pentru A, atunci definitia continuitatii coincide cu definitia limitei si deci f este continua in a .