Functia caracteristica

Functia caracteristica

DEFINITIE Fiind date variabilele aleatoare si , se numeste variabila aleatoare complexa , unde se numeste partea reala, iar se numeste partea imaginara. Valoarea medie a lui este, prin definitie .

Fie o variabila aleatoare reala cu functie de repartutie este o variabila aleatoare complexa, avand si deci, marginita. Valoarea medie a acesteia exista si este o functie , , pe care o numim functie caracteristica a variabilei aleatoare .

DEFINITIE Numim functie caracteristica a variabilei aleatoare expresia:

presupunand ca suma este convergenta.

PROPOZITIA 1

PROPOZITIA 2 Doua functii de repartitie si sunt identice daca si numai daca functiile lor caracteristice si coincid.

PROPOZITIA 3 Fie si doua variabile aleatoare. Daca , atunci

Demonstratie

.

PROPOZITIA 4 Daca si sunt variabile aleatoare independente, atunci

Demonstratie

PROPOZITIA 5 Daca momentul de ordinul () al unei variabile aleatoare exista, atunci derivata exista pentru orice si au loc relatiile :

EXEMPLUL 1