Cateva clase de numere irationale

Cateva clase de numere irationale

Numerele irationale se caracterizeaza prin faptul ca nu se pot scrie sub forma de fractie m/n, , cu (m,n) =1, iar sub forma zecimala sunt neperiodice.

Ele se prezinta sub diverse forme cum sunt radicalii, logaritmii, valorile unor functii trigonometrice si hiperbolice, radacinile polinoamelor, etc.

In cele ce urmeaza vom prezenta cateva clase de numere irationale.                                                     

I. Numerele de forma , , a>0 care scrise sub forma m/n, cu si care prin rationamente simple conduc la contradictii, sunt irationale. Este cunoscuta din gimnaziu demonstratia care afirma ca . La fel se demonstraza ca sunt irationale.

In general, pentru si , numerele sunt irationale .

Sa demonstram de exemplu ca . Presupunem ca . Inversand, avem contradictie deoarece iar RQ si Q sunt multimi disjuncte. Analog se demonstreaza irationalitatea numerelor .

II. Numerele unde ultima cifra a lui a este una din cifrele 2; 3; 7 sau 8 sunt irationale deoarece astfel de numere nu sunt patrate perfecte.

Sa demonstram ca . Deoarece = u[5n(n+1)+7] = u[5n(n+1)] + u(7) = 0 + 7 = 7 nu este patrat perfect . De asemenea expresii de forma sunt irationale.

III. Daca numarul a este natural si exista numarul natural n astfel incat atunci .

Altfel spus, daca un numar natural a poate fi incadrat strict intre doua patrate perfecte de numere naturale consecutive, atunci este irational. Astfel, 9 < 14 < 16 .

Sa demonstram ca

.Deoarece si fiind cuprins intre patratele a doua numere naturale consecutive. Analog se arata ca sunt irationale.

IV. Fie numarul natural a. Daca exista un numar natural p astfel incat p divide a dar nu divide a atunci . De exemplu deoarece 5 I 20 dar nu divide pe 20.

Sa se demonstreze ca daca a, b sunt numere naturale impare atunci este irational. Fie a = 2n + 1 , iar , deci . Observam ca 2 I (4h+2) dar nu divide 4h + 2 deci . Altfel spus acest criteriu revine la a gasi in descompunerea lui a un factor prim, la putere impara.

Numarul deoarece factorul prim 97 apare la puterea 1 sau factorul prim 31 apare la puterea a treia.

V. In ceea ce priveste paritatea si imparitatea, patratele numerelor naturale, vis-a-vis de impartirea la 4, sunt de forma 4k pentru numere pare si de forma 4k + 1 pentru numere impare. De aici rezulta ca numerele de forma 4k + 2 sau 4k + 3 nu pot fi patrate perfecte, deci radacinile lor patrate sunt numere irationale.

Deoarece (vezi demonstratia la IV) rezulta imediat ca .