Reprezentarea miscarii oscilatorii in spatiul starilor

Reprezentarea miscarii oscilatorii in spatiul starilor

Prin sistem se intelege un ansamblu de elemente intre care exista o anumita legatura. Datorita acestei legaturi ansamblul se comporta ca o entitate, ca un tot unitar.

Un sistem este numit dinamic daca starea acestuia evolueaza in timp. Starea sistemului dinamic este data de totalitatea proprietatilor sistemului la un moment dat. Evolutia sistemului dinamic de la o stare la alta stare este guvernata de o anumita lege. In fizica clasica aceasta inseamna ca orice stare a sistemului dinamic, trecuta sau viitoare, poate fi calculata cu precizie maxima daca se cunoaste o stare oarecare a sistemului precum si legea de evolutie a acestuia. In acest caz sistemul se mai numeste sistem determinist.

Oscilatorii reprezinta exemple dintre cele mai des intalnite de sisteme dinamice. Iata cateva dintre ele: un corp atarnat la capatul unui resort, un circuit electric format dintr-un rezistor, o bobina si un condensator legate in serie (circuit RLC serie), o particula aflata intr-o groapa de potential, un pod suspendat aflat sub actiunea rafalelor de vant, o cladire sub actiunea undei seismice, etc.

Cel mai simplu dintre oscilatori are un singur grad de libertate si ca urmare energia lui potentiala depinde de o singura variabila, fiind, de exemplu, de forma: . Pentru a descrie complet comportarea acestui oscilator este nevoie de doar doua marimi fizice independente una de cealalta. Acestea pot fi, de exemplu, pozitia si viteza oscilatorului la un moment dat. Cu ajutorul lor se construieste un spatiu matematic numit spatiul fazelor sau al starilor.

In cazul simplu al oscilatorului cu un singur grad de libertate spatiul starilor are dimensiunea doi si deci este un plan. Pentru a studia de exemplu, comportarea unui ansamblu de doi astfel de oscilatori dar cuplati intre ei, va fi nevoie de un spatiu al starilor de dimensiune egala cu patru, un hiperspatiu, pentru care nu mai exista corespondent fizic si nici posibilitatea de a-l reprezenta.

Spatiul starilor are axele de coordonate respectiv perpendiculare, fiecare din ele reprezentind cite una din variabilele independente necesare caracterizarii starii sistemului dinamic. Starea sistemului la un moment dat se reprezinta printr-un punct in spatiul starilor iar evolutia sistemului dintr-o stare in alta printr-o succesiune de puncte care impreuna formeaza o traiectorie in spatiul starilor. Studierea traiectoriei parcursa de sistem in spatiul starilor completeaza studiul comportarii sistemului. Traiectoria se construieste punct cu punct in urma rezolvarii numerice a ecuatiei diferentiale a miscarii si a reprezentarii punctelor obtinute in spatiul starilor.

O proprietate importanta a traiectoriilor este proprietatea de neintersectare. Doua traiectorii ce pornesc din conditii initiale oricat de apropiate ca valoare nu se vor intalni decat daca ele converg catre o aceeasi stare de echilibru a sistemului. Aceasta proprietate deriva din faptul ca starile trecute si viitoare ale unui sistem determinist, sunt determinate in mod unic de starea sistemului la un moment dat.

In continuare se considera cazul oscilatorului armonic a carui ecuatie de miscare este data de (15): sau, alegand . Este mai convenabil pentru calculul ce urmeaza sa se scrie aceasta ecuatie sub forma:

(61)

Corespunzator, viteza oscilatorului armonic este data de , care se poate scrie la randul ei sub forma:

(62)

Daca cele doua relatii se ridica la patrat si se aduna membru cu membru, atunci se obtine urmatoarea egalitate:

(63)

Eseu: Eterificarea monozaharidelor Eseu: COMBUSTIBILI -combustibili folositi in industria aerospatiala- referat chimie

care nu este altceva decat ecuatia unei elipse reprezentata intr-un spatiu definit de coordonatele si , avand semiaxele egale cu respectiv . In Fig. II.4. este reprezentata aceasta traiectorie. In abscisa sunt trecute valorile pozitiei iar in ordonata cele ale vitezei oscilatorului.

I (0.4,0.4)

Fig. II.4.

Se observa forma de elipsa a traiectoriei, sensul in care aceasta este parcursa de oscilator precum si starea initiala din care acesta porneste, I (0.4, 0.4).

Ori de cate ori traiectoria sistemului in spatiul fazelor este o linie curba inchisa, miscarea efectuata de sistem este una periodica: dupa un anumit timp sistemul revine in starea initiala. Starile prin care trece oscilatorul au fost calculate si reprezentate pentru un timp cu putin mai mic decat perioada acestuia, de aceea traiectoria nu este inca inchisa.

Si in cazul oscilatorului amortizat, descris de ecuatia (24) cu solutia (30), se poate determina, prin calcul analitic, forma traiectoriei descrisa de sistem in spatiul starilor. Astfel, in ipoteza unei faze initiale si a unei amortizari slabe, , elongatia si viteza oscilatorului la un moment dat se vor scrie sub forma:

(64)

(65)

Daca cele doua relatii se ridica la patrat si se aduna membru cu membru, atunci se obtine urmatoarea egalitate:

(66)

Relatia obtinuta seamana cu cea gasita pentru oscilatorul armonic (63) sugerand de asemenea o elipsa. Spre deosebire de cazul anterior insa, semiaxele acestei aparente elipse scad in timp treptat la zero si ca urmare, traiectoria sistemului in spatiul starilor va fi o spirala al carei punct final va fi originea planului starilor. Acest punct are coordonatele si corespunde deci pozitiei de echilibru stabil a sistemului. In Fig. II.5. este reprezentata aceasta traiectorie. In abscisa sunt trecute valorile pozitiei iar in ordonata cele ale vitezei oscilatorului. Se observa forma de spirala a traiectoriei, sensul in care aceasta este parcursa de oscilator, starea initiala din care acesta porneste, punctul I (0.4, 0.4) precum si starea finala catre care oscilatorul tinde asimptotic, punctul O (0,0).

I (0.4,0.4)

Fig. II.5.

Asa cum s-a vazut in sectiunea II.1.4, pentru a mentine in miscare un oscilator amortizat se foloseste o forta externa, al carei rol este de a compensa periodic pierderile de energie ale sistemului. Un anumit timp, numit timp de tranzit, oscilatiile amortizate coexista cu cele fortate. Amplitudinea oscilatiilor amortizate scade insa in timp astfel incat, pe termen lung, sistemul va ajunge sa oscileze cu amplitudine constanta si cu o frecventa egala cu frecventa fortei externe (39). In acest caz, starea finala nu va fi una de echilibru stabil () ci una de echilibru dinamic, corespunzatoare unei miscari oscilatorii cu amplitudine si perioada constante in timp.

I (0.4,0.4)

Fig. II.6.

I (2,2)

Fig. II.7.

In figurile de mai sus, cei doi oscilatori se gasesc sub actiunea unor forte de frecare egale si a unor forte excitatoare de amplitudini si frecvente de asemenea egale intre ele. Diferite sunt doar starile initiale din care cei doi oscilatori pornesc si ca urmare starile finale pe care ei le ating.

Astfel, pentru oscilatorul din Fig. II.6. perioada de tranzit corespunde unei amplificari a miscarii. Energia oscilatorului creste pe baza energiei primite de la forta externa. In spatiul starilor spirala descrisa de oscilator isi mareste raza, tinzand asimptotic la o elipsa. Aceasta corespunde solutiei de echilibru dinamic a sistemului: o miscare armonica a carei energie totala (constanta) este mai mare decat energia initiala a oscilatorului.

Spre deosebire de acesta, oscilatorul din Fig.II.7 pierde din energia sa in perioada de tranzit, spirala descrisa de acesta in spatiul starilor isi micsoreaza raza dar tinde si ea asimptotic tot la o elipsa, tot la o miscare armonica, de echilibru, dar a carei energie totala (constanta), este mai mica decat energia initiala a oscilatorului.

Asa cum s-a aratat, in cazul oscilatorului liniar armonic traiectoria este o elipsa perfecta. In cazul in care oscilatorul este unul neliniar, ca de exemplu cel descris de ecuatia diferentiala (51), elipsa se va deforma cu atat mai tare cu cat neliniaritatea sistemului va fi mai mare.

Fig. II.7. Fig. II.8.

In Fig. II.7. este reprezentata schematic forma functiei energie potentiala pentru oscilatorul neliniar a carui miscare este descrisa de ecuatia (51). Este vorba de o "groapa de potential" ai carei pereti au o inaltime finita. In Fig.II.8 este reprezentata traiectoria din spatiul starilor. Se observa ca ea nu mai are forma unei elipse. Dupa cum s-a aratat deja, miscarea este una periodica, fiind de fapt o suprapunere de oscilatii armonice cu frecvente diferite: n, 3n, s.a.m.d. (52).

Daca energia initiala a oscilatorului este mai mare decat inaltimea peretilor, acesta va parasi groapa de potential, indepartandu-se in mod ireversibil de pozitia de echilibru stabil corespunzatoare minimului energiei potentiale. Miscarea nu va mai fi oscilatorie.

Energia potentiala reprezentata in Fig.II.9 se caracterizeaza prin prezenta a doua minime, simetrice in raport cu un punct de maxim local. Peretii exteriori ai gropii sunt practic infinit de inalti. In functie de conditiile initiale alese, corpul se va gasi intr-una din cele doua gropi de potential, executand o miscare oscilatorie.

Fig. II.9.  Fig.II.10.

Daca energia acestuia creste astfel incat ajunge sa depaseasca inaltimea maximului central corpul va executa tot o miscare oscilatorie, dar de aceasta data extinsa la groapa mare de potential, asa cum reiese din Fig.II.10.