Miscarea oscilatorie fortata. Rezonanta.

Miscarea oscilatorie fortata. Rezonanta.

Pentru a pastra sistemul in oscilatie, pierderile de energie datorate frecarii trebuie compensate din exterior. Compensarea se poate face discret, prin intermediul unor impulsuri transmise periodic oscilatorului, sau in mod continuu, prin intermediul unei forte periodice, sinusoidale de forma:

(35)

Deoarece in sectiunea precedenta energia sistemului scadea in mod continuu, datorita frecarii, al doilea caz pare mai potrivit pentru compensarea pierderilor. Forta externa efectueaza un lucru mecanic al carui semn depinde de diferenta dintre faza fortei si faza vitezei sistemului oscilant. In consecinta sistemul va fi fortat sa oscileze cu frecventa fortei externe.

Rezolvarea ecuatiei de miscare in acest caz ne va conduce la acest rezultat. Astfel, in baza Principiului fundamental al dinamicii, se scrie:

(36)

sau, utilizand notatiile deja cunoscute

(37)

care corespunde unei ecuatii diferentiale liniare, de ordinul al doilea, cu coeficienti constanti, neomogena. Solutia generala a acestei ecuatii se compune din solutia ecuatiei omogene si o solutie particulara de forma termenului neomogen:

,                                                                (38)

unde

si

(39)

Semnificatia constantelor din solutia omogena este cea cunoscuta. In solutia particulara , A reprezinta amplitudinea miscarii oscilatorii fortate iar j este diferenta dintre faza fortei excitatoare si faza elongatiei. Ele sunt marimi constante in timp iar expresiile lor urmeaza a fi determinate.

Deoarece amplitudinea solutiei omogene scade exponential in timp, contributia ei devine repede neglijabila astfel incat comportarea sistemului pe termen lung va fi descrisa de solutia ecuatiei neomogene.

Daca solutia (39) este intr-adevar o solutie a ecuatiei (37) atunci ea trebuie sa verifice aceasta ecuatie. Se calculeaza derivata intai si a doua a solutiei neomogene (39) si se introduc in ecuatia diferentiala a miscarii (37). Se grupeaza pe langa si si se identifica cantitatile corespunzatoare din membrul drept si membrul stang al identitatii. Se obtine sistemul:

Eseu: Eterificarea monozaharidelor Eseu: COMBUSTIBILI -combustibili folositi in industria aerospatiala- referat chimie

(40)

(41)

Din ecuatia (41) dupa impartirea cu A se obtine faza miscarii oscilatorii:

(42)

Apoi se ridica ambele relatii la patrat si se aduna membru cu membru. Se obtine  astfel pentru amplitudinea solutiei urmatoarea expresie:

(43)

Se observa ca, in absenta fortelor disipative, in particular a frecarii, amplitudinea creste la valoarea

(44)

Se observa de asemenea ca faza oscilatiilor efectuate de sistem, (42), precum si amplitudinea acestora, (43), depind atat de forta externa, prin amplitudinea si frecventa ei, cat si de caracteristicile proprii ale oscilatorului, respectiv masa, frecventa proprie si factorul de amortizare ale acestuia.

In acest caz miscarea se numeste oscilatorie intretinuta, pentru ca forta externa compenseaza pierderile de energie ale sistemului si de asemenea se mai numeste miscare oscilatorie fortata deoarece sistemul este obligat de catre forta externa sa oscileze cu o amplitudine si o pulsatie dependente de amplitudinea si pulsatia acesteia.

Rezonanta amplitudinei.

Asa cum rezulta din relatia (43), amplitudinea oscilatiilor fortate depinde (este functie) de pulsatia fortei externe W, mai precis, exista o valoare a pulsatiei W pentru care amplitudinea capata o valoare maxima. Pentru a gasi aceasta valoare se anuleaza derivata intai a amplitudinii functie de pulsatie:

(45)

si se obtine

(46)

Pentru aceasta valoare a pulsatiei fortei externe, numita pulsatie de rezonanta, amplitudinea ia valoarea maxima egala cu:

                                                (47)

Fig. II.3.

Se observa ca valoarea maxima a amplitudinii creste pe masura ce frecarea este din ce in ce mai mica, tinzand la infinit pe masura ce coeficientul de amortizare tinde la zero. In absenta frecarii, din relatia (46) rezulta ca pulsatia de rezonanta devine egala cu pulsatia proprie a sistemului, asfel incat valoarea amplitudinii oscilatiilor fortate data de (44) tinde si in acest caz la infinit.

Rezonanta energetica.

Din relatia (39) rezulta pentru expresia vitezei urmatoarea forma:

unde am notat cu amplitudinea vitezei oscilatorului fortat. Aceasta, la randul ei, este functie de W, pulsatia fortei externe, avand urmatoarea expresie:

(48)

Amplitudinea vitezei oscilatorului fortat capata valoarea maxima atunci cand . Mai departe, daca se introduce valoarea gasita pentru W in expresia (41) se gaseste ca  . Aceasta inseamna ca faza vitezei oscilatorului si faza fortei externe sunt egale. In acest caz se realizeaza conditiile optime pentru transferul maxim de energie intre sursa externa si oscilator. Forta externa realizeaza un lucru mecanic pozitiv de-a lungul intregii perioade de oscilatie. S-a realizat astfel rezonanta energetica.

Sa se identifice cateva situatii, din diferite domenii de activitate, in care rezonanta isi face simtita prezenta (constructii, electronica, mecanica, acustica, etc.).